第十八章勾股定理練習(xí)題

1、.第十八章?勾股定理?提要：本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是勾股定理及其應(yīng)用勾股定理是解幾何中有關(guān)線段計(jì)算問題的重要根據(jù)，也是以后學(xué)習(xí)解直角三角形的主要根據(jù)之一，在消費(fèi)生活實(shí)際中用處很大，它不僅在數(shù)學(xué)中，而且在其他自然科學(xué)中也被廣泛地應(yīng)用本節(jié)內(nèi)容的難點(diǎn)是勾股定理的證明勾股定理的證明方法有多種，課本是通過構(gòu)造圖形，利用面積相等來證明的，證明思路的獲得是我們感到困難的，這里涉及到理解決幾何問題的方法之一：割補(bǔ)法值得我們?nèi)プ⒁?習(xí)題：一、填空題1填空：1一個(gè)直角三角形的三邊從小到大依次為x，16，20，那么x=_；2在ABC中C=90°，AB=10，AC=6，那么另一邊BC=_，面積為_， AB邊上的高為

2、_；3假設(shè)一個(gè)矩形的長(zhǎng)為5和12，那么它的對(duì)角線長(zhǎng)為_2三角形三邊長(zhǎng)分別為6、8、10，那么它最短邊上的高為_3一直角三角形兩邊長(zhǎng)分別為3和4，那么第三邊的長(zhǎng)為_4假設(shè)等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)為2，那么它的直角邊長(zhǎng)為_圖18-15測(cè)得一個(gè)三角形花壇的三邊長(zhǎng)分別為5cm，12cm，13cm，那么這個(gè)花壇的面積是_6矩形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如圖18-1方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，那么DE=_cm7如圖18-2，在4個(gè)均由16個(gè)小正方形組成的網(wǎng)格正方形中，各有一個(gè)格點(diǎn)三角形，那么這4個(gè)正方形中，與眾不同的是_，不同之處：_ 圖18-28一輪船以16海里/時(shí)的速度從

3、A港向東北方向航行，另一艘船同時(shí)以12海里/時(shí)的速度從A港向西北方向航行，經(jīng)過1.5小時(shí)后，它們相距_海里9小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1m，當(dāng)他把繩子的下端拉開5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，你能幫助他把旗桿的高度求出來是_ 圖18-310如圖18-3，ABC中，CDAB于D，假設(shè)AD=2BD，AC=6，BC=3，那么BD的長(zhǎng)為 A3 B C1 D411等腰三角形底邊上的高為8，周長(zhǎng)為32，那么該等腰三角形面積為_12ABC中，C=90°，c=10，a：b=3：4，那么a=_，b=_13等腰三角形的腰長(zhǎng)為5，底邊長(zhǎng)為8，那么它底邊上的高為_，面積為_14假如

4、直角三角形的斜邊與一直角邊的長(zhǎng)分別是13cm和5cm，那么這個(gè)直角三角形的面積是_cm215在ABC中，假設(shè)三邊長(zhǎng)分別為9、12、15，那么以這樣的三角形拼成的矩形面積為_16可以成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，試寫出兩種勾股數(shù)_17有一長(zhǎng)、寬、高分別為5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根細(xì)木條木條的粗細(xì)、形變忽略不計(jì)，要求木條不能露出木箱，請(qǐng)你算一算，能放入的細(xì)木條的最大長(zhǎng)度是_cm18RtABC中，C=90°，假設(shè)a+b=14，c=10，那么RtABC的面積是_二、選擇題19在ABC中，A=90°，那么以下各式中不成立的是 ABC2=AB2+A

