二次函數(shù)與圓(共29頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上二次函數(shù)與圓有關(guān)的問題題1：（本題滿分10分）如圖，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，以線段AB為直徑作C，拋物線過A、C、O三點(1) 求點C的坐標(biāo)和拋物線的解析式；(2) 過點B作直線與x軸交于點D，且OB2=OA·OD，求證：DB是C的切線；(3) 拋物線上是否存在一點P，使以P、O、C、A為頂點的四邊形為直角梯形，如果存在，求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由1題圖解：（1）A（6，0），B（0，6） 1分連結(jié)OC,由于AOB=90o，C為AB的中點，則，所以點O在C上（沒有說明不扣分）過C點作CEOA，垂足為E，則E為OA中點,故點C的橫坐標(biāo)為

2、3又點C在直線y=x+6上，故C（3，3） 2分拋物線過點O，所以c=0,又拋物線過點A、C，所以，解得： 所以拋物線解析式為 3分（2）OA=OB=6代入OB2=OA·OD，得OD=6 4分 所以O(shè)D=OB=OA，DBA=90o 5分 又點B在圓上，故DB為C的切線 6分（通過證相似三角形得出亦可）（3）假設(shè)存在點P滿足題意因C為AB中點,O在圓上,故OCA=90o,要使以P、O、C、A為頂點的四邊形為直角梯形，則 CAP=90o或 COP=90o, 7分若CAP=90o,則OCAP，因OC的方程為y=x,設(shè)AP方程為y=x+b又AP過點A（6，0），則b=6, 8分方程y=x6與

3、聯(lián)立解得：， 故點P1坐標(biāo)為（3，9） 9分 若COP=90o,則OPAC，同理可求得點P2（9，9） (用拋物線的對稱性求出亦可) 故存在點P1坐標(biāo)為（3，9）和P2（9，9）滿足題意10分題2： (8分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的等邊CDE恰好與坐標(biāo)系中的OAB重合，現(xiàn)將CDE繞邊AB的中點G(G點也是DE的中點)，按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°到C1DE的位置(1)求C1點的坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過三點O、A、C的拋物線的解析式；(3)如圖，G是以AB為直徑的圓，過B點作G的切線與x軸相交于點F，求切線BF的解析式；(4)拋物線上是否存在一點M，使得SAMFSOAB163若存在，

4、請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由第26題圖第26題圖第26題圖解：(1)C(3，) (2)拋物線過原點O(0，0)，設(shè)拋物線解析式為yax2bx把A(2，0)，C(3，)帶入，得 解得a，b拋物線解析式為yx2x(3)ABF90°，BAF60°，AFB30°又AB2 AF4 OF2 F(2，0) 設(shè)直線BF的解析式為ykxb把B(1，)，F(xiàn)(2，0)帶入，得 解得k，b直線BF的解析式為yx (4)當(dāng)M在x軸上方時，存在M(x，x2x)SAMF：SOAB×4×(x2x)：×2×416：3得x22x80，解得x14，x2

5、2當(dāng)x14時，y×42×4；當(dāng)x12時，y×(2)2×(2)M1(4，)，M2(2，)當(dāng)M在x軸下方時，不存在，設(shè)點M(x，x2x) SAMF：SOAB×4×(x2x)：×2×416：3得x22x80，b24ac0 無解 綜上所述，存在點的坐標(biāo)為M1(4，)，M2(2，)題3：拋物線的頂點為M，與軸的交點為A、B（點B在點A的右側(cè)），ABM的三個內(nèi)角M、A、B所對的邊分別為m、a、b。若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根。（1）判斷ABM的形狀，并說明理由。（2）當(dāng)頂點M的坐標(biāo)為（2，1）時，求拋物線的解析式，并

6、畫出該拋物線的大致圖形。（3）若平行于軸的直線與拋物線交于C、D兩點，以CD為直徑的圓恰好與軸相切，求該圓的圓心坐標(biāo)。解：（1）令 得 由勾股定理的逆定理和拋物線的對稱性知ABM是一個以、為直角邊的等腰直角三角形 （2）設(shè)ABM是等腰直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半又頂點M(2，1)，即AB2A(3，0)，B(1，0)將B(1，0) 代入中得拋物線的解析式為，即圖略（3）設(shè)平行于軸的直線為解方程組得， （線段CD的長為以CD為直徑的圓與軸相切據(jù)題意得解得 圓心坐標(biāo)為和題4如圖10，已知點A的坐標(biāo)是（1，0），點B的坐標(biāo)是（9，0），以AB為直徑作O，交y軸的負半軸于點C，連接AC、BC，過

