復(fù)數(shù)的向量表示及復(fù)數(shù)的三角形式(共8頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上復(fù)數(shù)的向量表示及復(fù)數(shù)的三角形式基礎(chǔ)概念一、基礎(chǔ)知識(shí)概述 由于解方程的需要，我們引進(jìn)了復(fù)數(shù)和及其四則運(yùn)算，并建立了復(fù)數(shù)集和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合之間的一一對(duì)立，我們還學(xué)過(guò)向量及其運(yùn)算，在些基礎(chǔ)上，我們現(xiàn)在一起來(lái)學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的向量表示、復(fù)數(shù)的三角形式及其運(yùn)算、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式、復(fù)數(shù)的運(yùn)算的幾何意義二、重點(diǎn)知識(shí)歸納及講解1、復(fù)數(shù)的向量表示： 復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)的向量集合（為原點(diǎn)）一一對(duì)應(yīng)說(shuō)明：（1）零向量表示復(fù)數(shù)0，相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù)；（2）向量的模就是復(fù)數(shù)（、）的模，即2、復(fù)數(shù)的三角形式及運(yùn)算：（1）復(fù)數(shù)的幅角：設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)向量，以軸的正半軸為始邊，向量所在的射線（起點(diǎn)為

2、）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角，記作，其中適合的輻角的值，叫做輻角的主值，記作說(shuō)明： 不等于零的復(fù)數(shù)的輻角有無(wú)限多個(gè)值，這些值中的任意兩個(gè)相差的整數(shù)倍（2）復(fù)數(shù)的三角形式：叫做復(fù)數(shù)的三角形式，其中，說(shuō)明： 任何一個(gè)復(fù)數(shù)均可表示成的形式其中為的模，為的一個(gè)輻角（3）復(fù)數(shù)的三角形式的運(yùn)算： 設(shè)，則 1）乘法：； 2）除法：； 3）乘方：； 4）開(kāi)方：3、復(fù)數(shù)的幾何意義：（1）復(fù)數(shù)模的幾何意義：，即點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，一般地即點(diǎn)到點(diǎn)的距離（2）復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義： 圖中給出的平方四邊形，可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義 即，（3）復(fù)數(shù)乘、除法的幾何意義： 設(shè)，則的幾何意義是把的對(duì)應(yīng)向量按逆時(shí)針?lè)?/p>

3、向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角（如果，就要把按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角，再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的倍，所得向量即表示積，如圖，的幾何意義是把的對(duì)應(yīng)向量按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角（如果，就要把按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角，再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的倍，所得的向量即表示商4、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式： 把模為1，輻角為（以弧度為單位）的復(fù)數(shù)用記號(hào)表示，即，由此任何一個(gè)復(fù)數(shù)就可以表示為形式，我們把這一表達(dá)式叫做復(fù)數(shù)的指數(shù)形式3、 難點(diǎn)知識(shí)剖析 復(fù)數(shù)的幾何意義的理解是本講的難點(diǎn) 由于復(fù)數(shù)集與平面點(diǎn)集間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得復(fù)數(shù)問(wèn)題常?？捎脦缀畏椒▉?lái)解決，幾何問(wèn)題常?？捎脧?fù)數(shù)語(yǔ)言來(lái)表述，要善于運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的解題思想來(lái)思考，分析這類(lèi)問(wèn)題，找出最簡(jiǎn)捷的解題方

4、法 復(fù)數(shù)的?？梢詭椭覀儽硎境鲆恍┏Ｓ们€方程 如圓：； 線段中垂線：； 橢圓：； 雙曲線：典型例題例1、已知，且，復(fù)數(shù)（1）求的三角形式；（2）若，求的取值范圍解析：（1）， 1）當(dāng)時(shí)，則， 而， 此時(shí)三角形式為 2）當(dāng)時(shí)，則， 而， 此時(shí)三角形式為（2）當(dāng)， 而，； 當(dāng)， 而，評(píng)析： 化含三角函數(shù)關(guān)系的復(fù)數(shù)為三角形式時(shí)，應(yīng)把握概念，準(zhǔn)確運(yùn)用有關(guān)三角公式例2、設(shè)，且，（1）存在實(shí)數(shù)、，使成立，求、；（2）若，求解析：（1）依題意可設(shè)，則 ，且， 即 ，且 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（2）若，則，即 ，例3、復(fù)數(shù)與滿足：，且，問(wèn)：當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值和最小值？并求出這一最大值和這一最小值解析： 設(shè)， 則，

5、且 ， ，即， （顯然） ，即 當(dāng)時(shí)，解得或； 當(dāng)時(shí)， 即或時(shí)，而時(shí)，例4、設(shè)復(fù)數(shù)、滿足：，其中，若、在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是、，求的面積解析： 由復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，點(diǎn)在單位圓上，設(shè)其輻角主值為，點(diǎn)是，其輻角主值是，點(diǎn)是將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角后對(duì)應(yīng)向量的終點(diǎn)，同理向量則是由向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，再將模伸長(zhǎng)為模的3倍而得到 如圖所示： 例5、已知復(fù)數(shù)滿足，求復(fù)數(shù)的模的最大、小值及對(duì)應(yīng)的解析： 方法一： 、 ， 而當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，；而當(dāng)時(shí)， 方法二： 設(shè) ， ，且當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， 高考中對(duì)復(fù)數(shù)的考查多集中在復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，對(duì)復(fù)數(shù)的三角形式的考查不多有時(shí)可能采取一題多法，即設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式

6、和復(fù)數(shù)的三角形式均可解，只不過(guò)運(yùn)用三角形式解答時(shí)較方便基礎(chǔ)練習(xí)1、 選擇題1、復(fù)數(shù)的輻角主值是（ ）A B C D2、設(shè)，給出復(fù)數(shù)：，其中能確定為復(fù)數(shù)的三角形式的有（ ）A3個(gè) B2個(gè) C1個(gè) D0個(gè)3、已知，（，），則（ ）A B C D4、若，則復(fù)數(shù)的輻角主值是（ ）A B C D5、若，則（ ）A B C0 D16、設(shè)，若，則最小的正整數(shù)（ ）A1 B2 C5 D77、在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（ ）A B C D8、是兩個(gè)非零復(fù)數(shù)，且分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)、，則的充要條件是（ ）A B的實(shí)部為0 C D的虛部為09、復(fù)數(shù)滿足條件：，則的最大值是（ ）A B C D10、設(shè)（、），且，則復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是（ ）A 圓 B拋物線 C橢圓 D雙曲線2、 綜合題11、已知和均為復(fù)數(shù)，且，為純虛數(shù)，求和的取值范圍12、設(shè)復(fù)數(shù)、分別對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的、點(diǎn)，、的輻角分別為、，且的面積為定值（為