5、C2; BAB2=AC2+BC2; CAB2=BC2-AC2; DAC2=BC2-AB220三角形三邊之比分別為1：2：3，3：4：5；1.5：2：2.5，4：5：6，其中可以構(gòu)成直角三角形的有 A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)21假設(shè)線段a、b、c能構(gòu)成直角三角形，那么它們的比為 A2：3：4 B3：4：6 C5：12：13 D4：6：722一直角三角形的斜邊長(zhǎng)比一條直角邊大2，另一條直角邊長(zhǎng)為6，那么斜邊長(zhǎng)為 A4 B8 C10 D1223假設(shè)直角三角形兩角邊的比為5：12，那么斜邊與較小直角邊的比為 A13：12 B169：25 C13：5 D12：524下面四組數(shù)中是勾股數(shù)的有 11.5

6、，2.5，2 2，2 312，16，20 40.5，1.2，1.3 A1組 B2組 C3組 D4組25為迎接新年的到來，同學(xué)們做了許多拉花布置教室，準(zhǔn)備召開新年晚會(huì)，小劉搬來一架高2.5米的木梯，準(zhǔn)備把拉花掛到2.4米高的墻上，那么梯腳與墻角間隔 應(yīng)為 A0.7米 B0.8米 C0.9米 D1.0米26如圖18-4，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，那么網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長(zhǎng)為無理數(shù)的邊數(shù)是 圖18-4 圖18-5 圖18-6A0 B1 C2 D327一電線桿AB的高為10米，當(dāng)太陽光線與地面的夾角為60°時(shí)，其影長(zhǎng)AC約為1.732，結(jié)果保存三個(gè)有效數(shù)字 A5.00米 B

7、8.66米 C17.3米 D5.77米28如圖18-5，一架25分米的梯子，斜立在一豎直的墻上，這時(shí)梯的底部距墻底端7分米，假如梯子的頂端沿墻下滑4分米，那么梯的底部將平滑 A9分米 B15分米 C5分米 D8分米29如圖18-6，ABC中，CDAB于D，假設(shè)AD=2BD，AC=6，BC=3，那么BD的長(zhǎng)為 圖18-7A3 B C1 D430如圖18-7，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4，BC=3，將其沿直線MN折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，那么CN的長(zhǎng)為 A B C D31假設(shè)一直角三角形兩邊的長(zhǎng)為12和5，那么第三邊的長(zhǎng)為 A13 B13或 C13或15 D1532以下各組線段中，能構(gòu)成直角三角形的是

8、 A2，3，4 B3，4，6 C5，12，13 D4，6，733假如一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為n2-1、2nn>1，那么它的斜邊長(zhǎng)是 A2n Bn+1 Cn2-1 Dn2+134以以下各組數(shù)為邊的三角形中，是直角三角形的有 13，4，5；2，；332，42，52；40.03，0.04，0.05 A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)35假如梯子的底端離建筑物5米，13米長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是 A12米 B13米 C14米 D15米36放學(xué)以后，萍萍和曉曉從學(xué)校分手，分別沿東南方向和西南方向回家，假設(shè)萍萍和曉曉行走的速度都是40米/分，萍萍用15分鐘到家，曉曉用20分鐘到家，萍萍家和

9、曉曉家的間隔 為 A600米 B800米 C1000米 D不能確定37如圖18-8所示，要在離地面5米處引拉線固定電線桿，使拉線和地面成60°角，假設(shè)要考慮既要符合設(shè)計(jì)要求，又要節(jié)省材料，那么在庫存的L1=5.2米，L2=6.2米，L3=7.8米，L4=10米四種備用拉線材料中，拉線AC最好選用 AL1 BL2 CL3 DL4 圖18-8 圖18-9 圖18-1038在ABC中，C=90°，周長(zhǎng)為60，斜邊與一直角邊比是13：5，那么這個(gè)三角形三邊長(zhǎng)分別是 A5，4，3 B13，12，5 C10，8，6 D26，24，1039如圖18-9所示，AB=BC=CD=DE=1，A

10、BBC，ACCD，ADDE，那么AE= A1 B C D240如圖18-10所示，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊分別為：AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，那么CD等于 A2cm B3cm C4cm D5cm三、解答題41如圖18-11，ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC邊上的高AD 圖18-1142如圖18-12，在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中，小明從營(yíng)地A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東60°方向走了500米到達(dá)B點(diǎn)，然后再沿北偏西30°方向走了500米到達(dá)目的地C點(diǎn)，求A、C兩點(diǎn)間的間隔 圖18-1243如圖18-13，求

