第八章理想流體有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)

1、過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室1第第 八八 章章理想流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)理想流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室2l在許多工程實(shí)際問題中，流動(dòng)參數(shù)不僅在流動(dòng)方向上發(fā)生變化，而且在許多工程實(shí)際問題中，流動(dòng)參數(shù)不僅在流動(dòng)方向上發(fā)生變化，而且在在垂直于流動(dòng)方向垂直于流動(dòng)方向的橫截面上也要發(fā)生變化。的橫截面上也要發(fā)生變化。l要研究此類問題，就要用要研究此類問題，就要用多維流動(dòng)多維流動(dòng)的分析方法。的分析方法。l本章主要討論本章主要討論理想流體理想流體多維流動(dòng)的基本規(guī)律，為解決工程實(shí)際中類似多維流動(dòng)的基本規(guī)律，為解決工程實(shí)際中類似的問題提供理論依據(jù)

2、，也為進(jìn)一步研究的問題提供理論依據(jù)，也為進(jìn)一步研究粘性流體粘性流體多維流動(dòng)奠定必要的多維流動(dòng)奠定必要的基礎(chǔ)。基礎(chǔ)。 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室3l本章內(nèi)容本章內(nèi)容n微分形式的連續(xù)方程微分形式的連續(xù)方程 n流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解 n理想流體運(yùn)動(dòng)方程理想流體運(yùn)動(dòng)方程 定解條件定解條件 n理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程的積分理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程的積分 n渦線渦線 渦管渦管 渦束渦束 渦通量渦通量n速度環(huán)量速度環(huán)量 斯托克斯定理斯托克斯定理n湯姆孫定理湯姆孫定理 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 n平面渦流平面渦流 n速度勢速度勢 流函數(shù)流函數(shù) 流網(wǎng)流網(wǎng)n幾種簡單的平面勢流幾種簡單的平面

3、勢流 n簡單平面勢流的疊加簡單平面勢流的疊加 n均勻等速流繞過圓柱體的平面均勻等速流繞過圓柱體的平面流動(dòng)流動(dòng)n均勻等速流繞過圓柱體有環(huán)流均勻等速流繞過圓柱體有環(huán)流的平面流動(dòng)的平面流動(dòng)過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室4第一節(jié)第一節(jié)微分形式的連續(xù)方程微分形式的連續(xù)方程過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室5 l當(dāng)把流體的流動(dòng)看作是連續(xù)介質(zhì)的流動(dòng)，它必然遵守質(zhì)量守恒定當(dāng)把流體的流動(dòng)看作是連續(xù)介質(zhì)的流動(dòng)，它必然遵守質(zhì)量守恒定律。律。l對于一定的控制體，必須滿足對于一定的控制體，必須滿足l它表示在控制體內(nèi)由于流體密度變化所引起的流體質(zhì)量隨時(shí)間的它表示在控制體內(nèi)由于流體密度變化所

4、引起的流體質(zhì)量隨時(shí)間的變化率等于單位時(shí)間內(nèi)通過控制體的流體質(zhì)量的凈通量。變化率等于單位時(shí)間內(nèi)通過控制體的流體質(zhì)量的凈通量。 0nCVCSdVv dAt 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室6l直角坐標(biāo)系中微分形式的連續(xù)性方程直角坐標(biāo)系中微分形式的連續(xù)性方程n在流場中取出微元六面體在流場中取出微元六面體ABCDEFGn微元六面體中心點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的速度微元六面體中心點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的速度為為vx、vy、vzn密度為密度為n和和x軸垂直的兩個(gè)平面上的速度和密軸垂直的兩個(gè)平面上的速度和密度度2dxx 2dxx 2xxv dxvx 2xxv dxvx 2222xxxxvvdxdxvvxxdxdx

5、xx過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室7n在在x方向上，方向上，dt時(shí)間內(nèi)通過左面流入的流體質(zhì)時(shí)間內(nèi)通過左面流入的流體質(zhì)量為：量為：ndt時(shí)間通過右面流出的流體質(zhì)量為：時(shí)間通過右面流出的流體質(zhì)量為：n則則dt時(shí)間內(nèi)沿時(shí)間內(nèi)沿x軸通過微元體表面的質(zhì)量凈通軸通過微元體表面的質(zhì)量凈通量為量為2dxt 2dxt 2xxv dxvt 2xxv dxvt ddd d d22xxvxxvy z txx ddd d d22xxvxxvy z txx ddd d d()d d d dxxxvxvxy z tvx y z txxx 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室8n在在dt時(shí)間內(nèi)沿

6、時(shí)間內(nèi)沿y軸和軸和z軸方向流體質(zhì)量的凈通量分別為：軸方向流體質(zhì)量的凈通量分別為：n在在dt時(shí)間內(nèi)經(jīng)過微元六面體的流體質(zhì)量總變化為時(shí)間內(nèi)經(jīng)過微元六面體的流體質(zhì)量總變化為n開始瞬時(shí)流體的密度為開始瞬時(shí)流體的密度為，經(jīng)過，經(jīng)過dt時(shí)間后的密度為時(shí)間后的密度為n在在dt時(shí)間內(nèi)，六面體內(nèi)因密度的變化而引起的質(zhì)量變化為時(shí)間內(nèi)，六面體內(nèi)因密度的變化而引起的質(zhì)量變化為()d d d d()d d d dyzvx y z tvx y z tyz d d d dyzxvvvx y z txyz ttttzyxd)d,( tzyxtzyxzyxttddddddddddd nCSv dA CVdVt 過程裝備與控制工

7、程教研室過程裝備與控制工程教研室9n連續(xù)性方程表示了單位時(shí)間控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增量等于流體在控制體連續(xù)性方程表示了單位時(shí)間控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增量等于流體在控制體表面上的凈通量。表面上的凈通量。n它適用于它適用于理想流體理想流體和和粘性流體粘性流體、定常流動(dòng)定常流動(dòng)和和非定常流動(dòng)非定常流動(dòng)。 d d d dd d d d0yzxvvvx y z tx y z ttxyz 0yzxvvvtxyz 可壓縮流體非定常三維流動(dòng)的連續(xù)性方程可壓縮流體非定常三維流動(dòng)的連續(xù)性方程 div0vvtt 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室10n定常定常n不可壓縮定常不可壓縮定常u物理意義：物理意義：在

