講義41平行四邊形的性質(zhì)及判定

1、講義4.1平行四邊形的性質(zhì)及判定知識(shí)要點(diǎn)歸納1、平行四邊形的定義兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，在四邊形ABCD中，AB/ DC, AD/ BC,那么四邊形ABCD是平行四邊形。定義的作用：（1）給出一種判定四邊形是平行四邊形的方法，如果所給四邊形的兩組對(duì)邊分別平行，那么它一定是平行四邊形；（2）給出了平行四邊形的一個(gè)重要性質(zhì)：兩組對(duì)邊分別平行。例一、 如圖，在平行四邊形 ABCD中, EF/ AB, GH/ AD,圖中有多少個(gè)平行四邊形？ 注意：平行四邊形的定義是判定四邊形是否是平行四邊形的方法之一。2、平行四邊形的性質(zhì)（1）定義性質(zhì)：平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行。（2）性質(zhì)：A、平

2、行四邊形的對(duì)角相等。B、平行四邊形的對(duì)邊相等。C、平行四邊形的對(duì)角線互相平分。（3） 平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，平行四邊形繞其對(duì)角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180后，與自身 重合，我們說(shuō)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為對(duì)角線的交點(diǎn)。注意：邊：對(duì)邊平行，對(duì)邊相等；角：對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；對(duì)角線：對(duì)角線互相平 分。例二、 如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線 AC、BD相交于 0,周長(zhǎng)為 80cm,AOB的周長(zhǎng)比.BOC的周長(zhǎng)大12cm，求這個(gè)平行四邊形各 邊的長(zhǎng)。3、平行四邊形的面積平行四邊形的面積等于它的底和該底上的高的積，如圖所示，平行四邊形ABCD的面積=BC *AE =CD -BF,也就是平行四邊形的

3、面積 =底邊長(zhǎng)X高=ah （其中a是平行四邊形的任意一條邊長(zhǎng)，h必須是a邊與其對(duì)邊的距離。）缶 a V_具戸注意：同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等， 如圖所示，平行四邊形ABCD 與平行四邊 EBCF有公共邊BC，則平行四邊形 ABCD的面積=平行四邊形 EBCF的面積。例三、 如圖，已知平行四邊形 ABCD中的周長(zhǎng)是36cm, DE、DF分別是它的兩條高,且DE= 4 3cm, DF =5 3cm,求平行四邊形的面積。4、平行四邊形的概念和性質(zhì)在實(shí)際應(yīng)用中易出現(xiàn)的錯(cuò)誤女口：平行四邊形的一條角平分線分對(duì)邊為3和4兩部分，求平行四邊形的周長(zhǎng)。例四、如圖，線段AB、AD相交于點(diǎn)A ,若

4、過(guò)點(diǎn)B作直線BE/ AD在BE上取一點(diǎn)C,使BC=AD連接CD貝U AC與BD的關(guān)系是5、運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)計(jì)算(1)平行四邊形的對(duì)邊平行 如：如圖，在平行四邊形ABCD中，CE是.DCB的平分線，F(xiàn)是AB的中點(diǎn),(3)E、AB=6 , BC=4 ,平行四邊形的對(duì)角相等，對(duì)邊相等。 如：如圖，在平行四邊形 ABCD 中,已知 DE=3cm，求 BF.平行四邊形的對(duì)角線互相平分F分別是 AB、CD上的點(diǎn)，且AE=CF ,如：如圖，已知 0是平行四邊形 ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)， AC=38cm , BD=24cm , AD=14cm ,AOB與 AOD的周長(zhǎng)之差為例五、已知如圖，在平行四邊形 AB

5、CD中，M、N分別在AD、BC 上, E、F在 對(duì)角線上，且 AM=CN,BE=DF,則MF與NE有怎樣的位置關(guān)系？并說(shuō)明理 由。例六、如圖，在平行四邊形 ABCD中，AE/ CF, AE與BD相交于點(diǎn)P,CF與BD相交于 點(diǎn)Q BP與DQ是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由。b匚廠°£6、開(kāi)放性思維問(wèn)題添加的條件由解題者提供，再利用平行四邊形的性質(zhì)，得到已知結(jié)論；或根據(jù)題目中的 已知條件，同學(xué)們自己寫(xiě)出結(jié)論，再進(jìn)行證明或設(shè)計(jì)一種方案并證明它的正確性。女口：如圖，在平行四邊形 ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分別是.DAB、 ABC、. BCD、. CDA的平分線，AQ與BN相交于P,C

6、N與BQ相交于M,在不添加其他條件的情況下，試寫(xiě)出一個(gè)由上述條件推出來(lái)的結(jié)論，并給出證明過(guò)程（要求推理過(guò)程中要用到“平行四邊形”和“角平分線”這兩個(gè)條件）。例七、如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，要使 ADF 也.ICBE，還需添加一個(gè)什么條件？（只需添加一個(gè)條件）例八、如圖，現(xiàn)有一塊等腰直角三角形的鐵板，通過(guò)切割焊接成一個(gè)含有45角的平行四邊形，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種最簡(jiǎn)單的方案，并證明你的方案是正確的。7、構(gòu)成或轉(zhuǎn)移平行四邊形的邊和角應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)可以證明線段相等，角相等，因此常構(gòu)造平行四邊形， 利用平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等來(lái)轉(zhuǎn)移邊和角，從而把分散的條件集中起來(lái)。