11、圖中字母所代表的正方形面積 圖18-1344如圖18-14，所示，四邊形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，B=90°，求該四邊形的面積 圖18-1445如圖18-15所示，某人到一個(gè)荒島上去探寶，在A處登陸后，往東走8km，又往北走2km，遇到障礙后又往西走3km，再折向北方走到5km處往東一拐，僅1km就找到了寶藏，問：登陸點(diǎn)A處到寶藏埋藏點(diǎn)B處的直線間隔 是多少？ 圖18-1546如圖18-16，古埃及人用下面方法畫直角：把一根長(zhǎng)繩打上等間隔 的13個(gè)結(jié)，然后用樁釘成如下圖的一個(gè)三角形，其中一個(gè)角便是直角，請(qǐng)說明這種做法的根據(jù) 圖18-16 47，如圖18-

12、17所示，折疊長(zhǎng)方形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，假如AB=8cm，BC=10cm，求EC的長(zhǎng) 圖18-1748某校把一塊形狀為直角三角形的廢地開拓為生物園，如圖18-18所示，ACB=90°，AC=80米，BC=60米，假設(shè)線段CD是一條小渠，且D點(diǎn)在邊AB上，水渠的造價(jià)為10元/米，問D點(diǎn)在距A點(diǎn)多遠(yuǎn)處時(shí)，水渠的造價(jià)最低？最低造價(jià)是多少？ 圖18-1850閱讀材料并解答問題： 我國(guó)是最早理解和應(yīng)用勾股定理的國(guó)家之一，古代印度、希臘、阿拉伯等許多國(guó)家也都很重視對(duì)勾股定理的研究和應(yīng)用，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯首先證明了勾股定理，在西方，勾股定理又稱為“畢達(dá)哥拉斯定理 關(guān)于勾股定

13、理的研究還有一個(gè)很重要的內(nèi)容是勾股數(shù)組，在?幾何?課本中我們已經(jīng)理解到，“可以成為直角三角形三條邊的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，以下是畢達(dá)哥拉斯等學(xué)派研究出確實(shí)定勾股數(shù)組的兩種方法： 方法1：假設(shè)m為奇數(shù)m3，那么a=m，b=m2-1和c=m2+1是勾股數(shù) 方法2：假設(shè)任取兩個(gè)正整數(shù)m和nm>n，那么a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2是勾股數(shù) 1在以上兩種方法中任選一種，證明以a，b，c為邊長(zhǎng)的ABC是直角三角形； 2請(qǐng)根據(jù)方法1和方法2按規(guī)律填寫以下表格：勾m3511股m2-141260弦m2+151361 m233444556 n121321435a=m2-n23587121591

14、611b=2mn412624168403060c=m2+n2513102520174134613某園林管理處要在一塊綠地上植樹，使之構(gòu)成如圖18-19所示的圖案景觀，該圖案由四個(gè)全等的直角三角形組成，要求每個(gè)三角形頂點(diǎn)處都植一棵樹，各邊上相鄰兩棵樹之間的間隔 均為1米，假如每個(gè)三角形最短邊上都植6棵樹，且每個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)之比為5：12：13，那么這四個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)共需植樹_棵 圖18-1951清朝康熙皇帝是我國(guó)歷史上對(duì)數(shù)學(xué)很有興趣的帝王近日，西安發(fā)現(xiàn)了他的數(shù)學(xué)專著，其中有一文?積求勾股法?，它對(duì)“三邊長(zhǎng)為3、4、5的整數(shù)倍的直角三角形，面積求邊長(zhǎng)這一問題提出理解法：“假設(shè)所設(shè)者為積數(shù)面積