7、A、B、C三點作拋物線（1）求拋物線的解析式；（2）點E是AC延長線上一點，BCE的平分線CD交O于點D，連結(jié)BD，求直線BD的解析式；圖10（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點P，使得PDBCBD?如果存在，請求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由解：(1) 以AB為直徑作O，交y軸的負半軸于點C，OCA+OCB=90°，又OCB+OBC=90°，OCA=OBC，又AOC= COB=90°，AOC COB，1分又A(1，0)，B(9，0)，解得OC=3(負值舍去)C(0，3)，3分設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x9)，3=a(0+1)(09)，解得a=

8、，二次函數(shù)的解析式為y=(x+1)(x9)，即y=x2x34分(2) AB為O的直徑，且A(1，0)，B(9，0)，OO=4，O(4，0)，5分點E是AC延長線上一點，BCE的平分線CD交O于點D，BCD=BCE=×90°=45°，連結(jié)OD交BC于點M，則BOD=2BCD=2×45°=90°，OO=4，OD=AB=5D(4，5)6分設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b（k0）7分圖10答案圖1解得直線BD的解析式為y=x9.8分(3) 假設(shè)在拋物線上存在點P，使得PDB=CBD，解法一：設(shè)射線DP交O于點Q，則分兩種情況(如答案圖1所示)

9、：O(4，0)，D(4，5)，B(9，0)，C(0，3)把點C、D繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，使點D與點B重合，則點C與點Q1重合，因此，點Q1(7，4)符合，D(4，5)，Q1(7，4)，用待定系數(shù)法可求出直線DQ1解析式為y=x9分解方程組得點P1坐標(biāo)為(，)，坐標(biāo)為(，)不符合題意，舍去10分Q1(7，4)，點Q1關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為Q2(7，4)也符合D(4，5)，Q2(7，4)用待定系數(shù)法可求出直線DQ2解析式為y=3x1711分解方程組得點P2坐標(biāo)為(14，25)，坐標(biāo)為(3，8)不符合題意，舍去12分符合條件的點P有兩個：P1(，)，P2(14，25)圖10答案圖2解法

10、二：分兩種情況(如答案圖2所示)：當(dāng)DP1CB時，能使PDB=CBDB(9，0)，C(0，3)用待定系數(shù)法可求出直線BC解析式為y=x3又DP1CB，設(shè)直線DP1的解析式為y=x+n把D(4，5)代入可求n= ，直線DP1解析式為y=x9分解方程組得點P1坐標(biāo)為(，)，坐標(biāo)為(，)不符合題意，舍去10分在線段OB上取一點N，使BN=DM時，得NBDMDB(SAS)，NDB=CBD由知，直線BC解析式為y=x3題5（本題滿分14分）如圖，已知拋物線y = ax2 + bx3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，經(jīng)過A、B、C三點的圓的圓心M（1，m）恰好在此拋物線的對稱軸上，M的半徑為設(shè)M與y軸

11、交于D，拋物線的頂點為E（1）求m的值及拋物線的解析式；（2）設(shè)DBC = a，CBE = b，求sin（ab）的值；（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與BCE相似？若存在，請指出點P的位置，并直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解（1）由題意可知C（0，3）， 拋物線的解析式為y = ax22ax3（a0），過M作MNy軸于N，連結(jié)CM，則MN = 1， CN = 2，于是m =1同理可求得B（3，0）， a×3222a×33 = 0，得 a = 1， 拋物線的解析式為y = x22x3 （2）由（1）得 A（1，0），E（1，4），D（0