8、同一時(shí)間內(nèi)通過流場中任一封閉表面的體積流量等于在同一時(shí)間內(nèi)通過流場中任一封閉表面的體積流量等于零，也就是說，在同一時(shí)間內(nèi)流入的體積流量與流出的體積流量相零，也就是說，在同一時(shí)間內(nèi)流入的體積流量與流出的體積流量相等。等。 0yzxvvvtxyz 0t 0yzxvvvxyz const 0yzxvvvxyz div0vvtt div0vv div0vv 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室11l 柱坐標(biāo)系中微分形式的連續(xù)性方程柱坐標(biāo)系中微分形式的連續(xù)性方程n定常定常n不可壓縮定常不可壓縮定常11()()()0rzrvvvtrrrz 10zrrvvvvrrzr 11()()()0rzrv

9、vvrrrz 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室12l 球坐標(biāo)系中微分形式的連續(xù)性方程球坐標(biāo)系中微分形式的連續(xù)性方程n定常定常n不可壓縮定常不可壓縮定常22()(sin )()1110sinsinrvvv rtrrrr cot2110sinrrvvvvvrrrrr 22()(sin )()1110sinsinrvvv rrrrr 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室13【例例】已知不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)速度已知不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)速度v在在x，y兩個(gè)軸方向的分兩個(gè)軸方向的分量為量為vx=2x2+y，vy=2y2+z。且在。且在z=0處，有處，有vz=0。試求。試求z軸方軸方向的

10、速度分量向的速度分量vz。 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室14第二節(jié)第二節(jié)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室15 l流體與剛體的主要不同在于它具有流動(dòng)性，極易變形。流體與剛體的主要不同在于它具有流動(dòng)性，極易變形。l流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中不但象剛體那樣可以有移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，而流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中不但象剛體那樣可以有移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，而且還會(huì)發(fā)生變形運(yùn)動(dòng)。且還會(huì)發(fā)生變形運(yùn)動(dòng)。l一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以分解為一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以分解為移動(dòng)移動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)和和變形變形運(yùn)運(yùn)動(dòng)。動(dòng)。 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室16l

11、在流場中任取一微元平行六面體在流場中任取一微元平行六面體n邊長分別為邊長分別為dx、dy、dz。nt瞬時(shí)瞬時(shí)A點(diǎn)的速度為點(diǎn)的速度為n頂點(diǎn)頂點(diǎn)M速度為速度為( , , )( , , )( , , )( , , )Axyzvx y zvx y z ivx y z jvx y z k (,)(,)(,)(,)Mxyzvxx yy zzvxx yy zz ivxx yy zz jvxx yy zz k xxxMxxyyzMyyzzzMzzvvvvvxyzxyzvvvvvxyzxyzvvvvvxyzxyz 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室17xxxMxxvzvyvvxxyvz 11212

12、122xxMxxxxxvvzzvvvvzzxyyvyyx 11112222zzyyvvyyvvzxxxx 1122xxzxxxyMvyvvvxyvzxzvxxv 1122xyxzvyvvxvzxyz xxxMxxyyzMyyzzzMzzvvvvvxyzxyzvvvvvxyzxyzvvvvvxyzxyz 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室181122112211221122yzxxyyzyzxxyyMxxMyyyzxxxvvvvxyzxvvvvvvvxyzxvvvvxvxvvvyzxyyzyyzvyzvyyzxxvz 21212121zMzyzzxyzzzxvvvvzxyzxvvv

13、zxvvvvzxyzyzyx 線速度線速度xyzvvv線變形速率線變形速率xxyyzzvxvyvz 剪切變形速率剪切變形速率121212yzxzxyyxzvvyzvvzxvvxy 旋轉(zhuǎn)角速度旋轉(zhuǎn)角速度121212yzxzxyyxzvvyzvvzxvvxy 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室19l在一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可分解為三部分：在一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可分解為三部分：n以流體微團(tuán)中某點(diǎn)的速度作整體平移運(yùn)動(dòng)以流體微團(tuán)中某點(diǎn)的速度作整體平移運(yùn)動(dòng)線速度線速度n繞通過該點(diǎn)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)繞通過該點(diǎn)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)角速度旋轉(zhuǎn)角速度n微團(tuán)本身的變形運(yùn)動(dòng)微團(tuán)本身的變形運(yùn)動(dòng)線變形速率、

14、剪切變形速率線變形速率、剪切變形速率()()()()()()MxxxzyyzMyyyxzzxMzzzyxzyvvxyzzyvvyzxxzvvzxyyx 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室20loxyoxy坐標(biāo)面內(nèi)，坐標(biāo)面內(nèi)，t時(shí)刻矩形時(shí)刻矩形ABCD的運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)xvyvyyxxvvxxvvxx yyyxxxvvvxyxyvvvxyxyyyxxvvyyvvyy x y 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室21n平移運(yùn)動(dòng)平移運(yùn)動(dòng)u矩形矩形ABCD各角各角點(diǎn)具有相同的速點(diǎn)具有相同的速度分量度分量vx、vy。導(dǎo)致矩形導(dǎo)致矩形ABCD平移平移vxt, 上移上移vyt, ABCD

15、的形的形狀不變。狀不變。xvt yvt xvyvyyxxvvxxvvxx yyyxxxvvvxyxyvvvxyxyyyxxvvyyvvyy x y 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室22n線變形運(yùn)動(dòng)線變形運(yùn)動(dòng)ux方向的速度差方向的速度差uy方向的速度差方向的速度差uAB、DC在在t時(shí)間內(nèi)伸長時(shí)間內(nèi)伸長uAD、BC在在t時(shí)間內(nèi)縮短時(shí)間內(nèi)縮短xxBxAxCxDxvvvvxvvxxxyyDyAyCyByvvvvyvvyyyxvx tx yvy ty xvyvyyxxvvxxvvxx yyyxxxvvvxyxyvvvxyxyyyxxvvyyvvyy x y xvx tx yvy ty x

16、 y 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室23u定義：定義：單位時(shí)間單位時(shí)間內(nèi)內(nèi)單位長度單位長度流體線段的伸長或縮短量為流體微團(tuán)的線流體線段的伸長或縮短量為流體微團(tuán)的線變形速率。變形速率。u沿沿x軸方向的線變形速率為軸方向的線變形速率為u沿沿y軸、軸、z軸方向的線變形速率為軸方向的線變形速率為 xxxvvx tx txx yyvy zzvz xvx tx yvy ty x y yzxxyzvvvxyz 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室24u對于不可壓縮流體，上式等于零，是不可壓縮流體的連續(xù)性方程，對于不可壓縮流體，上式等于零，是不可壓縮流體的連續(xù)性方程，表明流體微團(tuán)

