第5講二項(xiàng)分布與正態(tài)分布

1、班級(jí)學(xué)科數(shù)學(xué)講課人時(shí)間課題 第5講 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布課型學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念；2.理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；學(xué)習(xí)重點(diǎn)理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；學(xué)習(xí)難點(diǎn)了解正態(tài)密度曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，并進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用.課前檢測(cè) 學(xué)習(xí)過(guò)程 知 識(shí) 梳 理1條件概率及其性質(zhì)(1)對(duì)于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)P(B|A)來(lái)表示，其公式為P(B|A)(P(A)>0)在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的個(gè)數(shù)，則P(B|A).(2)條件概率

2、具有的性質(zhì)：0P(B|A)1；如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(BC)|A)P(B|A)P(C|A)2事件的相互獨(dú)立性(1)對(duì)于事件A，B，若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，則稱A，B是相互獨(dú)立事件(2)若A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)P(B)，P(AB)P(B|A)P(A)P(A)P(B)(3)若A與B相互獨(dú)立，則A與，與B，與_也都相互獨(dú)立(4)若P(AB)P(A)P(B)，則A與B相互獨(dú)立3獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)，在這種試驗(yàn)中每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗(yàn)中各事件發(fā)生的概率都是一樣的(2)

3、在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(Xk)Cpk(1p)nk(k0，1，2，n)，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記為XB(n，p)，并稱p為成功概率4正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線：函數(shù)，(x) ，x(，)，其中和為參數(shù)(>0，R)，我們稱函數(shù)，(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)：曲線位于x軸上方，與x軸不相交；曲線是單峰的，它關(guān)于直線x對(duì)稱；曲線在x處達(dá)到峰值；曲線與x軸之間的面積為1；當(dāng)一定時(shí)，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”，表示總體的

4、分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示(3)正態(tài)分布的定義及表示如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b(a<b)，隨機(jī)變量X滿足P(a<Xb)，(x)dx，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作XN(，2)正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值P(<X)0.682_6；P(2<X2)0.954_4；P(3<X3)0.997_4診 斷 自 測(cè)1判斷正誤(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)條件概率一定不等于它的非條件概率(×)(2)相互獨(dú)立事件就是互斥事件(×)(3)對(duì)于任意兩個(gè)事件，公式P(AB)P(A)P(B)都成立(×)

5、(4)P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，P(BA)表示事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率()2袋中有3紅5黑8個(gè)大小形狀相同的小球，從中依次摸出兩個(gè)小球，則在第一次摸得紅球的條件下，第二次仍是紅球的概率為()A. B. C. D.解析第一次摸出紅球，還剩2紅5黑共7個(gè)小球，所以再摸到紅球的概率為.答案B3(2015·武漢模擬)某一批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率為，那么播下3粒這樣的種子恰有2粒發(fā)芽的概率是()A. B. C. D.解析每1粒發(fā)芽的概率為定值，播下3粒種子相當(dāng)于做了3次重復(fù)試驗(yàn)，用X表示發(fā)芽的粒數(shù)，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)服從二項(xiàng)分布，即B，P(X2)C×&

6、#215;.答案C4設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，9)，若P(X>c1)P(X<c1)，則c等于()A1 B2 C3 D4解析2，由正態(tài)分布的定義知其圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱，于是2，c2.答案B5(人教A選修23P55練習(xí)3改編)國(guó)慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為，乙去北京旅游的概率為，假定二人的行動(dòng)相互之間沒(méi)有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為_(kāi)解析記在國(guó)慶期間“甲去北京旅游”為事件A，“乙去北京旅游”為事件B，又P()P()·P()1P(A)1P(B)，甲、乙二人至少有一人去北京旅游的對(duì)立事件為甲、乙二人都不去北京旅游，所求概率為1P()1.答案考點(diǎn)一條件