12、，1） 在RtBCE中， ， ，即 ， RtBODRtBCE，得 CBE =OBD =b，因此 sin（ab）= sin（DBCOBD）= sinOBC =（3）顯然 RtCOARtBCE，此時點P1（0，0）過A作AP2AC交y正半軸于P2，由RtCAP2 RtBCE，得過C作CP3AC交x正半軸于P3，由RtP3CARtBCE，得P3（9，0）故在坐標(biāo)軸上存在三個點P1（0，0），P2（0，13），P3（9，0），使得以P、A、C為頂點的三角形與BCE相似題6： 已知：是邊長為的等邊的外接圓，以過點的直徑所在直線為軸，以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，軸與交于點8f（1）求，三點坐標(biāo)（2）

13、求過，三點的拋物線的解析式（3）的切線交軸正半軸于點，交軸正半軸于點，切點為點，且，試判斷直線是否過拋物線的頂點？并說明理由題7：如圖是二次函數(shù)的圖象，頂點為，與軸的交點為（） 求經(jīng)過、兩點的直線的函數(shù)關(guān)系式；（） 若的圓心為，半徑為，過向該圓作切線，切點為請求出所有能使與全等的、的值；（） 請在第二象限中的拋物線上找一點，使的面積與的面積相等AByxO解：（1）1分設(shè)過、的直線的函數(shù)關(guān)系式為2分 有解得：3分函數(shù)關(guān)系式為：4分（2）要使與全等，即，5分6分故有四組解： 7分（3）過，令 9分AByxDCO 10分 而（舍）11:題8：（13分）已知拋物線（m為常數(shù)）經(jīng)過點（0，4）求m的值；

14、將該拋物線先向右、再向下平移得到另一條拋物線。已知這條平移后的拋物線滿足下述兩個條件：它的對稱軸（設(shè)為直線l2）與平移前的拋物線的對稱軸（設(shè)為l1）關(guān)于y軸對稱；它所對應(yīng)的函數(shù)的最小值為8.試求平移后的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；試問在平移后的拋物線上是否存在著點P，使得以3為半徑的P既與x軸相切，又與直線l2相交？若存在，請求出點P的坐標(biāo)，并求出直線l2被P所截得的弦AB的長度；若不存在，請說明理由。解：（1）依題意得：02+4×0+m=4，解得m=4 （3分）（2） 由（1）得：y=x2+4x+4=(x+2)2， 對稱軸為直線l1: x=-2 （4分） 依題意得平移后的拋物線的對稱

15、軸為直線直線l2：x=2 （5分） 故設(shè)平移后的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y =(x-2)2+k （6分） 此函數(shù)最小值為-8，k=-8 即平移后的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y =(x-2)2-8= x2-4x-4 （7分） 存在。理由如下： 由知平移后的拋物線的對稱軸為直線l2：x=2 當(dāng)點P在x軸上方時，P與x軸相切，故令y= x2-4x-4=3， 解得x=2± （8分） 此時點P1(2+,3),P2(2-,3)與直線x=2之距均為， 故點P1、P2不合題意，應(yīng)舍去。（9分）當(dāng)點P在x軸下方時，P與x軸相切，故令y= x2-4x-4=-3，解得x=2± （10分）此時點

16、P3(2+,-3),P4(2-,-3)與直線x=2之距均為，3，P3、P4均與直線l2：x=2相間，故點P3、P4符合題意。（11分）此時弦AB=2×綜上，點P的坐標(biāo)為(2+,-3)或(2-,-3)，直線l2被P所截得的弦AB的長為4。（13分）題9：（本題滿分10分）如圖281，設(shè)拋物線交軸于兩點，頂點為以為直徑作半圓，圓心為，半圓交軸負半軸于（1）求拋物線的對稱軸；（2）將繞圓心順時針旋轉(zhuǎn)，得到三角形，如圖282求點的坐標(biāo)；（3）有一動點在線段上運動，的周長在不斷變化時是否存在最小值？若存在，求點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由ABMOCxyMOxyPC圖281圖282xOPy題9：如

