概率論與數(shù)理統(tǒng)計基礎講義版

1、 數(shù)學課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計數(shù)學概率論與數(shù)理統(tǒng)計基礎講義主講：名師，博士，著名數(shù)學輔導，教育部“精品課程建設骨干教師”，暢銷書高等數(shù)學 18 講、數(shù)學題源探析經(jīng)典 1000 題作者，高等教育入學統(tǒng)一數(shù)學參考書（大綱）編者之一，2007 年斯洛文尼亞全球可持續(xù)發(fā)展大會受邀（15 分鐘主旨）。首創(chuàng)“題源教學法”，對數(shù)學的知識結構和體系有全新的解讀，對數(shù)學題與復習思路有極強的把握和預測能力，讓學生輕松高效奪取高分。歡迎使用目錄第一講第二講第三講第四講第五講如何處理復雜？. 1如何求分布？5如何求數(shù)字特征？10如何使用極限定理？12如何作估計？13 數(shù)學課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一講如何處理復雜？1

2、. 預備知識（1）隨機試驗稱一個試驗為隨機試驗，如果1) 試驗可以在相同的條件下重復進行；2) 試驗所有可能結果是明確可知道的，并且不止一個；3) 每一次試驗會出現(xiàn)哪一個結果事先不能確定【評注】我們是通過研究隨機試驗來研究隨機現(xiàn)象的，為方便起見，將隨機試驗簡稱為試驗，并用字母 E 或 E1, E2 , En ,表示在一次試驗中可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的結果稱為隨機字母 A ，B ，C 等表示，為討論需要，將每次試驗一定發(fā)生的，簡稱為稱為必然，并用大寫，記為W 每稱為不可能，記為Æ 次試驗一定不發(fā)生的或樣本點，記為w 每次試驗能隨機試驗每一最簡單、最基本的結果稱為基本且只能發(fā)生一個基本基

3、本(或樣本點)的全體稱為基本空間(或樣本空間)，記W= w ，隨機為W ，即A 總是由若干個基本組成，即 A 是W 的子集，A ÌW 事件 A 發(fā)生等價于A 的基本有一個發(fā)生在不少情況下，我們不能確切知道某一隨機試驗的全部可能結果，但可以知道它不超出某個范圍這時，也可以用這個范圍來作為該試驗的全部可能結果例如我們需要某個城市一天的交通事故數(shù)量，則試驗結果將是非負數(shù) x 我們無法確定 x 的可能取值的確切范圍，但可以把這范圍取為0, +¥) ，它總能包含一切可能的試驗結果，盡管我們明知，某些結果，如x10000，是出現(xiàn)的，我們甚至可以把這范圍取為(-¥, +

4、5;) 也無妨這里就有了一定的數(shù)學抽象，它可以帶來很大的方便（2）的運算的、運算與集合的、運算相當，且具有相同的運算法則：吸收律：若 A Ì B ，則 AÈ B = B ， AB = A ； 交換律： AÈ B = B È A， AB = BA；結合律： ( A È B) È C = A È (B È C)， ( AB)C = A(BC) ；分配律： A(B È C) = AB È AC ， A È BC = ( A È B)( A È C) ； A(B - C)

5、= AB - AC ；對偶律： AB = AB , AB = AB .2. 古典概型定義：如果其基本空間(樣本空間)滿足(1)只有有限個基本(樣本點)；(2)每個基本(樣本點)發(fā)生的可能性都一樣稱隨機試驗(隨機現(xiàn)象)的概率模型為古典概型.如果古典概型的基本總數(shù)為 n ，A 包含k 個基本，即有利于 A 的基本k1 數(shù)學課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計個則 A 的概率定義為A所含基本的個數(shù)P( A) =n基本總數(shù)由上式計算的概率稱為 A 的古典概率【例】將n 個球隨意放入 N (n £ N ) 個盒子中，每個盒子可放任意多球，求 P 恰有n 個盒子中各有一球.【注】假設有 12 個人回母校參加

6、校慶，則 P 12 個人生日全不相同=.3. 幾何概型引例定義：如果(1)樣本空間(基本空間) W 是一個可度量的幾何區(qū)域；(2)每個樣本點(基本)發(fā)生的可能性都一樣，即樣本點落入W 的某一可度量的子區(qū)域 A 的可能性大小與 A的幾何度量成正比，而與 A 的位置及形狀無關稱隨機試驗(隨機現(xiàn)象)的概率模型為幾何概型.在幾何概型隨機試驗中，如果 SA 是樣本空間W 一個可度量的子區(qū)域，則A “樣本點落入?yún)^(qū)域 SA ”的概率定義為P( A) = SA的幾何度量W的幾何度量由上式計算的概率稱為 A 的幾何概率.【例】甲、乙有約，上午 9:0010:00 到校門口見面，等 20 分鐘即離開.求 P 相遇

