中誤差傳播定律

1、子學(xué)習(xí)情境5-2 誤差傳播定律根據(jù)衡量精度的指標(biāo)可以對(duì)同精度觀測(cè)值的真誤差來(lái)評(píng)定觀測(cè)值精度。但是，在實(shí)際工作中有許多未知量不能直接觀測(cè)而求其得，需要由觀測(cè)值間接計(jì)算出來(lái)。例如某未知點(diǎn)B的高程HB，是由起始點(diǎn)A的高程HA。加上從A點(diǎn)到B點(diǎn)間進(jìn)行了若干站水準(zhǔn)測(cè)量而得來(lái)的觀測(cè)高差h1、h2、hn求和得出的。這時(shí)未知點(diǎn)B的高程HB是各獨(dú)立觀測(cè)值（諸觀測(cè)高差h1、h2、hn）的函數(shù)。那么如何根據(jù)觀測(cè)值的中誤差去求觀測(cè)值函數(shù)的中誤差呢？由于直接觀測(cè)值有誤差，故它的函數(shù)也必然會(huì)有誤差。研究觀測(cè)值函數(shù)的精度評(píng)定問題，實(shí)質(zhì)上就是研究觀測(cè)值函數(shù)的中誤差與觀測(cè)值中誤差的關(guān)系問題。這種關(guān)系又稱誤差傳播定律。（一）倍數(shù)

2、函數(shù)的中誤差設(shè)有函數(shù) Z=KX （5-2-1）式中 X觀測(cè)值；K常數(shù)（無(wú)誤差）。用X與Z分別表示X和Z的真誤差，則Z+Z=K（X+X）上式減式（5-2-1）得Z=KX這就是函數(shù)真誤差與觀測(cè)值真誤差的關(guān)系式。設(shè)對(duì)X進(jìn)行了n次觀測(cè)，則有Z1=KX1Z2= KX2ZN= KXN將上列各式平方，并求其總和，得2Z1=K22X12Z2=K22X22ZN=K22XN2Z=K22X=K2z22xnn兩邊同除以n，得按中誤差定義，上式可表示為 m2Z=K2m2X或 mZ=KmX (5-2-2)可見，倍數(shù)函數(shù)的中誤差等于倍數(shù)（常數(shù)）與觀測(cè)值中誤差的乘積。例3 用比例尺在1：1000的圖上量得長(zhǎng)度L=168 mm

3、，并已知其中誤差mi=±0.2 mm，求相應(yīng)地面上的水平距離S及中誤差mS。解：相應(yīng)地面上的水平距離S=1000L=168 m中誤差mS=1000mi=±0.2 m最后寫成S=168±0.2 m（二）和、差函數(shù)的中誤差設(shè)有函數(shù)Z=X+Y和Z=Z-Y，為簡(jiǎn)單起見，合并寫成Z=X±Y （5-2-3）X、Y為獨(dú)立觀測(cè)值，所謂“獨(dú)立”，是指觀測(cè)值之間相互無(wú)影響，即任何一個(gè)觀測(cè)值產(chǎn)生的誤差，都不影響其他觀測(cè)值誤差的大小。一般來(lái)說(shuō)，直接觀測(cè)的值就是獨(dú)立觀測(cè)值。 令函數(shù)Z及X、Y的真誤差分別為Z、X、Y。顯然Z+Z=（X±X）±（Y+Y）將上式減去

4、式（5-2-3），得Z=X±Y觀測(cè)n次，則有Z1=X1±Y1Z2=X2±Y2Zn=Xn±Yn將上列各式兩邊平方并求和，得2Z=2X+2Y ±2XY兩邊同除以n，得=+±2z2x2yxynnnn （5-2-4）式中X與Y均為偶然誤差，其正、負(fù)誤差出現(xiàn)機(jī)會(huì)相等。因?yàn)閄、Y兩者獨(dú)立，故X的誤差X為正為負(fù)，與Y的誤差Y之為正為負(fù)無(wú)關(guān)（這種誤差關(guān)系又稱誤差獨(dú)立）；X為負(fù)時(shí)，Y也可能為正或?yàn)樨?fù)。這樣，X與Y隨機(jī)組合的結(jié)果，其乘積XY也有正有負(fù)，根據(jù)偶然誤差第四特性，則limnXY=0n故式（5-2-4）可寫成=+2z2x2Ynnn據(jù)中誤差定義，即

