二元一次不等式組表示的平面區(qū)域

1、案例展示【案例信息】課例名稱： 二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域 授課教師： 羅碎海（華南師大附屬中學(xué)） 【教學(xué)設(shè)計】 一、教材分析 1 教學(xué)背景分析 相等的反面就是不等，要全面了解事物，必須從正、反兩方面分析。在學(xué)習(xí)上，往往反面的內(nèi)容更多，同樣不等的內(nèi)容比相等的內(nèi)容更豐富。正面的內(nèi)容了解了探求反面是符合人的認(rèn)知規(guī)律的。 本節(jié)課在人教版的必修 5 的第三章不等式的第三大節(jié)的第一課時，按教材的編排，最快也得到高一第二學(xué)期結(jié)束前或高二才能學(xué)到。但按照人的認(rèn)知規(guī)律，只要學(xué)生有直線方程、函數(shù)和一元不等式的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)此內(nèi)容不會有困難。我們選此內(nèi)容在高一第一學(xué)期直線方程學(xué)完之后上，是對教材內(nèi)容重組和教學(xué)

2、改革的一個嘗試。 通過探究二元一次不等式的解集的幾何意義，了解不等式是刻畫區(qū)域的重要工具，進而介紹二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)為后面尋求 “ 最優(yōu)解 ” 的線型規(guī)劃問題奠定基礎(chǔ)。 在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，使學(xué)生體會到數(shù)形合一是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是理解數(shù)學(xué)問題的重要數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識；同時讓學(xué)生進行數(shù)學(xué)探究，體驗知識的形成、應(yīng)用過程，嘗試運用特殊到一般，再由一般在回歸到特殊的解決問題的思維方法。 學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)、直線方程、不等式的一些知識，并且知道了二元一次方程的解在平面直角坐標(biāo)系中的圖像是一條直線，一元不等式的解在數(shù)軸上可以表示。通過類

3、比的思維方式就可引入本節(jié)的教學(xué)。 2 教學(xué)目標(biāo) 知識與技能目標(biāo)： （ 1 ）理解 “ 保號性 ” 并掌握不等式區(qū)域的兩種判斷方法 一點定號； y kx + b 表示直線 y = kx + b 的上方區(qū)域； （ 2 ）能正確作出二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域； （ 3 ）能把給出的區(qū)域用不等式（組）表示。 過程與方法目標(biāo)： （ 1 ）培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識，增強學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想；一元問題 直線問題；二元問題 平面問題；三元問題 空間問題； （ 2 ）理解數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，提高分析問題、解決問題的能力。 情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)： （ 1 ）通過學(xué)生的主動參與、學(xué)生的合作交流，培養(yǎng)學(xué)生的探索方法與精神

4、； （ 2 ）體會由一般到特殊，由特殊到一般的思想； （ 3 ）體會歸納、類比是人探究新問題的導(dǎo)航儀。 3 教學(xué)重、難點 重點：二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域； 難點：能認(rèn)識哪些問題是屬于二元問題，有二元問題是平面問題的意識。 二、教法、學(xué)法設(shè)計 1 教法設(shè)計 本節(jié)知識的形成過程是 “ 類比、猜想、驗證、證明 ” ，非常適合采用探究式的學(xué)習(xí)方法：通過類比讓同學(xué)們猜想出結(jié)論；思考驗證方案；利用聯(lián)系、轉(zhuǎn)化的方法探討問題的邏輯證明；形成問題的解決方法；自己在知識應(yīng)用的過程加深對于方法的理解。讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程， 體驗探索的樂趣。這不僅有利于知識的掌握，也有利于培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力。 所以本節(jié)