17、在運(yùn)動(dòng)中體積不變。表明流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)中體積不變。u三個(gè)方向的線變形速率之和所反映的實(shí)質(zhì)是流體微團(tuán)體積在單位時(shí)三個(gè)方向的線變形速率之和所反映的實(shí)質(zhì)是流體微團(tuán)體積在單位時(shí)間的相對變化，稱為流體微團(tuán)的體積膨脹速率。間的相對變化，稱為流體微團(tuán)的體積膨脹速率。u不可壓縮流體的連續(xù)性方程也是流體不可壓縮的條件。不可壓縮流體的連續(xù)性方程也是流體不可壓縮的條件。yzxxyzvvvxyz 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室25n角變形運(yùn)動(dòng)角變形運(yùn)動(dòng)DxBxByAyyyyyxxAxCxyyCyDyvvvvvvvvvvxvvxxxtanyyvvx txtxx tanxxvvy tytyy xvyvyy

18、xxvvxxvvxx yyyxxxvvvxyxyvvvxyxyyyxxvvyyvvyy x y xvy ty yvx tx x y yxvvtxy 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室26u角變形速度角變形速度：兩正交微元流體邊的夾角：兩正交微元流體邊的夾角在單位時(shí)間內(nèi)的變化量在單位時(shí)間內(nèi)的變化量u剪切變形速率剪切變形速率p該夾角變化的平均值在單位時(shí)間內(nèi)的變該夾角變化的平均值在單位時(shí)間內(nèi)的變化化p角變形速度的平均值角變形速度的平均值12yxzvvxy 12yzxvvyz 12zxyvvzx yxvvtxy xvy ty yvx tx x y 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工

19、程教研室27n旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) 流體微團(tuán)只發(fā)生角變形流體微團(tuán)只發(fā)生角變形 流體微團(tuán)只發(fā)生旋轉(zhuǎn)，不發(fā)生角變形流體微團(tuán)只發(fā)生旋轉(zhuǎn)，不發(fā)生角變形 流體微團(tuán)在發(fā)生角變形的同時(shí)，還要發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)流體微團(tuán)在發(fā)生角變形的同時(shí)，還要發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) xvyty yvx tx x y 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室28u旋轉(zhuǎn)角速度：單位時(shí)間角平分線的旋轉(zhuǎn)量旋轉(zhuǎn)角速度：單位時(shí)間角平分線的旋轉(zhuǎn)量u角平分線的旋轉(zhuǎn)量角平分線的旋轉(zhuǎn)量u旋轉(zhuǎn)角速度旋轉(zhuǎn)角速度p單位時(shí)間二直角邊旋轉(zhuǎn)角速度代數(shù)和的平均值單位時(shí)間二直角邊旋轉(zhuǎn)角速度代數(shù)和的平均值12yxzvvxy 14221122zyxvvtxy 過程裝備與控制工程

20、教研室過程裝備與控制工程教研室29121212yzxzxyyxzvvyzvvzxvvxy 222xyz 12xyzijkv 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室30111222111222yzxxyzyyzzxxxyzyyzzxxxyzvvvxyzvvvvvvyzzxxyvvvvvvyzzxxy ()()()()()()MxxxzyyzMyyyxzzxMzzzyxzyvvxyzzyvvyzxxzvvzxyyx 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室31l亥姆霍茲速度分解定理亥姆霍茲速度分解定理 在一般情況下微小流體質(zhì)團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以分解為三部分：在一般情況下微小流體質(zhì)團(tuán)的運(yùn)動(dòng)

21、可以分解為三部分：（1 1）隨質(zhì)團(tuán)中某點(diǎn)（基點(diǎn)）一起前進(jìn)的平移運(yùn)動(dòng)；）隨質(zhì)團(tuán)中某點(diǎn)（基點(diǎn)）一起前進(jìn)的平移運(yùn)動(dòng)；（2 2）繞該點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；）繞該點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；（3 3）含有線變形和角變形的變形運(yùn)動(dòng)。）含有線變形和角變形的變形運(yùn)動(dòng)。l微小流體質(zhì)團(tuán)的維長趨于零的極限是流體微團(tuán)微小流體質(zhì)團(tuán)的維長趨于零的極限是流體微團(tuán)l流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分解定理流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分解定理過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室32l亥姆霍茲速度分解定理對于流體力學(xué)的發(fā)展有深遠(yuǎn)的影響：亥姆霍茲速度分解定理對于流體力學(xué)的發(fā)展有深遠(yuǎn)的影響：n由于把旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)從一般運(yùn)動(dòng)中分離出來，才使我們有可能把運(yùn)動(dòng)分由于把旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)從一般運(yùn)動(dòng)

22、中分離出來，才使我們有可能把運(yùn)動(dòng)分成成無旋運(yùn)動(dòng)和有旋運(yùn)動(dòng)無旋運(yùn)動(dòng)和有旋運(yùn)動(dòng)；n正是由于把流體的變形運(yùn)動(dòng)從一般運(yùn)動(dòng)中分離出來，才使我們有可正是由于把流體的變形運(yùn)動(dòng)從一般運(yùn)動(dòng)中分離出來，才使我們有可能將流體能將流體變形速度與流體應(yīng)力變形速度與流體應(yīng)力聯(lián)系起來，這對于粘性流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律聯(lián)系起來，這對于粘性流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究有重大的影響。的研究有重大的影響。過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室33l根據(jù)流體微團(tuán)是否旋轉(zhuǎn)可將流體的流動(dòng)分為兩大類根據(jù)流體微團(tuán)是否旋轉(zhuǎn)可將流體的流動(dòng)分為兩大類n有旋流動(dòng)有旋流動(dòng)u流體在流動(dòng)中，如果流場中有若干處流體微團(tuán)具有繞通過其自身軸線的流體在流動(dòng)中，如果流場中有

23、若干處流體微團(tuán)具有繞通過其自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則稱為有旋流動(dòng)。旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則稱為有旋流動(dòng)。u流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度不等于零（數(shù)學(xué)條件）流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度不等于零（數(shù)學(xué)條件）n無旋流動(dòng)無旋流動(dòng) u如果在整個(gè)流場中各處的流體微團(tuán)均不繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則稱為如果在整個(gè)流場中各處的流體微團(tuán)均不繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則稱為無旋流動(dòng)。無旋流動(dòng)。u流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度等于零（數(shù)學(xué)條件）流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度等于零（數(shù)學(xué)條件）102v 102v 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室34n無旋流動(dòng)無旋流動(dòng)u需要指出的是，需要指出的是，有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)僅由流體微團(tuán)本身是否發(fā)生旋有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)僅由