7、=.2 數(shù)學課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計4. 重要公式求概率 P( A) = 1- P( A) ； P( A - B) = P( A) - P( AB) ； P( A + B) = P( A) + P(B) - P( AB) ；P( A + B + C) = P( A) + P(B) + P(C) - P( AB) - P(BC) - P( AC) + P( ABC) ；大于 3 個時，只考查【注】當nnAn (n ³ 3) 兩兩互斥，則 P(Ai ) = å P( Ai ) ；1） A1, A2 ,i=1i=1An (n ³ 3) 相互2） A1, A2 ,，則nn

8、È An ) = 1- Õ1- P( Ai ) .i=1Ai ) = P( A1 È A2 È A3 ÈP(i=1An ，若對其中任意有限個 Ai1, Ai2 , Aik (k ³ 2) ，都有相互：設 A1, A2,P(Ai1 Ai2Aik ) = P(Ai1)P(Ai2 )P(Aik ) ，則稱 A1, A2 ,An 相互.相互Û 它們中任意一部分n 個換成各自的對立所得n 個新相互 P(B | A) = P( AB)( P( A) > 0 )P( A) P( AB) = P( A)P(BA) ； P(ABC) =

9、 P(AB)P(CAB) = P(A)P(BA)P(CAB) ；全概率公式（全集分解公式）引例 假設一個村子里有三個小偷，求失竊的概率P失竊.n定義：如果UAi = W, Ai Aji-1= f(i =/j), P( Ai ) > 0 ，則對任一B ，有nnB = UAi B, P(B) = åP( Ai )P(B | Ai ).i -1i -1公式3 數(shù)學課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計n如果UAi = W, Ai Aji=1= f(i =/j), P( Ai ) > 0 ，則對任一件事 B ，只要 P(B) > 0 ，有P( A | B) = P( Ai )P(B |

10、Ai ) (i = 1,2,L, n)inåP( Ai )(B | Ai )i=1射擊，輪流對同一目標射擊. P 甲命中=a ， P 乙命中= b .甲【例】有甲、唯一先射擊，誰先命中誰獲勝.制作所有-歡迎咨詢、乙獲勝的概率.4 數(shù)學課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二講如何求分布？1. 基本概念（1）隨量量就是“其值隨機會而定”的變量設隨機試驗 E 的樣本空間為W= w ，如隨果對每一個w ÎW ，都有唯一的實數(shù) X (w) 與之對應，并且對任意實數(shù) x ，w : X (w) £ x是隨機，則稱定義在W 上的實單值函數(shù) X (w) 為隨量簡記為隨量 X 一般用大寫字母

11、X ， Y ， Z 或希臘字母 x ，h ，來表示隨（2）分布函數(shù)量PÎ R) 為隨設 X 是隨量， x 是任意實數(shù)，稱函數(shù) F(x)量 X 的分布函數(shù)，或稱 X 服從分布 F (x) ，記為 XF (x) （3）離散型隨量如果隨量 X 只可能取有限個或可列個值 x1, x2 ,，則稱 X 為離散型隨量，稱= PX= xi ， i = 1, 2,pi，為 X 的分、分布律或概率分布，記為 Xpi 概率分Lö÷ .2布常用表格形式或矩陣形式表示，即或ppLøè12量 X 的概率分布為 pi = PX = xi ，則 X 的分布函數(shù)設離散型隨F (

12、x) = P( X £ x) = åP( X = xi )xi £ x（ -¥ < x < +¥）（4）連續(xù)型隨量對于某一隨便變量 X ，若非負可積函數(shù) f (x) ，使得xòF (x) =f (t)dt ， -¥ < x < +¥-¥則稱 X 為連續(xù)型隨2. 重要分布（1） 0 -1 分布（兩點分布）量.5 數(shù)學課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計æ 1ö01 - P= 0 = 1- p ，則稱 X 服從= 1 = p ， P X如果 X 的概率分布為 X çP

13、÷ø即 P XèB(1, p)(0 < p < 1) 參數(shù)為 p 的 0-1 分布，記為 X（2）二項分布【注】n 重試驗：1）相互；2）每次試驗出現(xiàn) A 的概率相同；3）只有兩個結果PX = PX=k=k=k k)nk -1(p-，k = 0,1,A ，A . A 發(fā)生的次數(shù)記為 X ，則C p, n .nn-k如果 X 的概率分布為 p = P X = k = C p (1- p)， k = 0,1, n ， 0 < p < 1 ，k kkn則稱 X 服從參數(shù)為(n, p) 的二項分布，記為 XB(n, p) .（3）幾何分布（與幾何無