7、概率【例1】 (1)從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于()A. B. C. D.(2)已知1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球，現(xiàn)隨機(jī)地從1號(hào)箱中取出一球放入2號(hào)箱，然后從2號(hào)箱隨機(jī)取出一球，則兩次都取到紅球的概率是()A. B. C. D.解析(1)法一(1)P(A)，P(AB)，由條件概率公式，得P(B|A).法二n(A)CC4，n(AB)1，P(B|A).(2)設(shè)從1號(hào)箱取到紅球?yàn)槭录嗀，從2號(hào)箱取到紅球?yàn)槭录﨎.由題意，P(A)，P(B|A)，P(AB)P(B|A)·

8、;P(A)×，所以兩次都取到紅球的概率為.答案(1)B(2)C規(guī)律方法條件概率的求法：(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A).這是通用的求條件概率的方法(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A).【訓(xùn)練1】 已知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡，這些燈泡的外形與功率都相同且燈口向下放著，現(xiàn)需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只并不放回，則在他第1次抽到的是螺口燈泡的條件下，第2次抽到的是卡口燈泡的概率為()A. B. C. D.解析法一設(shè)事件A為“第1次抽到的是

9、螺口燈泡”，事件B為“第2次抽到的是卡口燈泡”，則P(A)，P(AB)×，則所求概率為P(B|A).法二第1次抽到螺口燈泡后還剩余9只燈泡，其中有7只卡口燈泡，故第2次抽到卡口燈泡的概率為.答案D考點(diǎn)二相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率【例2】 (2013·陜西卷改編)在一場(chǎng)娛樂(lè)晚會(huì)上，有5位民間歌手(1至5號(hào))登臺(tái)演唱，由現(xiàn)場(chǎng)數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷，他必選1號(hào)，不選2號(hào)，另在3至5號(hào)中隨機(jī)選2名觀眾乙和丙對(duì)5位歌手的演唱沒(méi)有偏愛(ài)，因此在1至5號(hào)中選3名歌手(1)求觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概

10、率；(2)X表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求“X2”的事件概率解(1)設(shè)A表示事件“觀眾甲選中3號(hào)歌手”，B表示事件“觀眾乙選中3號(hào)歌手”，則P(A)，P(B).事件A與B相互獨(dú)立，A與相互獨(dú)立則A·表示事件“甲選中3號(hào)歌手，且乙沒(méi)選中3號(hào)歌手”P(A)P(A)·P()P(A)·1P(B)×，(2)設(shè)C表示事件“觀眾丙選中3號(hào)歌手”，則P(C)，依題意，A，B，C相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，且AB，AC，BC，ABC彼此互斥又P(X2)P(AB)P(AC)P(BC)××××××，P(X3)P

11、(ABC)××，P(X2)P(X2)P(X3).規(guī)律方法(1)正確分析所求事件的構(gòu)成，將其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥事件的和或相互獨(dú)立事件的積，然后利用相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算(2)注意根據(jù)問(wèn)題情境正確判斷事件的獨(dú)立性(3)在應(yīng)用相互獨(dú)立事件的概率公式時(shí)，對(duì)含有“至多有一個(gè)發(fā)生”“至少有一個(gè)發(fā)生”的情況，可結(jié)合對(duì)立事件的概率求解【訓(xùn)練2】 甲、乙兩人各進(jìn)行一次射擊，如果兩人擊中目標(biāo)的概率都是0.8，計(jì)算：(1)兩人都擊中目標(biāo)的概率；(2)其中恰有一人擊中目標(biāo)的概率；(3)至少有一人擊中目標(biāo)的概率解記“甲射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件A，“乙射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件B.“兩人都擊中目標(biāo)”是事件

12、AB；“恰有1人擊中目標(biāo)”是AB；“至少有1人擊中目標(biāo)”是ABAB.(1)顯然，“兩人各射擊一次，都擊中目標(biāo)”就是事件AB，又由于事件A與B相互獨(dú)立，P(AB)P(A)·P(B)0.8×0.80.64.(2)“兩人各射擊一次，恰好有一人擊中目標(biāo)”包括兩種情況：一種是甲擊中乙未擊中(即A)，另一種是甲未擊中乙擊中(即B)根據(jù)題意，這兩種情況在各射擊一次時(shí)不可能同時(shí)發(fā)生，即事件A與B是互斥的，所以所求概率為PP(A)P(B)P(A)·P()P()·P(B)0.8×(10.8)(10.8)×0.80.160.160.32.(3)“兩人各射擊