24、流體微團(tuán)本身是否發(fā)生旋轉(zhuǎn)來決定，而與流體微團(tuán)本身的運(yùn)動(dòng)軌跡無關(guān)。轉(zhuǎn)來決定，而與流體微團(tuán)本身的運(yùn)動(dòng)軌跡無關(guān)。 102v 0 0 xyz0v yyzzxxvvvvvvyzzxxy過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室35【例【例】給定直角坐標(biāo)系中速度場給定直角坐標(biāo)系中速度場vx=x2y+y2，vy=x2-xy2，vz=0。求各變形速度，并判斷流場是否為不可壓縮流場。求各變形速度，并判斷流場是否為不可壓縮流場。過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室36【例【例】給定兩個(gè)流場：給定兩個(gè)流場： （1）vx=-y，vy=x；vz=0； （2）vx=-y/(x2+y2)，vy=x/(x2

25、+y2)，vz=0。 求這兩個(gè)流場的跡線和旋轉(zhuǎn)角速度。求這兩個(gè)流場的跡線和旋轉(zhuǎn)角速度。過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室37第三節(jié)第三節(jié)理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程 定解條件定解條件 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室38一、理想流體運(yùn)動(dòng)方程一、理想流體運(yùn)動(dòng)方程l在流場中取一平行六面體在流場中取一平行六面體n邊長分別為邊長分別為x，y，z n中心點(diǎn)為中心點(diǎn)為(x,y,z)n中心點(diǎn)的壓強(qiáng)為中心點(diǎn)的壓強(qiáng)為p=p(x,y,z)n密度為密度為=(x,y,z)n因研究的對象為理想流體，作用于六個(gè)面上的表面力只有壓力因研究的對象為理想流體，作用于六個(gè)面上的表面力只有

26、壓力n作用于微元體上的單位質(zhì)量力沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量分別為作用于微元體上的單位質(zhì)量力沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量分別為fx，fy，fz n以該六面體為控制體，應(yīng)用動(dòng)量方程以該六面體為控制體，應(yīng)用動(dòng)量方程過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室39u沿沿x方向從左面單位時(shí)間流入控制體的動(dòng)量為方向從左面單位時(shí)間流入控制體的動(dòng)量為u從右面流出的動(dòng)量為從右面流出的動(dòng)量為u沿沿x方向單位時(shí)間流出與流入控制體的動(dòng)量差方向單位時(shí)間流出與流入控制體的動(dòng)量差uy方向、方向、 z方向方向u經(jīng)過控制面單位時(shí)間流體動(dòng)量的凈通量為經(jīng)過控制面單位時(shí)間流體動(dòng)量的凈通量為 2xxv vxv vy zx 2xxv vxv vy z

27、x xv vx y zx yv vx y zy zv vx y zz nxyzCSv vdAv vv vv vx y zxyz 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室40u控制體內(nèi)單位時(shí)間流體動(dòng)量的變化控制體內(nèi)單位時(shí)間流體動(dòng)量的變化u作用在控制體內(nèi)流體上的質(zhì)量力作用在控制體內(nèi)流體上的質(zhì)量力u沿沿x方向壓強(qiáng)的合力方向壓強(qiáng)的合力uy方向、方向、 z方向方向u作用在控制面上壓強(qiáng)的合力為作用在控制面上壓強(qiáng)的合力為22pxpxppy zpy zx y zxxx CVvdVvx y ztt xyzCVfdVf if jf kx y zfx y z px y zy px y zz nCSCSppp

28、p dApndAijkx y zp x y zxyz 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室41 nxyzCSv vdAv vv vv vx y zxyz CVvdVvx y ztt CVfdVfx y z nCSp dAp x y z xyzvx y zv vv vv vx y zfx y zp x y ztxyz xyzvv vv vv vfptxyz 1xyzvvvvvvvfptxyz 1vvvfpt 1dvfpdt 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室42 n理想流體微分形式的運(yùn)動(dòng)方程，又稱流體運(yùn)動(dòng)的歐拉方程。理想流體微分形式的運(yùn)動(dòng)方程，又稱流體運(yùn)動(dòng)的歐拉方程。n

29、表示了作用在單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力、表面力和慣性力相平衡：在流表示了作用在單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力、表面力和慣性力相平衡：在流場的某點(diǎn)，單位質(zhì)量流體的當(dāng)?shù)丶铀俣扰c遷移加速度之和等于作用在它場的某點(diǎn)，單位質(zhì)量流體的當(dāng)?shù)丶铀俣扰c遷移加速度之和等于作用在它上面的重力與壓力之和。上面的重力與壓力之和。n該式推導(dǎo)過程中對流體的壓縮性沒加限制，故可適用于理想的該式推導(dǎo)過程中對流體的壓縮性沒加限制，故可適用于理想的可壓流體可壓流體和和不可壓縮流體不可壓縮流體，適用于，適用于有旋流動(dòng)有旋流動(dòng)和和無旋流動(dòng)。無旋流動(dòng)。nvx=vy=vz=0，方程變?yōu)榱黧w平衡的歐拉方程。，方程變?yōu)榱黧w平衡的歐拉方程。111xxxxx

30、xyzyyyyyxyzzzzzzxyzvvvvpfvvvxtxyzvvvvpfvvvytyyzvvvvpfvvvztxyz 1()vfpvvt 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室43l柱坐標(biāo)系中的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程式柱坐標(biāo)系中的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程式l球坐標(biāo)系中的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程式球坐標(biāo)系中的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程式2111rrrrrzrrzzzzzrzzvvvvvpvvvftrrzrrvvvvvpvvftrrzrvvvvvpvvftrrzz 2221sincot1sincot1sinsinrrrrrrrrrrvvvvvvvvpvftrrrrrvvvvvvvv vpvftrrrrrrvvvv

31、vv vv vvpvftrrrrrr 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室44l蘭姆方程（可直接從微分方程中判定流動(dòng)是否有旋）蘭姆方程（可直接從微分方程中判定流動(dòng)是否有旋）1xxxxxyzxvvvvpvvvftxyzx 1zzxxxxyxyzzxyyvvvvpvvvftxyvvvvvvzxxxxx i j k 2122vvvfpt 212()2xyzzyxvvpvvftxx 212()2yzxxzyvvpvvftyy 212()2zxyyxzvvpvvftzz 蘭姆方程蘭姆方程過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室45n質(zhì)量力有勢質(zhì)量力有勢n正壓流場正壓流場 222xyz

