不等式的典型例題解析

1、不等式的典型例題解析  【例1】  解不等式：(1)2x3-x2-15x0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)30【分析】  如果多項式f(x)可分解為n個一次式的積，則一元高次不等式f(x)0(或f(x)0)可用“區(qū)間法”求解，但要注意處理好有重根的情況解：(1)原不等式可化為x(2x+5)(x-3)0順軸然后從右上開始畫曲線順次經(jīng)過三個根，其解集如圖(51)的陰影部分(2)原不等式等價于(x+4)(x+5)2(x-2)30原不等式解集為x|x-5或-5x-4或x2【說明】  用“區(qū)間法”解不等式時應(yīng)注意：各一次項中x的系數(shù)必為正；對于偶次或奇次重

2、根可參照(2)的解法轉(zhuǎn)化為不含重根的不等式，也可直接用“區(qū)間法”，但注意“奇穿偶不穿”其法如圖(52)【例2】  解下列不等式：變形解：(1)原不等式等價于用“區(qū)間法”原不等式解集為(-，-2)-1，2)6，+)用“區(qū)間法”【例3】  解下列不等式：【分析】  無理不等式的基本解法是轉(zhuǎn)化為有理不等式(組)后再求解，但要注意變換的等價性解：(1)原不等式等價于(2)原不等式等價于原不等式解集為x|x5(3)原不等式等價于【說明】  解無理不等式需從兩方面考慮：一是要使根式有意義，即偶次根號下被開數(shù)大于或等于零；二是要注意只有兩邊都是非負(fù)時，兩邊同時平方后不

3、等號方向才不變此外，有的還有其他解法，如上例(3)原不等式化為t2-2t-30(t0)解得0t3【說明】  有些題目若用數(shù)形結(jié)合的方法將更簡便【例4】  解下列不等式：解：(1)原不等式等價于令2x=t(t0)，則原不等式可化為(2)原不等式等價于原不等式解集為(-1，23，6)【說明】  解對數(shù)不等式需注意各真數(shù)必為正數(shù)在利用對數(shù)性質(zhì)價性，否則會出現(xiàn)增解或漏解【例5】  解不等式|x2-4|x+2【分析】  解此題關(guān)鍵是去絕對值符號，而去絕對值符號主要利用解：原不等式等價于-(x+2)x2-4x+2故原不等式解集為(1，3)這是解含絕對值不等

4、式常用方法【例6】  解下列不等式：換底公式先化為同底對數(shù)不等式(2)中先解絕對值不等式，再解無理不等式解：(1)原不等式等價于log2(2x-1)-log2(2x-1)-2令log2(2x-1)=t，則上述不等式變?yōu)閠(-1-t)-2即  t2+t-20解之，得  -2t1，從而-2log2(2x-1)1【例7】  解不等式log2x2-1(3x2+2x-1)1【分析】  題目中未知數(shù)出現(xiàn)在底數(shù)部分，就必須對底數(shù)大于零還是位于零與1之間進(jìn)行討論解：原不等式等價于【說明】  當(dāng)時數(shù)底數(shù)含有字母或未知數(shù)時，應(yīng)對其進(jìn)行分類討論【例8】&#

5、160; 解關(guān)于x不等式a2x+1ax+2+ax-2，其中a0且a1【分析】  題目通過變形可看作是關(guān)于ax的二次不等式對于底數(shù)a分a1或0a1兩種情況討論解：原不等式等價于(ax)2-(a2+a-2)ax+10(*)當(dāng)a1時，a2a-2，于是(*)式得a-2axa2，即-2x2當(dāng)0a1時，a-2a2，于是(*)式得a2axa-2，即-2x2綜上所述，原不等式解集為(-2，2)【說明】  本題在化成關(guān)于ax的二次不等式后，解題關(guān)鍵是利用a2·a-2=1進(jìn)行因式分解【例9】  設(shè)a0；a1解關(guān)于x的不等式xlogaxa3x2【分析】  這是指數(shù)與對數(shù)的混合型不等式，可采用“取對數(shù)法”在兩邊取對數(shù)的時候用