不等式的證明方法

1、不等式的證明方法長安四中 高竹不等式的性質(zhì)和基本不等式是證明不等式的理論依據(jù)，但是由于不等式的形式多樣，因此不等式的證明方法也很多。我總結(jié)了一些不等式的證明方法 ，下面舉例說明。一. 比較法例1 求證：>.證明：因?yàn)樗?>.證明例1的方法稱為作差比較法。用差與“0”比較大小。例2 已知>b>c>0,求證：。證明：因?yàn)?且>b>0, 所以-b>0, ，故。同理可證 ，。所以 ，從而。證明例2的方法稱為求商比較法。用商與“1”比較大小。二反證法例3 求證：是無理數(shù)。證明：假設(shè)不是無理數(shù)，則為有理數(shù)，那么它就可以表示成兩個(gè)整數(shù)之比，設(shè)=，p0,且p,

2、q互素，則p=q. 所以， 故是偶數(shù)，q也必是偶數(shù)。不妨設(shè)q=2k,代入式，則有，即，所以，p也是偶數(shù).P和q都是偶數(shù)，它們有公約數(shù)2，這與p,q互素相矛盾。這樣，不是有理數(shù)，而是無理數(shù)。證明例3的方法稱為反證法。當(dāng)命題過于簡單，或正面情況非常復(fù)雜時(shí)，一般用反證法。三. 放縮法例4 求證：。證明：因?yàn)?<1+ =1+ =2-證明例4的方法稱為放縮法。利用學(xué)過的不等式的性質(zhì)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小。四. 判別式發(fā)例5 已知：x，y都是實(shí)數(shù)，求證： 證明：要證原不等式成立只需證 設(shè) 因?yàn)榈南禂?shù)大于0，且 =-3 故f(x)0 所以原不等式成立證明例5的方法稱為判別式法。利用判別式證明不等式的取值范圍

3、。五. 數(shù)形結(jié)合法例6 已知：求證：證明：要證原不等式成立，只需證 即證： 如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x,0)xooyB(-,-2b)A(,b)則改證：顯然，當(dāng)P,A,B三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立；不共線時(shí)，不等號成立。故，原不等式成立。證明例6的方法稱為數(shù)形結(jié)合法。此方法最大的優(yōu)勢在于直觀，可難點(diǎn)卻在于如何才能畫出不等式對應(yīng)的圖形！六.構(gòu)造函數(shù)法例7 已知,b,c為ABC的三邊，求證： 證明： 考察函數(shù)f(x)=的單調(diào)性 。 因?yàn)閒(x)=在(0,+)是單點(diǎn)遞增的， 又因?yàn)?b>c 所以， 即：成立證明例7的方法稱為構(gòu)造函數(shù)法。要用此方法證不等式，對于掌握函數(shù)單調(diào)性的要求比較高！以上就是我總結(jié)的不等式的證明方法。當(dāng)然還有向量法，綜合法，分析法，在文中沒有專門舉例，那是因?yàn)閷τ诰C合和分析這兩種方法，幾乎在每一道題中都有應(yīng)用，大多數(shù)不等式的證明不是由因?qū)Ч褪菆?zhí)果索因 ；而向量法本身就可