32、zyFvvvvPtx xyzfffxyz 111FFFPPPpppxxyyzz 2122xyzzyxvvpvvftxx /FPdp 壓強(qiáng)函數(shù)壓強(qiáng)函數(shù) 222xFyzzyvpvvvtxxx 222yzxxzFvvvvPty 222zxyyxFvvvvPtz 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室46 222222222xyzzyFyzxxzFzxyyxFvvvvPtxvvvvPtyvvvvPtz 222FvvvPt 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室47二、定解條件二、定解條件l對于不可壓縮理想流體，未知量有對于不可壓縮理想流體，未知量有vx、vy、vz、p四個(gè)，除三個(gè)運(yùn)

33、動(dòng)微分方四個(gè)，除三個(gè)運(yùn)動(dòng)微分方程外，還有連續(xù)方程，聯(lián)立可以求解；程外，還有連續(xù)方程，聯(lián)立可以求解；l對于正壓的理想流體，密度隨壓強(qiáng)變化，多了未知量對于正壓的理想流體，密度隨壓強(qiáng)變化，多了未知量，需補(bǔ)充物態(tài)方程，需補(bǔ)充物態(tài)方程，方可求解；方可求解；l對于非正壓的理想流體，密度隨壓強(qiáng)和溫度變化，又多了未知量對于非正壓的理想流體，密度隨壓強(qiáng)和溫度變化，又多了未知量T，還需，還需補(bǔ)充能量方程，才能求解；補(bǔ)充能量方程，才能求解；l滿足基本方程的解有無窮多，要得到給定流動(dòng)的確定解，必須給出它的滿足基本方程的解有無窮多，要得到給定流動(dòng)的確定解，必須給出它的定解條件，包括起始條件和邊界條件。定解條件，包括起始

34、條件和邊界條件。過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室481. 1. 起始條件起始條件l方程組的解在起始瞬時(shí)（方程組的解在起始瞬時(shí)（t=0）應(yīng)滿足的條件，是起始瞬時(shí)流動(dòng)參）應(yīng)滿足的條件，是起始瞬時(shí)流動(dòng)參數(shù)在流場中的分布規(guī)律，即數(shù)在流場中的分布規(guī)律，即n起始條件是研究非定常流動(dòng)必不可少的定解條件，但在研究定常流起始條件是研究非定常流動(dòng)必不可少的定解條件，但在研究定常流動(dòng)時(shí)，可以不必給出。動(dòng)時(shí)，可以不必給出。( , )( , )( , )( , )( , )( , )xxyyzzvvx y zvvx y zvvx y zpp x y zx y zTT x y z 過程裝備與控制工程教研室

35、過程裝備與控制工程教研室492. 2. 邊界條件邊界條件l方程組的解在流場邊界上應(yīng)滿足的條件。方程組的解在流場邊界上應(yīng)滿足的條件。l邊界條件可以是固體的，也可以是流體的；可以是運(yùn)動(dòng)學(xué)的、動(dòng)邊界條件可以是固體的，也可以是流體的；可以是運(yùn)動(dòng)學(xué)的、動(dòng)力學(xué)的，也可以是熱力學(xué)的。力學(xué)的，也可以是熱力學(xué)的。過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室50l固體壁面固體壁面n理想流體沿固體壁面流動(dòng)時(shí)，既不能穿過它，也不能脫離它形成空理想流體沿固體壁面流動(dòng)時(shí)，既不能穿過它，也不能脫離它形成空隙，壁面上流體質(zhì)點(diǎn)的法向速度隙，壁面上流體質(zhì)點(diǎn)的法向速度vln應(yīng)等于對應(yīng)點(diǎn)上壁面的法向速度應(yīng)等于對應(yīng)點(diǎn)上壁面的法向速

36、度vbn，即，即vln=vbn。n如果壁面靜止不動(dòng)，則如果壁面靜止不動(dòng)，則vln=0。n流體與固壁的相互作用力也必沿壁面的法線方向。流體與固壁的相互作用力也必沿壁面的法線方向。過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室51l流體交界面流體交界面n若在交界面上兩種流體互不滲透，它們在同一點(diǎn)上的法向速度應(yīng)相若在交界面上兩種流體互不滲透，它們在同一點(diǎn)上的法向速度應(yīng)相等，通常兩側(cè)的溫度也是連續(xù)的，即等，通常兩側(cè)的溫度也是連續(xù)的，即v1n=v2n，T1=T2n若交界面是曲面，曲面兩側(cè)的壓強(qiáng)應(yīng)滿足若交界面是曲面，曲面兩側(cè)的壓強(qiáng)應(yīng)滿足p1-p2=(1/R1+1/R2)n若交界面是平面，若交界面是平面，

37、R1=R2，則，則p1=p2n若交界面是自由表面，則若交界面是自由表面，則p=pambn若自由表面上是大氣，則若自由表面上是大氣，則p=pa過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室52l無窮遠(yuǎn)處無窮遠(yuǎn)處n一般給定該處流體的流速一般給定該處流體的流速v、壓強(qiáng)、壓強(qiáng)p 和密度和密度 。l流道進(jìn)出口處流道進(jìn)出口處n此處的條件需視具體情況而定，一般給出該處截面上的速度分布。此處的條件需視具體情況而定，一般給出該處截面上的速度分布。過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室53第四節(jié)第四節(jié)理想流體運(yùn)動(dòng)方程的積分理想流體運(yùn)動(dòng)方程的積分過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室54一、歐

38、拉積分一、歐拉積分l正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下作正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常無旋定常無旋流動(dòng)流動(dòng)l在流場中任取一有向微元線段在流場中任取一有向微元線段222020202FFFvPxvPyvPz 222222222xFyzzyyFzxxzzFxyyxvvPvvxtvvPvvytvvPvvzt dx dy dz dldxidyjdzk 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室55 l正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常無旋流動(dòng)時(shí)，單位正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常無旋流動(dòng)時(shí)，單位質(zhì)量流體的動(dòng)能質(zhì)量流體的動(dòng)能v2/2、質(zhì)量力位勢能質(zhì)量力位勢能、壓強(qiáng)勢能壓強(qiáng)勢

39、能PF之和在流場中之和在流場中保持不變。保持不變。2220222FFFvvvPdxPdyPdzxyz 202FvdP 22FvPC 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室56二、伯努利積分二、伯努利積分l正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下作正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常有旋定常有旋流動(dòng)。流動(dòng)。l流線與跡線重合流線與跡線重合l在流場中沿流線取一有向微元線段在流場中沿流線取一有向微元線段l在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為 222222222FyzzyFzxxzFxyyxvPvvxvPvvyvPvvz dldxidyjdzk 222222222FyzzyFzx

