第七講：分部積分法,有理函數(shù)積分法

1、第七講第七講 不定積分的分布積分法不定積分的分布積分法/有理函數(shù)積分法有理函數(shù)積分法1 分部積分法分部積分法2 幾類特殊函數(shù)的不定積分幾類特殊函數(shù)的不定積分問題問題 ?dxxex解決思路解決思路利用兩個函數(shù)乘積的求導法則利用兩個函數(shù)乘積的求導法則.設設函函數(shù)數(shù))(xuu 和和)(xvv 具具有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù), ,vuvuuv , vuuvvu ,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部積分公式分部積分公式一、基本內(nèi)容一、基本內(nèi)容例例1 1 求積分求積分.cos xdxx解（一）解（一） 令令,cos xu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxsin2cos222顯然，

2、顯然， 選擇不當選擇不當，積分更難進行，積分更難進行.vu ,解（二）解（二） 令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx 例例2 2 求積分求積分.2 dxexx解解,2xu ,dvdedxexx dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分部積分法）（再次使用分部積分法）,xu dvdxex 總結總結 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余余)弦函數(shù)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積, 就考慮設冪函就考慮設冪函數(shù)為數(shù)為 , 使其降冪一次使其降冪一次(假定冪

3、指數(shù)是正整數(shù)假定冪指數(shù)是正整數(shù))u例例3 3 求積分求積分.arctan xdxx解解令令,arctan xu dvxdxdx 22 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx 例例4 4 求積分求積分.ln3 xdxx解解,ln xu ,443dvxddxx xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx 總結總結 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設

4、對數(shù)函函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為數(shù)或反三角函數(shù)為 .u例例5 5 求積分求積分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 例例6 6 求積分求積分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )co

5、scos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循環(huán)形式注意循環(huán)形式例例7 7 求積分求積分 .1arctan2dxxxx解解 ,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 dxxxx 2211arctan1令令txtan dxx 211 tdtt22sectan11 tdtsecCtt )tanln(secCxx )1ln(2 dxxxx21arctanxx arctan12 .)1ln(2Cxx 例

6、例 8 8 已已知知)(xf的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)是是2xe , 求求 dxxfx)(.解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2 Cedxxfx ),()(xfdxxf 兩邊同時對兩邊同時對 求導求導, 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2Cex 合理選擇合理選擇 ，正確使用分部積，正確使用分部積分公式分公式vu ,dxvuuvdxvu 二、小結二、小結思考題思考題 在接連幾次應用分部積分公式時，在接連幾次應用分部積分公式時， 應注意什么？應注意什么？思考題解答思考題解答注意前后幾次所選的注意前后幾次所選的 應為同類

7、型函數(shù)應為同類型函數(shù).u例例 xdxexcos第一次時若選第一次時若選xucos1 xdxexcosdxxexexx sincos第二次時仍應選第二次時仍應選xusin2 2 幾類特殊函數(shù)的不定積分幾類特殊函數(shù)的不定積分 2.1 有理函數(shù)積分法有理函數(shù)積分法 2.2 三角函數(shù)有理式積分三角函數(shù)有理式積分 2.3 簡單無理式的積分簡單無理式的積分.有理函數(shù)的定義：有理函數(shù)的定義：兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之. .mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其其中中m、n都都是是非非負負整整數(shù)數(shù)；naaa,10及及mbbb,10都都是是

8、實實數(shù)數(shù)，并并且且00 a，00 b.2.1、有理函數(shù)的積分、有理函數(shù)的積分假定分子與分母之間沒有公因式假定分子與分母之間沒有公因式,)1(mn 這有理函數(shù)是這有理函數(shù)是真分式真分式；,)2(mn 這有理函數(shù)是這有理函數(shù)是假分式假分式； 利用多項式除法利用多項式除法, 假分式可以化成一個假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和多項式和一個真分式之和.例例1123 xxx.112 xx難點難點 將有理函數(shù)化為部分分式之和將有理函數(shù)化為部分分式之和.（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，則分解后為，則分解后為kax)( ,)()(121axAaxAaxAkkk 有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律

9、：有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：其中其中kAAA,21都是常數(shù)都是常數(shù).特殊地：特殊地：, 1 k分解后為分解后為;axA （2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 則分解后為則分解后為042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其中其中iiNM ,都是常數(shù)都是常數(shù)), 2 , 1(ki .特殊地：特殊地：, 1 k分解后為分解后為;2qpxxNMx 真分式化為部分分式之和的真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法待定系數(shù)法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BA