17、圖，已知P的半徑為2，圓心P在拋物線上運動，當(dāng)P與軸相切時，圓心P的坐標(biāo)為_。第18題題10：已知拋物線與y軸的交于C點，C點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C。（1）求拋物線的對稱軸及C、C的坐標(biāo)（可用含m的代數(shù)式表示）；（2）如果點Q在拋物線的對稱軸上，點P在拋物線上，以點C、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求Q點和P的坐標(biāo)（可用含m的代數(shù)式表示）；（3）在（2）的條件下，求出平行四邊形的周長。題11：（本題滿分12分）如圖13，四邊形AOBC為直角梯形，OC，OB5AC，OC所在的直線方程為，平行于OC的直線為：，由A點平移到B點時，與直角梯形AOBC兩邊所圍成的三角形的面積記為。(1)

18、求點C的坐標(biāo)；(2)求的取值范圍；(3)求出與之間的函數(shù)關(guān)系式。26如圖，已知二次函數(shù)y=ax2bxc的象經(jīng)過A(1，0)、B(3，0)、N(2，3)三點，且與y軸交于點C。(1)求這個二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點M及點C的坐標(biāo)；(2)若直線y=kxd經(jīng)過C、M兩點，且與x軸交于點D，試證明四邊形CDAN是平行四邊形；(3)點P是這個二次函數(shù)的對稱軸上一動點，請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點P，使以點P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點，并且與直線CD相切，如果存在，請求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由。題12：（本小題滿分10分）已知：半徑為1的O1與X軸交于A、B 兩點，圓心O1的坐標(biāo)為（2, 0)，二

19、次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過A、B兩點，其頂點為F.（1）求 b、c的值及二次函數(shù)頂點F的坐標(biāo)； (4分）（2）寫出將二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象向下平移1個單位再向左平移2個單位的圖象的函數(shù)表達式；（2分）（3）經(jīng)過原點O的直線與O相切，求直線的函數(shù)表達式.(4分）解：題13：如圖是二次函數(shù)的圖象，頂點為，與軸的交點為（） 求經(jīng)過、兩點的直線的函數(shù)關(guān)系式；（） 若的圓心為，半徑為，過向該圓作切線，切點為請求出所有能使與全等的、的值；（） 請在第二象限中的拋物線上找一點，使的面積與的面積相等AByxO解：（1）1分設(shè)過、的直線的函數(shù)關(guān)系式為2分 有解得：3分函數(shù)關(guān)系式為：4分（2

20、）要使與全等，即，5分6分故有四組解： 7分（3）過，令 9分AByxDCO 10分 而（舍）11分題14：已知：如圖（13），拋物線的頂點C在以D（2，2）為圓心，4為半徑的圓上，且經(jīng)過D與軸的兩個交點A、B，連結(jié)AC、BC、OC。（1） 求點C的坐標(biāo)；（2） 求圖中陰影部分的面積；（3） 在拋物線上是否存在點P，使DP所在直線平分線段OC？若存在，求出點P的坐標(biāo)；枯葉不存在，請說明理由。 解：（1）如圖，作CH軸，垂足為H， 直線CH為拋物線對稱軸，H為AB的中點。1分CH必經(jīng)過圓珠筆心D（2，2）。DC=4，CH=6 C點的坐標(biāo)為（2，6）。3分 （2）連結(jié)AD。 在RtADH中，AD=

21、4，DH=2， ，4分 5分。6分陰影部分的面積。7分 （3）又，H點坐標(biāo)為（2，0），H為AB的中點，A點坐標(biāo)為（22，0），B點坐標(biāo)為（，0）。8分又拋物線頂點C的坐標(biāo)為（2，6），設(shè)拋物線解析式為。B（，0）在拋物線上，解得。拋物線的解析式為9分設(shè)OC的中點為E，過E作EF軸，垂足為F，連結(jié)DE，CH軸，EF軸，CHEFE為OC的中點，。即點E的坐標(biāo)為（1，3）。設(shè)直線DE的解析式為，解得，直線DE的解析式為。10分若存在P點滿足已知條件，則P點必在直線DE和拋物線上。設(shè)點P的坐標(biāo)為（，），即點P坐標(biāo)為（，），解這個方程，得，點P的坐標(biāo)為（0，4）和（6，2）。故在拋物線上存在點P，使D