5、得m2Z=m2X+m2Y或 mZ=±mx+my （5-2-5） 式中，mZ、mX、mY分別為函數(shù)Z和觀測(cè)值X、Y的中誤差。不難證明，當(dāng)函數(shù)Z為： 22Z=X1±X2±.±Xn函數(shù)Z的中誤差m2Z=m2X1+m2X2+m2Xn222或 mZ=±mx1+mx2+.mxn （5-2-6）可見，n個(gè)觀測(cè)值代數(shù)和的中誤差的平方等于n個(gè)觀測(cè)值中誤差的平方和。當(dāng)n個(gè)獨(dú)立觀測(cè)值中，各個(gè)觀測(cè)值的中誤差均等于m時(shí)，則m2Z=n·m2或 mZ=nm即n個(gè)同精度觀測(cè)值代數(shù)和的中誤差，等于觀測(cè)值中誤差n倍。例4 在ABC中，直接觀測(cè)A、B，其中誤差分別為

6、77;6和±15，求三角形另一個(gè)角的中誤差。解：因?yàn)镃=180-A-B180為常數(shù)，無(wú)誤差，根據(jù)式（5-2-5）有m2C= m2A+ m2B將mA=±6、mB=±15代入上式，得22mC=±mA+mB=±62+152=±16''例5水準(zhǔn)測(cè)量計(jì)算公式h=a-b，高差h是水準(zhǔn)尺讀數(shù)a、b的函數(shù)，若a、b的中誤差分別為ma、mb，求H的中誤差mh。解：據(jù)式（5-2-5）22mh=±ma+mb由于a、b讀數(shù)中誤差相等，即ma = mb = m，則mh=±2m若m=±1 mm，則mh=±2

7、=±1.4mm（三）線性函數(shù)的中誤差設(shè)有函數(shù)Z= K1 X1±K2 X2 ±±Kn Xn （5-2-7）式中K1、K2、Kn為常數(shù)；X1、X2、Xn均為獨(dú)立觀測(cè)值，它們的中誤差分別為m1、m2、mn。函數(shù)Z與各觀測(cè)值X1、X2、Xn的真誤差關(guān)系式為Z= K1X1±K2X2 ±±KnXn根據(jù)式（5-2-2）、式（5-2-6），得mZ2= K21m12+ K22m22+ K2n mn2 （5-2-8）可見常數(shù)與獨(dú)立觀測(cè)值乘積的代數(shù)和的中誤差平方，等于各常數(shù)與相應(yīng)的獨(dú)立觀測(cè)值中誤差乘積的平方和。例6對(duì)某一直線作等精度觀測(cè)。往測(cè)距離

8、為L(zhǎng)1，返測(cè)距離為L(zhǎng)2，其中誤差均為m。求該直線的最后結(jié)果及其中誤差。解；最后結(jié)果L為L(zhǎng)1+L22設(shè)L的中誤差為mL，依式（8-14）有 L=2mL=121212m+m=m442即mL=（四）一般函數(shù)的中誤差設(shè)有一般函數(shù) m2Z=f（X1，X2，Xn） （5-2-9） 式中，X1，X2，Xn為具有中誤差mX1，mX2，mXn的獨(dú)立觀測(cè)值 。各觀測(cè)值的真誤差分別為X1、X2、Xn，其函數(shù)Z也將產(chǎn)生真誤差z.?，F(xiàn)對(duì)式(5-2-9)取全微分,得dZ=fffdX1+dX2+ +dXnX1X2Xn（5-2-10） 一般說(shuō)來(lái),測(cè)量中的真誤差很小，故可用真誤差代替上式中的微分，即得z=fffX1+X2+ +