40、yxxzFxyxzyv dtvvPvvxvPvvyvPvvzdxdydzdtv dt xyzv dtvdxdydtdtzdv過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室57 l正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動(dòng)時(shí)，單位正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動(dòng)時(shí)，單位質(zhì)量流體的動(dòng)能質(zhì)量流體的動(dòng)能v2/2、質(zhì)量力位勢能、質(zhì)量力位勢能、壓強(qiáng)勢能、壓強(qiáng)勢能PF之和沿同一流之和沿同一流線保持不變。線保持不變。l一般情況下，沿不同流線，積分常數(shù)值不一樣。一般情況下，沿不同流線，積分常數(shù)值不一樣。 222222222zyzFxFyyzyxxzyFxxzvvPdxv dtxvPdyv

41、 dtyvvvPdzv dtzvvv 202FvdP 22FvPC 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室58 l不可壓縮重力流體，若取坐標(biāo)軸不可壓縮重力流體，若取坐標(biāo)軸z方向向上：方向向上： =gz PF=p/ v2/2+gz+p/=Cn如果流動(dòng)無旋，單位質(zhì)量流體的動(dòng)能、位勢能、壓強(qiáng)勢能之和在流如果流動(dòng)無旋，單位質(zhì)量流體的動(dòng)能、位勢能、壓強(qiáng)勢能之和在流場中保持不變；場中保持不變；n如果流動(dòng)有旋，這三項(xiàng)之和沿同一流線保持不變。如果流動(dòng)有旋，這三項(xiàng)之和沿同一流線保持不變。22FvPC 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室59 l對于完全氣體的絕熱流動(dòng)，質(zhì)量力的作用可忽略不計(jì)

42、：對于完全氣體的絕熱流動(dòng)，質(zhì)量力的作用可忽略不計(jì)：n非粘性完全氣體一維定常絕熱流動(dòng)的能量方程。如果流動(dòng)無旋，單非粘性完全氣體一維定常絕熱流動(dòng)的能量方程。如果流動(dòng)無旋，單位質(zhì)量氣體的動(dòng)能、壓強(qiáng)勢能之和在流場中保持不變；如果流動(dòng)有位質(zhì)量氣體的動(dòng)能、壓強(qiáng)勢能之和在流場中保持不變；如果流動(dòng)有旋，這二項(xiàng)之和沿同一流線保持不變。旋，這二項(xiàng)之和沿同一流線保持不變。1/C p 1 1/1/111/1FdpppPC pC 221vpC 22FvPC 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室60【例【例】如圖所示為水平放置、間隙為如圖所示為水平放置、間隙為、半徑為、半徑為r2的二圓盤，水由上圓盤的二圓盤，

43、水由上圓盤中央半徑為中央半徑為r1的小管以速度的小管以速度v1定常地流入，若不計(jì)水流入的動(dòng)量，試定常地流入，若不計(jì)水流入的動(dòng)量，試求圓盤間水的壓強(qiáng)沿徑向的分布規(guī)律。求圓盤間水的壓強(qiáng)沿徑向的分布規(guī)律。過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室61第五節(jié)第五節(jié)渦線渦線 渦管渦管 渦束渦束 渦通量渦通量 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室62l自然界中流體的流動(dòng)絕大多數(shù)是有旋的自然界中流體的流動(dòng)絕大多數(shù)是有旋的n大氣中的旋風(fēng)、龍卷風(fēng)，橋墩后的渦旋區(qū)；大氣中的旋風(fēng)、龍卷風(fēng)，橋墩后的渦旋區(qū)；n行進(jìn)中的船舶后的尾渦區(qū)；行進(jìn)中的船舶后的尾渦區(qū)；n充滿微小渦旋的紊流流動(dòng)；充滿微小渦旋的紊流

44、流動(dòng)；n物體表面充滿微小渦旋的邊界層流動(dòng)；物體表面充滿微小渦旋的邊界層流動(dòng)；n葉輪機(jī)械內(nèi)流體的渦旋運(yùn)動(dòng)。葉輪機(jī)械內(nèi)流體的渦旋運(yùn)動(dòng)。過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室63l流體微團(tuán)流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度旋轉(zhuǎn)角速度的矢量表示的矢量表示l更普遍地用更普遍地用渦量渦量來描述流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)來描述流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)n渦量的定義渦量的定義n充滿渦量的流場稱為充滿渦量的流場稱為渦量場渦量場12v 2vrotv yyzzxxxyzvvvvvvyzzxxy 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室64一、渦線一、渦線 渦管渦管 渦束渦束l渦線渦線n在給定瞬時(shí)處處與渦量矢量相切的曲線。在給定瞬

45、時(shí)處處與渦量矢量相切的曲線。n沿該線各流體微團(tuán)的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線。沿該線各流體微團(tuán)的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線。n渦線方程渦線方程 u非定常流動(dòng)，渦線的形狀和位置是隨時(shí)間變化的，積分渦線微非定常流動(dòng)，渦線的形狀和位置是隨時(shí)間變化的，積分渦線微分方程時(shí)，分方程時(shí)，t作為參變量；作為參變量；u定常流動(dòng)，渦線的形狀和位置保持不變，渦線微分方程中沒有定常流動(dòng)，渦線的形狀和位置保持不變，渦線微分方程中沒有時(shí)間變量時(shí)間變量t。( , , , )( , , , )( , , , )xyzdxdydzx y z tx y z tx y z t過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室65l渦管渦管 渦束渦束n給定瞬時(shí)在渦

46、量場中取一不是渦線的封閉曲線，通過封閉曲線的給定瞬時(shí)在渦量場中取一不是渦線的封閉曲線，通過封閉曲線的每一點(diǎn)作渦線，這些渦線形成的管狀表面稱為每一點(diǎn)作渦線，這些渦線形成的管狀表面稱為渦管渦管；n截面無限小的渦管稱為截面無限小的渦管稱為微元渦管微元渦管；n渦管中充滿著的作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的流體稱為渦管中充滿著的作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的流體稱為渦束渦束；n微元渦管中的渦束稱為微元渦管中的渦束稱為微元渦束或渦絲微元渦束或渦絲。過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室66二、渦通量二、渦通量 l旋轉(zhuǎn)角速度旋轉(zhuǎn)角速度的值與垂直于角速度方向的微元渦管橫截面積的值與垂直于角速度方向的微元渦管橫截面積dA的乘積的兩倍稱為的

