兩條直線的夾角

1、兩條直線的夾角一、 教學目的：1 分清直線到直線的角與直線到直線的角以及兩條直線與的夾角的區(qū)別與聯(lián)系。2 掌握直線到直線的角的計算公式3 掌握直線與直線的夾角的計算公式二、 情感目標：通過對兩直線的傾斜角與夾角的關系探索，找出夾角的正切值與兩直線斜率之間的關系；運用兩角差的正切公式，進一步滲透解析幾何的思想，即用代數(shù)運算解決幾何圖形問題；培養(yǎng)學生思維的縝密性、條理性、深刻性。三、 教學重、難點：1當一條直線斜率不存在時，如何求解兩直線的夾角。2根據(jù)題意正確使用夾角，到角公式，注意根據(jù)圖形進行舍解。四、 教學過程：（一）引入：平面內(nèi)兩條直線的位置關系有平行、重合和相交。我們分別用直線的代數(shù)形式去

2、描述了它們的位置關系。在相交直線中特殊的位置關系是垂直，即兩條直線所成角為90。因此，我們可以用兩直線的夾角大小來描述兩條相交直線的位置關系。平面上，兩條相交直線和構(gòu)成四個角，它們是兩對對頂角。為了區(qū)別這些角，通常規(guī)定：直線繞著交點M按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和重合時所得到的角，叫做到的角。直線繞著交點M按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和重合時所得到的角，叫做到的角。 M 當時，即到的角為90。 或一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在。通過這充要條件啟發(fā)我們，到的角的大小是否也可以與、的斜率建立關系呢？（二）推導：設兩條直線方程分別是：，：（，均存在），到的角如果，那么=90。如果，設和的傾斜角分別是和，則=，=

3、不論 或 ， y y 0 x 0 x都有， 即一條直線到另一條直線的角，可能不大于直角，也可能大于直角，如果只需要考慮不大于直角的角（叫做兩條直線的夾角），那么有 （）當兩條直線平行或重合時，則它們的夾角是零度角，此時公式仍適用。（三）例題： 例1 求下列兩直線的夾角。 （1）：x+2y-5=0, ：2x-3y+1=0；（2）：x-3y-2=0, ：2y+3=0； ( 3) ：x-5=0, ：2x+4y+3=0；小結(jié)：已知直線方程求夾角大小問題。第一小題求出直線斜率后直接套用夾角公式；第二小題其中一條直線斜率為零，既可以套用公式，又可以觀察圖像，顯然夾角不是傾斜角就是傾斜角的補角；第三小題其中

4、一條直線斜率不存在，不能使用公式，只能觀察圖像，分析傾斜角與夾角的關系。例2 求經(jīng)過點（-5，6）且與直線2x+2y-5=0的夾角為的直線方程。小結(jié)：已知夾角大小求直線方程問題。據(jù)題意直線過點（-5，6），因此只需確定直線斜率k，就可寫出直線的點斜式方程。由夾角公式可求出k的值。根據(jù)圖像特征，過一點必定會有兩條直線與已知直線的夾角成45度，這就提示我們必須解出兩個k的值。這道題一解k=0時，直線方程為y-6=0；另一解k不存在，意味著直線方程為x+5=0。而往往同學們會忽略后一個答案，認為k無解，直線方程就不存在。例3 等腰，底邊BC所在的直線方程是x+y=0，頂點A(2，3)，它的一條腰AB

5、平行于直線x-4y+2=0，求另一條腰AC所在直線的方程。小結(jié)：本題也是運用夾角公式或到角公式求解直線方程的一種類型，它在題目的條件上比較隱蔽，沒有直接指出夾角的大小。而在解題過程中，我們也不需要知道夾角大小，只是利用夾角相等建立等式，求出所需直線的斜率，從而確定直線方程。（四）作業(yè)：練習冊P5 8、10、11五、 反思： 通過兩條相交直線所成角的大小來描述兩條相交直線的位置關系。之前同學們已經(jīng)接觸了互相垂直的直線，它們的斜率成積為-1。這一結(jié)論的得出，也是建立在觀察直線傾斜角與夾角的關系上的。因此同學們在尋找關系式時并不困難。而是在要求同學們用斜率去表示夾角時，大家陷入了沉默。顯然對高一所學

6、的知識有所遺忘，經(jīng)提醒同學們能較快的接受兩角差的正切公式與兩直線斜率間的等式關系。對例題的選擇由淺入深，又簡到難。對于這一知識點，我認為解決兩方面的問題，一是已知直線方程求夾角大小問題；二是已知夾角大小求直線方程問題。首先，在第一道例題中第1、2小題使同學們先熟悉公式，加深公式在頭腦中的印象，第3小題是為了讓大家意識到公式不是萬能的，它是有局限的，比如直線斜率不存在或者兩直線斜率為負倒數(shù)等，因此還是要求同學們掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，從根本關系上入手，理解其本質(zhì)。其次，第二、三道例題就為應用夾角公式去解直線方程的類型。應該說公式人人都能記住，但很多同學在最終的結(jié)果上卻不能回答完整。這意味著同學們在思維過程中還不夠嚴密，往往會遺漏斜率不存在這一特殊的解。有時運用夾角公式解題比較難于讓人發(fā)現(xiàn)，比如，直線過點(1,0)，且被兩平行直線3x+y-6=0和3x+y+3=0所截的線段的長為9，求此直線的方程。數(shù)形結(jié)合的思想方法是中學數(shù)學的基本思想方法。在解題時必