9、XnX1X2Xn（5-2-11） 式中 fff、為函數(shù)對(duì)各個(gè)變量所取得的偏導(dǎo)數(shù)，將其中的變量以觀測(cè)值X1X2Xn代入，所算出的值即相當(dāng)于線性函數(shù)式(5-2-7)中的常數(shù)K1、K2、Kn，而式(5-2-11)就相當(dāng)于線性函數(shù)式(5-2-7)真誤差的關(guān)系式。按線性函數(shù)中誤差與真誤差的關(guān)系式，可直接寫出函數(shù)中誤差的關(guān)系式，即2mz=(f22f22f22)mX1+()mX2+ +()mXnX1X2Xnf=Kixi或 （5-2-12）mz=(f22f22f22)mX1+()mX2+ +()mXnX1X2Xn可見，一般函數(shù)的中誤差之平方，等于該函數(shù)對(duì)每個(gè)獨(dú)立觀測(cè)值所求的偏導(dǎo)數(shù)與相應(yīng)的獨(dú)立觀測(cè)值中誤差乘積的

10、平方和。例7 設(shè)沿傾斜地面上A、B兩點(diǎn)丈量，得傾斜距離L=22.992 m，測(cè)得A、B兩點(diǎn)間高差h=2.05m，若測(cè)量L、h的中誤差分別為±0.003 m和±0.05 m，求水平距離s及其中誤差ms。解：水平距離s=L2-h2=29.9922-2.052=29.922根據(jù)式(5-2-12)，有S2S2ms2= mL+ mh Lh式中 22S11=2L=22L2L-hLL2-h2=L SS11hh=(-2h)=-=- h2L2-h2SL2-h2將L、H和S值代入，得S2.05=-=-0.0685 h29.922S29.992=-=1.0023 L29.9222mS=1.002

11、320.0032+0.068520.052則mS=±(1.00230.003)2+(0.06850.05)2=±0.005m最后寫成 S=29.922 m±0.005 m公式(5-2-12)表達(dá)了一般函數(shù)的誤差傳播定律，它概括了前述三種函數(shù)中誤差公式。因?yàn)閷?duì)于和、差函數(shù)而言，f，此時(shí)式(5-2-12)就寫成式(5-2-6)。=1（i =1、2、n）xif=1、2、n），此時(shí)式(5-2-12)就可寫成式(5-2-2)=Ki（i xi對(duì)于倍數(shù)函數(shù)、線型函數(shù)，或式(5-2-8)。必須著重指出，應(yīng)用誤差傳播定律時(shí)，函數(shù)中作為自變量的各觀測(cè)值，必須是獨(dú)立觀測(cè)值，也即各自變量

12、之間不存在依賴關(guān)系，否則將導(dǎo)致錯(cuò)誤，下面舉例說(shuō)明。例8水平視線視距測(cè)量時(shí)，只觀測(cè)了一個(gè)尺間隔l值。依其視距計(jì)算公式，則有s=100l如同本章例3那樣，s之中誤差 ms與l之中誤差ml的關(guān)系為ms=100 ml這樣計(jì)算ms的方法無(wú)疑是正確的。若將公式s=Kl寫成s=l+l+. （加至K個(gè)l）依式(5-2-6),有ms=Kml這樣的計(jì)算是錯(cuò)誤的。因?yàn)槿魧懗蓅= l+l+（加至K個(gè) l ），各l值必須是直接觀測(cè)的獨(dú)立觀測(cè)值，而實(shí)際上l只是一個(gè)獨(dú)立的，從而導(dǎo)致了錯(cuò)誤。（五）若干獨(dú)立誤差綜合影響的中誤差一個(gè)觀測(cè)值的中誤差，往往受許多獨(dú)立誤差的綜合影響。例如，經(jīng)緯儀觀測(cè)一個(gè)方向時(shí)，就受目標(biāo)偏心、儀器偏心（儀器未真正對(duì)中）、照準(zhǔn)、讀數(shù)等誤差的綜合影響。這些獨(dú)立誤差都屬于偶然誤差。可以認(rèn)為各獨(dú)立真誤差1、2、n的代數(shù)和就是綜合影響的真誤差F，即F=1+2+n這相當(dāng)于和、差函數(shù)真誤差的關(guān)系式，故可得m2F=m2122+m2n （5-2-13）