47、乘積的兩倍稱為微元渦管微元渦管的的渦通量渦通量（也稱（也稱渦管強(qiáng)度渦管強(qiáng)度）dJl有限截面有限截面渦管的渦通量可表示為沿渦管橫截面的積分渦管的渦通量可表示為沿渦管橫截面的積分nn是微元渦管的旋轉(zhuǎn)角速度沿渦管橫截面法線方向的分量是微元渦管的旋轉(zhuǎn)角速度沿渦管橫截面法線方向的分量2nAJdA 2dJdA 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室67第六節(jié)第六節(jié)速度環(huán)量速度環(huán)量 斯托克斯定理斯托克斯定理 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室68一、速度環(huán)量一、速度環(huán)量l在流場的某封閉周線上，流體的速度矢量與該線微元有向線段的在流場的某封閉周線上，流體的速度矢量與該線微元有向線段的標(biāo)

48、積沿周線的線積分，定義為標(biāo)積沿周線的線積分，定義為速度環(huán)量速度環(huán)量，用符號，用符號表示表示n速度環(huán)量是代數(shù)量，它的正負(fù)不僅與速度的方向有關(guān)，還與線積分速度環(huán)量是代數(shù)量，它的正負(fù)不僅與速度的方向有關(guān)，還與線積分的繞行方向有關(guān)；的繞行方向有關(guān)；n規(guī)定：繞行的正方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，即封閉周線所包圍的面積總在規(guī)定：繞行的正方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，即封閉周線所包圍的面積總在繞行前進(jìn)方向的左側(cè)；封閉周線所圍曲面的法線正方向與繞行的正繞行前進(jìn)方向的左側(cè)；封閉周線所圍曲面的法線正方向與繞行的正方向形成右手螺旋系統(tǒng)。方向形成右手螺旋系統(tǒng)。()xyzv dsv dxv dyv dz rr蜒過程裝備與控制工程教研室過程裝備

49、與控制工程教研室69二、斯托克斯定理二、斯托克斯定理l在渦量場中，沿任意封閉周線的速度環(huán)量等于通過該周線所張曲在渦量場中，沿任意封閉周線的速度環(huán)量等于通過該周線所張曲面的渦通量面的渦通量2KnKAv dsdArr過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室70l微元封閉周線微元封閉周線12121212xxxyyyyyxxxxxyyyvdvvdxdxxvvvvdxvdxdydyxxyvvvvdxdyvdydxxyyvvdyvdyy 2yxzvvdxdydAdJxy 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室71l任意有限封閉周線任意有限封閉周線Kn用互相正交的兩組直線將平面和曲面劃分成

50、無數(shù)用互相正交的兩組直線將平面和曲面劃分成無數(shù)個(gè)微元封閉周線個(gè)微元封閉周線n微元面積視為平面微元面積視為平面n微元封閉周線微元封閉周線n所有微元所有微元n周線周線K內(nèi)各微元線段速度的線積分都要計(jì)算兩次，內(nèi)各微元線段速度的線積分都要計(jì)算兩次，繞行方向相反繞行方向相反 1,2,3,iiddJi 1,2,3,iiddJi iKKdv ds 2inAdJdA 2KnKAv dsdA過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室72l斯托克斯定理的應(yīng)用區(qū)域限制條件斯托克斯定理的應(yīng)用區(qū)域限制條件n區(qū)域內(nèi)任意封閉周線都能連續(xù)地收縮成一點(diǎn)而不越出流體的邊區(qū)域內(nèi)任意封閉周線都能連續(xù)地收縮成一點(diǎn)而不越出流體的邊

51、界界單連通域單連通域n多連通域多連通域過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室73l多連通域斯托克斯定理多連通域斯托克斯定理11ABK B A KAABBK BB AA KA 0ABB A 11BK BK A KAK 12KKnAdA 12ABK B A KAnAdA 12inKKniAdA 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室74【例【例】已知二維流場的速度分布為已知二維流場的速度分布為vx=-6y，vy=8x，試求繞圓，試求繞圓x2+y2=R2的速度環(huán)量。的速度環(huán)量。過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室75【例【例】在二元渦量場中，已知圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑在

52、二元渦量場中，已知圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑r=0.2m的圓區(qū)域內(nèi)的圓區(qū)域內(nèi)流體的渦通量流體的渦通量J=0.8m2/s。若流體微團(tuán)在半徑。若流體微團(tuán)在半徑r處的速度分量處的速度分量v為常數(shù)，為常數(shù)，它的值是多少？它的值是多少？過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室76【例【例】已知理想流體的速度分布為已知理想流體的速度分布為 ，試求渦線方程以及沿封閉周線試求渦線方程以及沿封閉周線 的速度環(huán)的速度環(huán)量，其中量，其中a、b為常數(shù)。為常數(shù)。22,0 xyzvayzvv 222(0)xybz 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室77第七節(jié)第七節(jié)湯姆孫定理湯姆孫定理 亥姆霍茲定理亥姆霍茲

53、定理 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室78一、湯姆孫定理一、湯姆孫定理l正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下沿任何由流體質(zhì)點(diǎn)組成的正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下沿任何由流體質(zhì)點(diǎn)組成的封閉周線的速度環(huán)量不隨時(shí)間變化；封閉周線的速度環(huán)量不隨時(shí)間變化；n在流動(dòng)過程中，上述流體質(zhì)點(diǎn)線可以移動(dòng)、變形，但組成該線的流在流動(dòng)過程中，上述流體質(zhì)點(diǎn)線可以移動(dòng)、變形，但組成該線的流體質(zhì)點(diǎn)不變。所以速度環(huán)量隨時(shí)間的變化率體質(zhì)點(diǎn)不變。所以速度環(huán)量隨時(shí)間的變化率 xyzyzxxyzddv dxv dyv dzdtdtdvdvdvdddvdxvdyvdzdxdydzdtdtdtdtdtdt 蜒過程裝備與

54、控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室79 yzxxyzdvdvdvddddvdxvdyvdzdxdydzdtdtdtdtdtdtdt 蜒 22222222xyzxxyyzzyzxdddvdxvdyvdzdtdtdtv dvv dvv dvvvvdddvd 1111yzxxyzxyzFdvdvdvdxdydzdtdtdtpppfdxfdyfdzxyzpppf dxf dyf dzdxdydzxyzddP 22022FFdvvdddPdPdt 蜒const 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室80l湯姆孫定理和斯托克斯定理說明：湯姆孫定理和斯托克斯定理說明：正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量