15、，以積率六除之，平方開之得數(shù)，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之?dāng)?shù)用如今的數(shù)學(xué)語言表述是：“假設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、4、5的整數(shù)倍，設(shè)其面積為S，那么第一步：m；第二步：=k；第三步：分別用3、4、5乘以k，得三邊長(zhǎng) 1當(dāng)面積S等于150時(shí)，請(qǐng)用康熙的“積求勾股法求出這個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)； 2你能證明“積求勾股法的正確性嗎？請(qǐng)寫出證明過程52臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力，據(jù)氣象觀測(cè)，距沿海某城市A的正南方向220km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心其中心最大風(fēng)力為12級(jí)，每離臺(tái)風(fēng)中心20km，風(fēng)力就會(huì)減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心如今正以15km/h的

16、速度沿北偏東30°方向往C挪動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，如圖18-20，假設(shè)城市所受風(fēng)力到達(dá)或超過4級(jí)，那么稱為受臺(tái)風(fēng)影響 1該城市是否會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說明理由； 2假設(shè)會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間有多長(zhǎng)？該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)？ 圖18-20參考解析一、填空題1112；28 24 4.8點(diǎn)撥：兩直角邊的積=斜邊×斜邊上的高；31328點(diǎn)撥：此三角形為直角三角形35或點(diǎn)撥：分4為斜邊長(zhǎng)和直角邊長(zhǎng)解4點(diǎn)撥：設(shè)直角邊長(zhǎng)為x，有x2+x2=22，x=530cm2 點(diǎn)撥：此三角形為直角三角形，且兩直角邊長(zhǎng)分別為5cm，12cm6點(diǎn)撥：設(shè)DE=x，那么D

17、E=BE=x，AE=AB-BE=10-x；在RtADE中，DE2=AD2+AE2，所以x2=10-x2+16，即x=7A A不是直角三角形，B、C、D是直角三角形點(diǎn)撥：先觀察得出A不是直角三角形，對(duì)于其他三角形，設(shè)每一個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1，利用勾股定理求出各三角形的邊長(zhǎng)，再驗(yàn)證830 點(diǎn)撥：根據(jù)題意畫出方位圖，運(yùn)用勾股定理解912米10A 點(diǎn)撥：設(shè)BD為x，那么36-2x2=9-x2，x=31148點(diǎn)撥：設(shè)底邊長(zhǎng)為2x，那么腰長(zhǎng)為16-x，有16-x2=82+x2，x=6，S=×2x×8=48126 8 點(diǎn)撥：設(shè)a=3x，b=4x，那么c=5x，有5x=10，x=2a=6，b

18、=8133 12 點(diǎn)撥：作底邊上高1430 點(diǎn)撥：另一直角邊為12cm15108 點(diǎn)撥：因?yàn)?2+122=152，所以此三角形是直角三角形，拼成的矩形的兩條邊是直角三角形的兩直角邊16如3，4，5；6，8，10；12，5，13等175 點(diǎn)撥：最大長(zhǎng)度是=51824點(diǎn)撥：由a+b=14，得a2+2ab+b2=196，而a2+b2=c2=100，有ab=48，S=ab=24二、選擇題19B 點(diǎn)撥：BC是斜邊，在應(yīng)用勾股定理時(shí)，應(yīng)分清斜邊和直角邊20B 點(diǎn)撥：可構(gòu)成直角三角形；不能構(gòu)成三角形；不能構(gòu)成直角三角形21C22C 點(diǎn)撥：設(shè)斜邊長(zhǎng)為x，有x2=x-22+62，x=1023C 點(diǎn)撥：設(shè)兩直角邊

19、為5x，12x，那么斜邊為=13x24A25A 點(diǎn)撥：=0.726C 點(diǎn)撥：AB=，AC= 27D 點(diǎn)撥：BC=2AC，有AC2+102=4AC2，AC=5.7728D 點(diǎn)撥：平滑前梯高為=24分米，平滑后高為24-4=20分米，梯底距墻=15，即平滑15-7=8 分米29A 點(diǎn)撥：設(shè)BD為x，那么36-2x2=9-x2，x=330B31B 點(diǎn)撥：12可能是斜邊長(zhǎng)，也可能是直角邊的長(zhǎng)32C33D 點(diǎn)撥：c=n2+134B 點(diǎn)撥：1、4構(gòu)成直角三角形35A36C 點(diǎn)撥：畫出圖形，東南方向與西南方向成直角37B 點(diǎn)撥：在RtACD中，AC=2AD，設(shè)AD=x，由AD2+CD2=AC2，即x2+52