5、課的教學(xué)采用了探究式，啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的教學(xué)方法，注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維方法以及研究問題方法的滲透，以多媒體作為教學(xué)輔助手段。從作業(yè)引出問題，進而探討了二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域，最后上升到一般的二元區(qū)域，解決作業(yè)問題。 2 學(xué)法設(shè)計 在學(xué)習(xí)中，讓其以主體的態(tài)度，而不是被動的接受。經(jīng)歷知識的形成和發(fā)展過程，通過觀察、歸納、思考、探索、交流、反思參與學(xué)習(xí)，認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)知識，學(xué)會學(xué)習(xí)，發(fā)展能力 。三、教學(xué)過程設(shè)計 1 提出問題 以學(xué)生以前的作業(yè)展示提出需要探究分析的問題，問題是二元問題，二元問題的幾何背景需在平面上分析，先在平面直角坐標(biāo)系中分析二元一次不等式的幾何意義。 通過驗證方法三是錯誤

6、的，要從本質(zhì)上認(rèn)識可以借助幾何直觀。 問題的本質(zhì)：在 0 時， 兩者不等價。如何理解？ 學(xué)生最困難的是： 分不清幾元問題； 把二元問題理解不到平面問題。書上直接說在平面內(nèi)。 新例子：在平面上可看清其本質(zhì)。 思維的誤區(qū)：有些問題本質(zhì)是屬于平面問題，我們往往用直線思維分析，所以看不清問題。 ，都是二元問題，屬于平面問題，我們應(yīng)該在平面上分析。由于 0 保證是實數(shù)，它們的不等價就是的不等價。 （這里展示兩種解法：方法二、三，很快引出平面問題） 2 探究知識：二元一次不等式（組）的幾何意義 （ 1 ）在數(shù)軸上， x =1 是數(shù)軸上一個點， x =1 將數(shù)軸上的點分成三部分： x =1 （本身）； x

7、1 （ x =1 右側(cè)點）； x 2 x +1 表示什么？ y 2 x +1 表示 y =2 x +1 上方點的集合； y 0( 或 Ax + By + C 0 時，不等式 Ax + By + C 0 在平面上表示 Ax + By + C =0 上方所有點的集合；不等式 Ax + By + C 0 時，平面上直線 Ax + By + C =0 上方的點 P ( x , y ) 滿足不等式 Ax + By + C 0 ；直線 Ax + By + C =0 下方點 P ( x , y ) 滿足不等式 Ax + By + C 1 或 y 2 x +1 如何區(qū)別？ 4 初步應(yīng)用 畫不等式 Ax + B

8、y + C 0 （ 0 （ kx + b ( y kx + b ) （ 1 ）例、用平面區(qū)域表示不等式組 的解集 . 解：不等式 3 x + y -120 表示直線 3 x + y -12= 0 下方的區(qū)域 ( 虛線 ) ；不等式 x -2 y 0 表示直線 x -2 y =0 上方的區(qū)域 ( 實線 ). 取兩區(qū)域重疊的部分，如圖的陰影部分就是原不等式組的解集。 變式 : 不等式 (3 x + y -12)( x -2 y )0 解集如何表示？ （ 2 ）課堂練習(xí)： 1 畫出不等式 x +4 y | x | 表示的平面區(qū)域 . 2 在平面坐標(biāo)系中，分別畫出不等式組所表示的區(qū)域 回歸課前問題：

9、若方程 x 2 +2( a - 1) x +4=0 的根都大于 1 ，求實數(shù) a 的取值范圍 . 方法三： 課后從幾何探究方法二的正確性。 6 小結(jié) 1 二元問題屬于平面問題 . 2 ykx+b 在平面上表示 y=kx+b 上方點的區(qū)域 . 做題注意點： 1 上、下方區(qū)域（ 一點定號 或看 B ） 2 實、虛線（ 有無等號 ） 7 課后練習(xí)與作業(yè) 練習(xí)： 看書：必修 5 ， P 82 - 84 ， 完成 P 86 練習(xí) 1 、 2 、 3 。 作業(yè)： P 93 ：習(xí)題 3.3 A ： 1 ， 2. 探究問題： 已知方程 x 2 + ax +2 b =0 的根分別在 (0 ， 1), （ 1 ， 2 ）內(nèi)，求 的取值范圍。 8 備課反思： 1 能將理解為二元問題，并能在平面上畫圖分析是 數(shù)學(xué)意識與能力的體現(xiàn)。這一點可能需要老師提示引導(dǎo)。 2 由線性到非線性學(xué)生自然能理解，大綱不