矩陣論清華版習(xí)題解答

1、題 1.1習(xí)的集合q可以1. 解： 除了由一個零向量沒有兩個和有限（m）個向量有無限多個，kp 數(shù)域）.線性空間外，的線性空間，因為數(shù)乘不封閉（ka2. 解：是；不是，因為沒有負(fù)向量；不是，因為兩向量的和向量處在第二或第四象限，即加法不封閉；是；不是，因為二個不平行某向量的和卻平行于某向量，即加法不封閉.3. 解： 不是，因為 當(dāng) kQ 或 R 時，數(shù)乘 ka 不封閉； 有理域上是；實數(shù)域上不是，因為當(dāng) kR 時，數(shù)乘 ka 不封閉. 是； 是； 是； 不是，因為加法與數(shù)乘均不封閉.4. 解：是，因為全部解即解集合，它由基礎(chǔ)解系列向量乘以相應(yīng)常數(shù)組成，顯然對解的加法與數(shù)乘運算滿足二個封閉性和八

2、條公理.5. 解：（1）是線性空間；（2）不是線性空間（加法不封閉；或因無零向量）.6. 解：（1）設(shè) A 的實系數(shù)多項式 f (A)的全體為f (A) = a I + a A + L a Am 正整數(shù)a Î R,01m mi1顯然，它滿足兩個封閉性和八條公理，故是線性空間.（2）與（3）也都是線性空間.7. 解：是線性空間.不難sin t ， sin 2t ， sin nt 是線性無關(guān)的，且任一個形如題中的三角多項式都可由它們惟一地線性表示，所以它們是 V 中的一個組基.由高等數(shù)學(xué)中傅里葉（Fourier）系數(shù)知1pp2òc =t sin itdt .i08. 解： 不是

3、，因為公理 2 ' ) 不成立：設(shè) r=1, s=2, =(3, 4),則 (r+s) o (3, 4)= (9, 4),而 r o (3, 4) Å so (3, 4)=(3,4) Å (6, 4)= (9, 8),所以 (r+s) o ro Å so . 不是，因為公理 1）不成立：設(shè)= (1,2) , = (3,4) ,則 Å =(1,2)Å (3,4) = (1,2), Å = (3,4)Å (1,2) = (3,4),所以 Å Å . 不是，因為公理 2 ' ) 不成立：設(shè) r=

4、1,s=2,=(3,4) ,則 (r+s) o =3 o (3, 4)= (27, 36)而ro Å so =1 o (3,4) Å 2 o (3,4)=(3, 4) Å (12, 16)= (15, 20),(r+s) o ro Å so . 是.于是9. 證若a , b ÎV ，則2(a + b ) = 2a + 2b = (1 + 1)a + (1 + 1)b = (1a + 1a ) + (1b + 1b )= (a + a ) + (b + b ) = a + (a + b ) + b22(a + b ) = (1 + 1)(a +

5、b ) = (1a + 1b ) + 1(a + b )= (a + b ) + (a + b ) = a + (b + a ) + ba + (a + b )+ b = a + (b + a )+ b ，另一方面，因此從而有(-a )+a + (a + b )+ b + (- b ) = (-a )+a + (b +a )+ b + (- b )于是得a + b = b + a .10. 解：先求齊次方程組的基礎(chǔ)解系1 =(3,3,2,0), 2 =(-3,7,0,4) ,TT即為解空間 V 的一組基. 所以， dim V=2.11. 解：齊次式k (x2 + x) + k (x2 - x)

6、 + k (x +1) = 0123即得線性方程組(k + k )x2 + (k - k + k )x + k = 0 ,121233k1 + k2 = 0k1 - k2 + k3 = 0k3 = 0由于系數(shù)行列式不等于零，那么只有k1 = k2 = k3 = 0 時 , 上述齊次式才對成立，所以 x2 + x , x2 - x , x +1 線性無關(guān)，且多項式" xax2 + bx + c 都可惟一地用它們來表示(因為相應(yīng)的非齊次方程組有惟一解)，故為基.令2x2 + 7x + 3 = (k + k )x2 + (k - k + k )x + k1212333得k3 = 3 , 即

7、坐標(biāo)為 ( 3,k1 = 3,k2 = -1,-1,3 ) .12. 解： 因為 ( b1 , b 2 , b 3 , b 4 )=(a1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 )C,故 C =(a1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 )( b , b , b , b )-11234-11010000100001056056000=.-1-100TX =(x1 ,x2 ,x3,x4 ) ,則顯然，向量在基a1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 下的坐標(biāo)為設(shè)在基b, b , b , b下的坐標(biāo)為Y=(h ,h ,h ,h)T ,12341234x1x 2x 3x 4-1x1x 2x 3x 4056Y=C -1=