20、=2x2，x=2.8868，2x=5.773638D 點(diǎn)撥：設(shè)斜邊為13x，那么一直角邊長(zhǎng)為5x，另一直角邊為=12x，13x+5x+12x=60，x=2，三角形分別為10、24、2639D 點(diǎn)撥：AE=240B 點(diǎn)撥：AB=10，AED=90°，CD=DE，AE=AC=6，BE=4，設(shè)CD=x，那么BD=8-x在RtBED中，BE2+DE2=BD2，即42+x2=8-x2，x=3三、解答題41解：設(shè)BD=x，那么CD=14-x，在RtABD中，AD2+x2=132，在RtADC中，AD2=152-14-x2，所以有132-x2=152-14-x2，解得x=5，在RtABD中，AD=

21、 =1242解：過點(diǎn)B作NM垂直于正東方向，垂足為M，那么ABM=60°因?yàn)镹BC=30°，所以ABC=90°在RtABC中，AC=1000米43A=81；B=64；C=10044解：在RtABC中，AB=4，BC=3，那么有AC=5，SABC=AB·BC=×4×3=6在ACD中，AC=5，AD=13，CD=12AC2+CD2=52+122=169，AD2=132=169，AC2+CD2=AD2，ACD為直角三角形，SACD=AC·CD=×5×12=30，S四邊形ABCD= SABC + SACD =6+

22、30=3645解：過點(diǎn)B作BCAC，垂足為C觀察答圖18-1可知AC=8-3+1=6，BC=2+5=7， 答圖18-1在RtACB中，AB=km 答：登陸點(diǎn)到寶藏埋藏點(diǎn)的直線間隔 是km 點(diǎn)撥：所求間隔 實(shí)際上就是AB的長(zhǎng)解此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理直接求解46解：設(shè)相鄰兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的間隔 為m，那么此三角形三邊的長(zhǎng)分別為3m、4m、5m，有3m2+4m2=5m2，所以以3m、4m、5m為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形47連結(jié)AE，那么ADEAFE，所以AF=AD=10，DE=EF設(shè)CE=x，那么EF=DE=8-x，BF=6，CF=4在RtCEF中，EF2=CE2+CF2，即8-x2=

23、x2+16，故x=348當(dāng)CD為斜邊上的高時(shí)，CD最短，從而水渠造價(jià)最價(jià) CD·AB=AC·BC CD=48米 AD=64米 所以，D點(diǎn)在距A點(diǎn)64米的地方，水渠的造價(jià)最低，其最低造價(jià)為480元49如圖，ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，假設(shè)C=90°，如圖18-21，根據(jù)勾股定理，那么a2+b2=c2，假設(shè)ABC不是直角三角形，如圖2和圖3，請(qǐng)你類比勾股定理，試猜想a2+b2與c2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論 答圖18-249解：假設(shè)ABC是銳角三角形，那么有a2+b2>c2；假設(shè)ABC是鈍角三角形，C為鈍角，那么有a2+b2<c2證明：當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，如圖18-3，過點(diǎn)A作ADCB，垂足為D，設(shè)CD為x，那么有DB=a-x，根據(jù)勾股定理，得b2-x2=c2-a-x2 即b2-x2=c2-a2+2ax-x2，a2+b2=c2+2axa>0，x>0，2ax>0，a2+b2>c2 答圖18-4 答圖18-3 當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，如圖18-4，過點(diǎn)B作BDAC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，設(shè)CD為x，那么BD2=a2-x2 根據(jù)勾股定理，得b+x2+a2-x2=c2 即b2+2bx