13、一次，至少有一人擊中目標(biāo)”的概率為PP(AB)P(A)P(B)0.640.320.96.考點(diǎn)三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布【例3】 (2014·四川卷節(jié)選)一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂(lè)，要么不出現(xiàn)音樂(lè)；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂(lè)獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂(lè)獲得20分，出現(xiàn)三次音樂(lè)獲得100分，沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)則扣除200分(即獲得200分)設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)相互獨(dú)立(1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列；(2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂(lè)的概率解(1)X可能的取值為10，20，100，200.根據(jù)題意，有P(X1

14、0)C××，P(X20)C××，P(X100)C××，P(X200)C××.所以X的分布列為X1020100200P(2)設(shè)“第i盤游戲沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)”為事件Ai(i1，2，3)，則P(A1)P(A2)P(A3)P(X200).所以，“三盤游戲中至少有一次出現(xiàn)音樂(lè)”的概率為1P(A1A2A3)11.因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂(lè)的概率是.規(guī)律方法利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式可以簡(jiǎn)化求概率的過(guò)程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式Pn(k)Cpk(1p)nk的三個(gè)條件：(1)在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)p

15、；(2)n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；(3)該公式表示n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了k次的概率【訓(xùn)練3】 乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員間進(jìn)行，比賽采用7局4勝制(即先勝4局者獲勝，比賽結(jié)束)，假設(shè)兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同(1)求甲以4比1獲勝的概率；(2)求乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局的概率；(3)求比賽局?jǐn)?shù)的分布列解(1)由已知，得甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在每一局比賽中獲勝的概率都是.記“甲以4比1獲勝”為事件A，則P(A)C·.(2)記“乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局”為事件B.乙以4比2獲勝的概率為P1C·，乙以4比3獲勝的概

16、率為P2C·，所以P(B)P1P2.(3)設(shè)比賽的局?jǐn)?shù)為X，則X的可能取值為4，5，6，7.P(X4)2C，P(X5)2C·，P(X6)2C·，P(X7)2C·.比賽局?jǐn)?shù)的分布列為X4567P考點(diǎn)四正態(tài)分布【例4】 已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，2)，且P(X<4)0.8，則P(0<X<2)()A0.6 B0.4 C0.3 D0.2解析由P(X<4)0.8，得P(X4)0.2，由題意知正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為直線x2，P(X0)P(X4)0.2，P(0<X<4)1P(X0)P(X4)0.6，P(0<X<2)P

17、(0<X<4)0.3.答案C規(guī)律方法(1)求解本題關(guān)鍵是明確正態(tài)曲線關(guān)于x2對(duì)稱，且區(qū)間0，4也關(guān)于x2對(duì)稱(2)關(guān)于正態(tài)曲線在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法：熟記P(<X)，P(2<X2)，P(3<X3)的值；充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1.【訓(xùn)練4】 在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī)X服從正態(tài)分布，即XN(100，100)，已知滿分為150分若這次考試共有2 000名考生參加，試估計(jì)這次考試不及格(小于90分)的人數(shù)解由XN(100，100)知100，10.P(90<X110)P(10010<X10010)0.682 6，P(X<90

18、)(10.682 6)0.158 7，不及格人數(shù)為2 000×0.158 7317(人).思想方法1古典概型中，A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率公式為P(B|A)，其中，在實(shí)際應(yīng)用中P(B|A)是一種重要的求條件概率的方法2相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨(dú)立事件是指兩個(gè)事件發(fā)生的概率互不影響，計(jì)算式為P(AB)P(A)P(B)互斥事件是指在同一試驗(yàn)中，兩個(gè)事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生，計(jì)算公式為P(AB)P(A)P(B)3二項(xiàng)分布是概率論中最重要的幾種分布之一，在實(shí)際應(yīng)用和理論分析中都有重要的地位(1)判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵有二：其一是獨(dú)立性，即一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生與不發(fā)生二者必居其一；其二是重復(fù)性，即試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了n次(2)對(duì)于二項(xiàng)分布，如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是P(Xk)Cpkqnk.其中k0，