8、-10x1x 2x 3x 4= B X 如果其非零解為則有 X= BX ,即得齊次方程組 ( I- B)X=0 , 求X = Y ,kR ,即為所求 .X = k (1, 1, 1,1 ) T ,13. 解： (1)對k = 1,2,L, n ；l = k, k + 1,L, n 令F = (a )，其中klijn´n= 1 ，其余的aij = 0 ，則Fkl 為上三角矩陣空間的一組基，維數(shù)為akl1 n(n + 1).2（2）R+中任意非零元素都可作 R+的基，dim R+=1.4（3）I，A，A2 為所述線性空間的一組基，其維數(shù)為 3.14. 解： （1）由已知ìb1式

9、求得= 4a1 + 8a 2 + a3 - 2a 4ïb= -2a - 4a+ aï2124íb= a + 2aï312ïîb 4= a 2 + 2a3于是，由基（I）到基（II）的過渡矩陣為- 2- 401éê4812000ù1úC = êú2úê1ê- 20úëû（2） 在基（II）下的坐標(biāo)為（2，-1，1，1）T，再由坐標(biāo)變換公式計算在基（I）下的坐標(biāo)為C（2，-1，1，1） T =（11，23，4，-5） T

10、 .（3） 不難計算得 det（1·IC）=0，所以 1 是 C 的特征值.不妨取過渡矩陣C 的對應(yīng)于特征值1 的一個特征向量為，則有C=1 ·，那么 = (b1 , b 2 , b 3 , b 4 )0，再由坐標(biāo)變換公式知，在基（I）下的坐標(biāo)為=C=，即同的坐標(biāo).非零ÎV 4 ，使得在基（I）和基（II）下有相15. 解：不難看出，由簡單基 E11，E12，E21，E22 改變?yōu)榛↖）和基（II）的過渡矩陣分別為- 2112-1211-1ùé2ê101221ùé 1ê 21-1113ú-1&

11、#250;= êú1ú，= êú0 úC1C2ê0ê-1ê12úê 01 úëûëû5則有（B1，B 2，B 3，B 4）=（E11，E12，E21，E22）C2（A ，A ，A ，A ） CC 2=-112341故由基（I）改變到基（II）的過渡矩陣為-1001é 0ê-1110- 11 ù0 ú= êú1 úúC = C -1C.ê 012&#

12、234; 1- 1ûë16. 解：（1）由簡單基 1，渡矩陣為3 改變到基（I）和基（II）的過é1ê1ùé1ê01ù11110111111ú1úC1 = êú= êú，C 2ê1 1úê1ë110úêúêú1û01ûë故由基（I）改變?yōu)榛↖I）的過渡矩陣為-1001é 1ê-100100 ù1 ú

13、;= êú-1úC = C -1C12ê 0ê 11 úëû（ 2 ）設(shè) f (x)Î px3 在基（ I ）和基（ II ） 下的坐標(biāo)分別為a = (x ,x ,x ,x， b = (h ,h ,h ,h，則有 a = Cb 且 a = b ，即有 )T)T12341234(I - C)b = 0 ，該齊次方程組的通解為 b = k(0,0,1,0)T , k Î.于是，在基（I）和基（II）下有相同坐標(biāo)的全體多項式為f (x) = (g1 (x), g 2 (x), g3 (x), g 4

14、(x)b = kg3 (x)= k + kx + kx 2.17. 解： 設(shè)n 的子集合為 L，對任意a ÎL，有6nåaii=1= 0 ，a = (a1, a2 ,.,an ) ,對任意a, b Î L ，a = (a1 , a2 ,.,an ), b = (b1,b2 ,.,bn ) 有nnnå(ai + bi ) = åai + åbi = 0a + b = (a1 + b1 ,.,an + bn ),i=1i=1i=1nnka = (ka1 ,.,kan ),åkai = k åai = 0 , 所以a +

15、 b Î L又ka Î Li=1i=1因此L 是 V 的子空間.對任意a, b Î L，b = (b1,b2 ,.,bn ) , 有a = (a1, a2 ,.,an ) ,nnåaii=1åbii=1= 1,= 1nnna + b = (a1 + b1 ,.,an + bn ),å(ai + bi ) = åai + åbi =2故i=1i=1i=1于是可知 a + b Ï L，因此 L 不是 V 的子空間.18. 解：a ,a ,a ) 的基為a ,a ,a 的一個最大無關(guān)組，''&#

16、39;'''Span(123123在基a ,a ,a 下的坐標(biāo)依次為a ,a ,a'''123123(1,-2,3) T ,(2 ,3 ,2) T ,(4,13,0 ) T該列向量組的一個最大無關(guān)組為因此，a ,a ,a(1, -2, 3), (2 ,3 ,2) .TT'''123的一個最大無關(guān)組為 a ,a ，即Span(a ,a ,a ) 的一個基為a ,a'''''''.121231219. 解：（1）因為0n´n ÎV1 ，所以 V1 非空

17、.設(shè) A，B ÎV1 ，則有 AP=PA，BP=PB.又因為（A+B）P=AP+BP=PA+PB=P（A+B），（kA）P=k（AP）=k（PA）=P（kA）（ k Î），所以 A + B ÎV ，kA ÎV ，故 V 是R的n´n111子空間.7（2）取 A = é10ù ，B = é00ù ，則det A=det B=0，從而 A ÎV ，B ÎV，ê00úê01ú11ëûëû但 A + B = 