22、P所在直線平分線段OC。12分題15：已知：是邊長為的等邊的外接圓，以過點的直徑所在直線為軸，以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，軸與交于點8f（1）求，三點坐標(biāo)（2）求過，三點的拋物線的解析式（3）的切線交軸正半軸于點，交軸正半軸于點，切點為點，且，試判斷直線是否過拋物線的頂點？并說明理由題16：（本題滿分10分）已知拋物線經(jīng)過點、（），且與軸交于點（1）求、的值（用含的式子表示）；（2）如圖所示，過、三點，求陰影部分扇形的面積（用含的式子表示）；（3）在軸上方，若拋物線上存在點，使得以、為頂點的三角形與相似，求的值MOCAB解：（1）依題意得有，解得：（2分）拋物線的解析式為：（2）時，又（

23、5分）（3）如圖，由拋物線的對稱性可知，若拋物線上存在點，使得以、為頂點的三角形與相似，則關(guān)于對稱軸的對稱點也符合題意，即、對應(yīng)的值相同下面以點在對稱軸右側(cè)進行分析：（6分）情形一：如圖，則，過作軸垂足為，連、在Rt中 P MBDOCA，可令若在拋物線上，則有即，解得，顯然不合題意，舍去此時又由，得由、有：整理得：解得：，即若拋物線上存在點，使得以、為頂點的三角形與相似，PDMOCAB則；（8分）情形二：則，同于情形一：，可令若在拋物線上則有整理得：解得：，或顯然不合題意，舍去！此時又由得：由、得：整理得，顯然無解！（10分）綜合情形一、二得：若拋物線上存在點，使得以、為頂點的三角形與相似，則

24、（特別說明：學(xué)生只考慮一種情形時，缺情形一，扣2分；缺情形二，扣1分）題17：如圖8，在直角坐標(biāo)系中，以點為圓心，以為半徑的圓與軸相交于點，與軸相交于點（1）若拋物線經(jīng)過兩點，求拋物線的解析式，并判斷點是否在該拋物線上（6分）（2）在（1）中的拋物線的對稱軸上求一點，使得的周長最?。?分）（3）設(shè)為（1）中的拋物線的對稱軸上的一點，在拋物線上是否存在這樣的點，使得四邊形是平行四邊形若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由（4分）圖8OABDEyxC解：（1），又在中，的坐標(biāo)為3分又兩點在拋物線上，解得拋物線的解析式為：5分當(dāng)時，點在拋物線上6分（2）拋物線的對稱軸方程為7分在拋物線的對稱軸上存

25、在點，使的周長最小的長為定值要使周長最小只需最小連結(jié)，則與對稱軸的交點即為使周長最小的點設(shè)直線的解析式為由得直線的解析式為由得故點的坐標(biāo)為9分（3）存在，設(shè)為拋物線對稱軸上一點，在拋物線上要使四邊形為平行四邊形，則且，點在對稱軸的左側(cè)于是，過點作直線與拋物線交于點由得從而，故在拋物線上存在點，使得四邊形為平行四邊形13分題18如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，以為邊在軸下方作正方形，點是線段與正方形的外接圓除點以外的另一個交點，連結(jié)與相交于點（1）求證：；（2）設(shè)直線是的邊的垂直平分線，且與相交于點若是的外心，試求經(jīng)過三點的拋物線的解析表達式；（3）在（2）的條件下，在拋物線上是否存在點，使該

26、點關(guān)于直線的對稱點在軸上？若存在，求出所有這樣的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由AEODCBGFxyl 解：（1）在和中，四邊形是正方形，又，3分（2）由（1），有，點是的外心，點在的垂直平分線上點也在的垂直平分線上為等腰三角形，而，設(shè)經(jīng)過三點的拋物線的解析表達式為拋物線過點，把點，點的坐標(biāo)代入中，得即解得拋物線的解析表達式為5分（3）假定在拋物線上存在一點，使點關(guān)于直線的對稱點在軸上是的平分線，軸上的點關(guān)于直線的對稱點必在直線上，即點是拋物線與直線的交點AEODCBGFxylQ設(shè)直線的解析表達式為，并設(shè)直線與軸交于點，則由是等腰直角三角形把點，點代入中，得直線的解析表達式為設(shè)點，則有把代入，得，即解得或當(dāng)時，；當(dāng)時，在拋物線上存在點，它們關(guān)于直