10、xBAx , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1 12)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值來確定系數(shù)代入特殊值來確定系數(shù)CBA,取取, 0 x1 A取取, 1 x1 B取取, 2 xBA,并將并將 值代入值代入)1(1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例2 2例例3 3.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(

11、12xx 整理得整理得例例4 4 求積分求積分 .)1(12dxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(112.)1ln(11lnCxxx 解解例例5 5 求積分求積分 解解.)1)(21(12 dxxxdxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(12dxxdxxxx 2211511251)21ln(52.arctan51)1ln(51)21ln(522Cxxx 例例6 6 求積分求積分解解.11632dxeeexxx 令令6xet ,ln6tx ,6dttdx dxeeexxx 63211dttttt61123 dtttt )1)(

12、1(162dttttt 2133136Ctttt arctan3)1ln(23)1ln(3ln62dttttt 2133136.)arctan(3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx 23)1ln(3ln6 ttdttttd 2221131)1(說明說明 將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：現(xiàn)三類情況：)1(多項式；多項式；;)()2(naxA ;)()3(2nqpxxNMx 討論積分討論積分,)(2 dxqpxxNMxn,42222pqpxqpxx 令令tpx 2,422pqa ,2MpNb 則則 dxqpxxNMxn)(2 dtatM

13、tn)(22 dtatbn)(22,222atqpxx , bMtNMx 記記, 1)2( n dxqpxxNMxn)(2122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn這三類積分均可積出這三類積分均可積出, 且原函數(shù)都是初等函數(shù)且原函數(shù)都是初等函數(shù).結論結論 有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù). ., 1)1( n dxqpxxNMx2)ln(22qpxxM ;2arctanCapxab 三角有理式的定義：三角有理式的定義： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構成的函數(shù)稱之一般記為構成的函數(shù)稱之一般記為)cos,(sinxxR2c

14、os2sin2sinxxx 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx ,2sin2coscos22xxx 2.2 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分2sec2tan1cos22xxx ,2tan12tan122xx 令令2tanxu ,12sin2uux ,11cos22uux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR （萬能置換公式）（萬能置換公式）例例7 7 求積分求積分.cossin1sin dxxxx解解,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由萬能置換公式由萬能置換公式 dx

15、xxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(112222duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan )1ln(212u Cu |1|ln2tanxu 2x |2sec|lnx .|2tan1|lnCx 例例8 8 求積分求積分.sin14 dxx解（一）解（一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 解（二）解（二）修改萬能置換公式修改萬能置換公式,x

16、utan 令令,1sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421Cuu 1313.cotcot313Cxx 解（三）解（三）可以不用萬能置換公式可以不用萬能置換公式. dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc )(cot xd .cot31cot3Cxx 結論結論 比較以上三種解法比較以上三種解法, 便知萬能置換不一定便知萬能置換不一定是最佳方法是最佳方法, 故三角有理式的計算中先考故三角有理式的計算中先考慮其它手段慮其它手段, 不得已才用萬能置換不得已才用萬能置換.例例9 9 求積分求積分.sin3

17、sinsin1 dxxxx解解2cos2sin2sinsinBABABA dxxxxsin3sinsin1 dxxxxcos2sin2sin1 dxxxx2cossin4sin1 dxxx2cossin141 dxx2cos141 dxxxxx222cossincossin41 dxx2cos141 dxxdxxxsin141cossin412 dxx2cos141 dxxxdxsin141)(coscos1412 dxx2cos141xcos41 2tanln41x .tan41Cx 討論類型討論類型),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解決方法解決方法作代換去掉根號作代換去掉根號.

18、 .例例1010 求積分求積分 dxxxx11解解 令令txx 1,12txx 2.3 簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122Cttt 11ln2.11ln122Cxxxxx 例例1111 求積分求積分.1113 dxxx解解 令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt |1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 說明說明 無理函數(shù)去根號時無理函數(shù)去根號時, 取根指數(shù)的取根指數(shù)的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù).例例1212 求積分求積分.1213 dxxxx解解先對分母進行有理化先對分母進行有理化原式原式 dxxxxxxxx)1213)(1213