7、EC 丄 FD.注意：（1 ）證明線段的垂直關(guān)系通?？梢酝ㄟ^(guò)證角等于90 ; （2）在解決有關(guān)平行四邊形的問(wèn)題時(shí)，要善于通過(guò)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形兩種途徑尋求等量關(guān)系。例九、如圖，在四邊形 ABCD中, AD/ BC,且AD> BC, BC=6cm,P Q分別從 A C同時(shí)出發(fā)，P以1厘米/秒的速度由A向D運(yùn)動(dòng)，Q以2厘米/秒的速度由C向B運(yùn)動(dòng)，幾秒后 四邊形ABQR是平行四邊形？8、平行四邊形的判定法(1) 定義判定法：兩組對(duì)邊分別平行是的四邊形是平行四邊形。(2) 定理判定法：A、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。B、兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。C、對(duì)角線互相平分

8、的四邊形是平行四邊形。D、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。例十、若一個(gè)四邊形的邊長(zhǎng)是a、b、c、d，其中a、c為對(duì)邊，滿足2 2 2 2a b c d -2bd-2ac=0，則此四邊形是。例一、如圖，在 ABC中，AB 二 AC,P是BC點(diǎn)，PE / AC,PF/ AB,分別交 ABPF、AB之間存在什么關(guān)系，并證明你的猜想。9、三角形中位線定理(1) 三角形中位線的定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線；(2) 三角形中位線定理：三角形中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一 半；(3) 三角形中位線定理的作用：A、位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行；B、數(shù)量關(guān)系：可以證明

9、線段的相等或倍分。(4) 三角形中位線定理的應(yīng)用：平行四邊形的判定。已知DE為ABC的中位線如圖1所示，延長(zhǎng)中位線DE至F，使EF二DE,連接CF ,則ADE也厶CFE,有AD平行且等于 FC,所以FC平行且等于BD，則四邊形BCFD為平行四邊形。如圖(2)所示，延長(zhǎng) DE至F, 使 EF=DE，連接DC、AF、FC,則四邊形ADCF 為平行四邊形，有AD平行且等于FC,所以FC平行且等于BD，則四邊形BCFD 為平行四邊形。如圖(3)所示，過(guò) C作CF/ AB交DE的延長(zhǎng)線于F，U ADECFE ,有AD平行且等于CF，所以FC平行且等于BD,則四邊形BCFD為平行四邊形。注意：(1 )三角

10、形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成了一個(gè)新的三角形;(2)要會(huì)區(qū)別三角形的中線與中位線。1例十二、如圖，三角形 ABC中，.BAC =90°，延長(zhǎng)BA到D,使AD二 AB ,點(diǎn)E、F2分別為邊BC AC的中點(diǎn)。(1)求證：DF=EB;(2)過(guò)點(diǎn) A作 AG/ BC,交 DF于 G,求證:AG=DG.10、證明四邊形為平行四邊形的方法(1)證明兩組對(duì)邊分別相等，得平行四邊形。如：如圖，在三角形 ABC中，ACB=90°,BC的垂直平分線 DE交BC于D，交AB于E,F在DE的延長(zhǎng)線上，并且 AF=CE.求證：四邊形 ACEF是平行四邊形。證明一組對(duì)邊平行且相等，得平行四邊形

11、。證明兩組對(duì)邊分別平行，得平行四邊形。 女口 ：如圖，在三角形 ABC中，AB=AC , E是AB的中點(diǎn)，D在BC上,FC。求證：四邊形 AEFC是平行四邊形。(4) 證明對(duì)角線互相平分，得平行四邊形。女口 ：已知:E、F是平行四邊形 ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，并且 AE=CF. 求證：四邊形BFDE是平行四邊形。例十三、如圖，在四邊形 ABCD中，AB=DC ,AD=BC，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AD上，AF=CE,EFEG+FH=AC.形 ABC 中，與對(duì)角線BD相交于點(diǎn)0,求證: 例十四、例十五、如圖，在三角形 ABC中,O是BD的中點(diǎn)。AE=BF,FH /EG / AC ,求證：.ACB

12、 =90°,AC的垂直平分線DE交AC于D，交AB于E,點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且.CDF =/A,求證：四邊形CEDF是平行四邊形。例十六、如圖，AB、CD交于點(diǎn)0,AC/ DB AO=B0 E、F分別為0C OD的中點(diǎn)，連接 AF、BE,求證:AF / BE.求證:11、學(xué)科綜合問(wèn)題本節(jié)常與全等三角形、等腰三角形知識(shí)結(jié)合在一起考查，需靈活運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和 判定，在解決問(wèn)題時(shí)，不單是孤立判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，往往是判定出一個(gè)四邊 形是平行四邊形后，要利用平行四邊形的性質(zhì)、三角形的相關(guān)知識(shí)等解決問(wèn)題。ABCD中，AE=CF,點(diǎn)M、N分別是DE、BF的中點(diǎn),注意：證明兩條線段相等的常用方法：（1）等角對(duì)等邊；（2）等腰三角形底邊上的高（或頂角平分線）平分底邊； （3）證明線段所在的三角形全等； （4） 一點(diǎn)為某線段的 中點(diǎn)；（5）平行四邊形的對(duì)邊相等或?qū)蔷€互相平分。例十七、如圖，三角形 ABC為等邊三角形，P是三角形ABC內(nèi)任一點(diǎn)，PD/ AB,PE/ BC, DF/ AC,若三角形 ABC的周長(zhǎng)為12,則PD+PE+DI等于多少？12、探索思維問(wèn)題本節(jié)中的探索性問(wèn)題，主要體現(xiàn)在對(duì)方法和結(jié)論的探究上，要與全等三角形、等腰三角形 知識(shí)綜合在一起，靈活運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和判定。女口：已知；如圖