18、33;1，0ùdet(A + B) ¹ 0 ，所以 A + B Î V ，故 V 不是子空間.ê01ú11ëû又 A2 = A ，從而 AÎV ，2 A = é20ù ，(2 A)2= é40ù ¹ 2 A ，所以2A Î V ，ê00úê00ú22ëûëû故 V2 也不是子空間.20. 證：因為（2，-1，3，3）=（-1）（1，1，0，0）+3（1，0，1，1），（0，1，

19、-1，-1）=（1，1，0，0）+（-1）（1，0，0，1）即生成的子空間有相同的基，所以它們生成的子空間相同.21. 解： (1) 設(shè) A = é x1ùxxÎV ，則由 AP=PA 可得齊次方程組2êxú1ë 34 û- 3x3 = 0ìï3= 0ï4íïïî- x = 033x3 = 0求得基礎(chǔ)解系為（1，-3，0，0）T，（1，0，0，1）T，從而 V1 的基為= é1- 3ù ， A = é10ù ，A&#

20、234;0úê01ú120ëûëûdimV1 =2 .+ k- 3kékù(k , k Î R).(2) V1 的矩陣一般形式 A = k A + k A =1201êú112 212kë2 û822. 證：若 V1 的維數(shù)為 0，則 V1 與 V2 都是零空間，當(dāng)然相等；若 V1的維數(shù)是m ¹ 0 ，由于V1 Í V2 ，故V1 的任一組基e1 , e2 ,L, em 都是V2 的線性無關(guān)組.又因 V2 與 V1 的維數(shù)相同，故這個線

21、性無關(guān)組也是V2 的一組基，即 V1 與 V2 有相同的此 V1=V2.23. 解：設(shè)a = (a1 , a2 , a3 , a4 )ÎV IW ，則有a1 - a2 + a3 - a4 = 0,a1 + a2 + a3 +a 4 = 0由此相加或相減可得a1 + a3 = 0 ， a2 + a4 = 0 ，從而a1 = -a3 ， a2 = -a4 ，故得a = (a1 , a2 ,-a1 ,-a2 ) = a1 (1,0,-1,0)+ a2 (0,1,0,-1) .但（1，0，-1，0），（0，1，0，-1）線性無關(guān)，即為所求的基.24. 解：（ 1 ）設(shè) A = (a)， B

22、= (b)ÎV ，則 a + a= 0 ，ijij11222´22´2b + b= 0 ,因為 A + B = (a + b )+ b ) = 0 ， kA = (ka )，(a + b )+ (a，1122ijij11112222ij2´22´2(ka )+ (ka ) = 0，所以 A + B ÎV ， kA ÎV ，又0ÎV ，所以 V 是2´2 的2´21122子空間.= é10 ù ，A = é01ù ，A = é00ù 它們

23、線性無（2）在 V 中取 Aê0- 1úê10úê10ú123ëûëûëû關(guān).因為 a11 + a22 = 0 即 a22 = -a11 ，于是 A = a11 A1 + a12 A2 + a21 A3 ，因此，V的一組基為 A1，A2，A3，從而 dim V=3.25. 解：（1） dim Spana1,a2 , b1, b2= 3 ,dim Spana1,a2= 2dim Spanb1, b2= 2,9故交的維數(shù)為 2+2-3=1，交的一組基為（-5，2，3，4）T，和的

24、維數(shù)為 3， a1,a2 , b1為一組基.（2） dim Spana1,a 2 ,a3 , b1, b 2 = 4 ,dim Spana1,a 2 ,a3= 3, dim Spanb1, b 2 = 2故交的維數(shù)為 1，基為b1 ；和的維數(shù)為 4，a1,a 2 ,a3 , b 2 為一組基.nnnn26. 證：（1）設(shè)a, b ÎV1 ，且a = å xi ei = å xi e i , b = å yi ei = å yi e ii=1i=1i=1i=1nna + b = å(xi + yi )ei = å(xi + y

25、i )e i則i=1i=1nnka = å kxi ei = å kxi e i（k 是數(shù)）i=1i=1即a + b 與ka 在兩組基下的坐標(biāo)也是相同的，所以a + b ÎV1 ，ka ÎV1 ，故V1 是子空間.（2）因 V 中每個向量在兩組基下的坐標(biāo)相同，所以基向量ei (i = 1,2,L, n)在e1 , e2 L, en 下的坐標(biāo)為（0，0，1，0，0）它也應(yīng)為ei 在e1,e 2 ,L,e n 下的坐標(biāo)，于是有(i = 1,2,L, n).ei = 1 e i = e i27. 證：設(shè)V1 = = a ji , aij Î R,= -bji , bij Î RA = (a )aijij2´2V2 = B = ()bbijij2´2容易V1