55、力作正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下，速度環(huán)量和渦旋不能自行產(chǎn)生，也不能自行消失。用下，速度環(huán)量和渦旋不能自行產(chǎn)生，也不能自行消失。n理想流體無粘性，不存在切應(yīng)力，不能傳遞旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)理想流體無粘性，不存在切應(yīng)力，不能傳遞旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；n既不能使不旋轉(zhuǎn)的流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)，也不能使旋轉(zhuǎn)的流體微團(tuán)停止旋轉(zhuǎn)既不能使不旋轉(zhuǎn)的流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)，也不能使旋轉(zhuǎn)的流體微團(tuán)停止旋轉(zhuǎn)；n流場中原來有渦旋和速度環(huán)量的，將保持有渦旋和速度環(huán)量；原來沒有流場中原來有渦旋和速度環(huán)量的，將保持有渦旋和速度環(huán)量；原來沒有渦旋和速度環(huán)量的，就永遠(yuǎn)沒有渦旋和速度環(huán)量渦旋和速度環(huán)量的，就永遠(yuǎn)沒有渦旋和速度環(huán)量；n流場中也會(huì)出現(xiàn)沒有速度環(huán)量但有渦

56、旋的情況，此時(shí)渦旋是成對出現(xiàn)的，流場中也會(huì)出現(xiàn)沒有速度環(huán)量但有渦旋的情況，此時(shí)渦旋是成對出現(xiàn)的，每對渦旋的強(qiáng)度相等而旋轉(zhuǎn)方向相反每對渦旋的強(qiáng)度相等而旋轉(zhuǎn)方向相反。過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室81二、亥姆霍茲定理二、亥姆霍茲定理l亥姆霍茲第一定理：在同一瞬時(shí)渦管各截面上的渦通量相同。亥姆霍茲第一定理：在同一瞬時(shí)渦管各截面上的渦通量相同。n沿包圍渦管任一截面封閉周線的速度環(huán)量相等沿包圍渦管任一截面封閉周線的速度環(huán)量相等0ABB A AABBBB AA A ABB A 0BBA AA ABBAABB 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室82n沿包圍渦管任一截面封閉周線

57、的速度環(huán)量相等沿包圍渦管任一截面封閉周線的速度環(huán)量相等AABB n斯托克斯定理：速度環(huán)量等于穿過封閉斯托克斯定理：速度環(huán)量等于穿過封閉周線所包圍截面的渦通量周線所包圍截面的渦通量n渦管各截面上渦通量相等渦管各截面上渦通量相等n渦管在流體中既不能開始，也不能終止，渦管在流體中既不能開始，也不能終止，只能是自成封閉的管圈，或在邊界上開只能是自成封閉的管圈，或在邊界上開始、終止。始、終止。nAdAC2 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室83l亥姆霍茲第二定理（渦管守恒定理）亥姆霍茲第二定理（渦管守恒定理）n在有勢的質(zhì)量力作用下的正壓理想流體中，渦管始終由相同的流在有勢的質(zhì)量力作用下的正

58、壓理想流體中，渦管始終由相同的流體質(zhì)點(diǎn)組成。體質(zhì)點(diǎn)組成。u渦管表面上任意由流體質(zhì)點(diǎn)組成的封閉周線渦管表面上任意由流體質(zhì)點(diǎn)組成的封閉周線Ku開始時(shí)沒有渦線穿過周線開始時(shí)沒有渦線穿過周線K所包圍的面積所包圍的面積u沿周線沿周線K的速度環(huán)量等于零的速度環(huán)量等于零u速度環(huán)量不能自生自滅，沿周線速度環(huán)量不能自生自滅，沿周線K的速度環(huán)量永遠(yuǎn)為零的速度環(huán)量永遠(yuǎn)為零u渦管表面上任何封閉周線所包圍的面積中永遠(yuǎn)沒有渦線通過渦管表面上任何封閉周線所包圍的面積中永遠(yuǎn)沒有渦線通過u在某一時(shí)刻構(gòu)成渦管的流體質(zhì)點(diǎn)永遠(yuǎn)在渦管上在某一時(shí)刻構(gòu)成渦管的流體質(zhì)點(diǎn)永遠(yuǎn)在渦管上u渦管永遠(yuǎn)為渦管，但渦管的現(xiàn)狀隨時(shí)間可能有變化渦管永遠(yuǎn)為渦管

59、，但渦管的現(xiàn)狀隨時(shí)間可能有變化過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室84l亥姆霍茲第三定理（渦管強(qiáng)度守恒定理）亥姆霍茲第三定理（渦管強(qiáng)度守恒定理）n在有勢的質(zhì)量力作用下的正壓理想流體中，渦管強(qiáng)度不隨時(shí)間變在有勢的質(zhì)量力作用下的正壓理想流體中，渦管強(qiáng)度不隨時(shí)間變化?；圍繞渦管表面圍繞渦管表面A取一封閉的流體質(zhì)點(diǎn)周線取一封閉的流體質(zhì)點(diǎn)周線Ku渦管始終由相同的流體質(zhì)點(diǎn)組成渦管始終由相同的流體質(zhì)點(diǎn)組成u沿渦管表面周線沿渦管表面周線K的速度環(huán)量保持不變的速度環(huán)量保持不變u通過渦管的渦通量也保持不變通過渦管的渦通量也保持不變u渦管強(qiáng)度不隨時(shí)間變化渦管強(qiáng)度不隨時(shí)間變化過程裝備與控制工程教研室過

60、程裝備與控制工程教研室85第八節(jié)第八節(jié)平平 面面 渦渦 流流 過程裝備與控制工程教研室過程裝備與控制工程教研室86l設(shè)在重力作用下的不可壓縮理想流體中，有一無限長的渦通量為設(shè)在重力作用下的不可壓縮理想流體中，有一無限長的渦通量為J的的垂直渦束，像剛體一樣以等角速度垂直渦束，像剛體一樣以等角速度繞自身軸旋轉(zhuǎn)；繞自身軸旋轉(zhuǎn)；l渦束周圍的流體受渦束的誘導(dǎo)將繞渦束軸作對應(yīng)的等速圓周運(yùn)動(dòng)；渦束周圍的流體受渦束的誘導(dǎo)將繞渦束軸作對應(yīng)的等速圓周運(yùn)動(dòng)；l由于直線渦束無限長，與渦束軸垂直的所有平面上的流動(dòng)情況都一樣，由于直線渦束無限長，與渦束軸垂直的所有平面上的流動(dòng)情況都一樣，可只研究其中一個(gè)平面的流動(dòng)?？芍谎?/p>