14、關！）“首中即停止”（等待型分布）= PX = k = qk-1 p ， k = 1, 2, n ， 0 < p < 1 ，如果 X 的概率分布為 pkq = 1- p ，則稱 X 服從參數(shù)為 p 的幾何分布（4）超幾何分布假N 件， M 件正品，n 件，取到k 個正品的概率 p ？n-kN -M ， k = 0,1,如果 X 的概率分布為， min(M , n) ， N ，CnNM ， n 為正整數(shù)，則稱 X 服從參數(shù)為 N ， M ， n 的超幾何分布（5）泊松分布在某場合，某時間段內(nèi)，源源不斷地質(zhì)點來流的個數(shù) X 服從泊松分布.l kk !如果 X 的概率分布為 PX = k

15、 =e，k = 0,1,-l，l > 0 ，則稱 X 服從參數(shù)為l的泊松分布.（6）均勻分布（與幾何概型若隨量 X 在區(qū)間 I 上的）區(qū)間取值的概率與該子區(qū)間的長度成正比，則稱ì1a < x < b,其他f (x) = ïb - a,XU (I ) .也即 X，記為 XU (a, b) .íïî0,（7）指數(shù)分布6 數(shù)學課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計ìle,-l xx > 0,x £ 0f (x) =（ l > 0 ），則稱 XE(l) .若 Xíî0,（8）正態(tài)分布-( x-m

16、)21N(m,s 2) .若 Xf (x) = e2s 2， -¥ < x < +¥，則稱 X2ps3. 例題分析【例】已知某由若干零部件組成，其中有i 個(i = 0,1, 2) 非優(yōu)質(zhì)品零件的可能性相同.服從參數(shù)l = i +1 的指數(shù)分布，求有i 個非優(yōu)質(zhì)品零件時，其使用當使用X 的分布函數(shù) F (x) 與概率密度 f (x) .4.（二維）隨量及其分布分布、邊緣分布、條件分布、性（1）二維隨量如果 X ， Y 是定義在同一個樣本空間W 上的二個隨量，則稱二元總體( X ,Y ) 為n 是定義在同一樣本空間W 上的 n 個二維隨量(或二維隨機向量)如果隨量

17、，則稱 n 元總體(n ) 為 n 維隨量或n 維隨機向量 Xi 稱為第i 個分量（2）分布函數(shù)設( X ,Y ) 為二維隨量，對任意的實數(shù) x, y ，稱二元函數(shù)PX £ x,Y £ y (x, y) Î RF(x, y)為二維隨量( X ,Y ) 的分布函數(shù)，簡稱為分布函數(shù)，記為( X ,Y )F (x, y) （3）離散型隨量7 數(shù)學課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計量( X ,Y ) 只能取有限對值或可列對值(x1, y1) ， (x1, y2 ) ，如果二維隨(xn , yn )，則稱( X ,Y ) 為二維離散型隨量稱P(X = xi ,Y = yj ) ， i

18、, j = 1, 2,pij為( X ,Y ) 的概率分布或分布，記為( X ,Y )pij 分布常用表格形式表示) = P( X = xi ,Y = y j ) =pij條件分布： P( X = xY = y( X 在Y = y 條件下的條件分布)ijP(Y = y )jpjj= xi ,Y = y j ) =X = x ) = P( Xpij pP(Y = y( Y 在 X = x 條件下的條件分布)jiP( X = x )iii性： pi × p j = pij (i, j = 1, 2,) Û X ,Y.（4）連續(xù)型隨量量( X ,Y ) ，如果非負可積函數(shù) f (

19、x, y) ，使得對于二維隨xyò òF (x, y) =f (u, v)dudv (x, y) Î R-¥ -¥則稱( X ,Y ) 為二維連續(xù)型隨量.+¥邊緣概率密度： f X (x) = ò-¥ f (x, y)dyfY ( y) = ò-¥ f (x, y)dx( X ,Y ) 關于 X 的概率密度+¥( X ,Y關于Y 的概率密度f (x, y) ( fy) =( y) > 0)= y 條件下的條件密度)條件概率密度： f(x( X 在YYX Y f ( y)Yf (x

20、, y) ( fx) =(x) > 0)= x 條件下的條件密度)f( y( Y 在 XXY X f (x)XfX (x) fY ( y) = f (x, y) Û X ,Y性：.= x (0 < x < 1) 的條件下，Y 在(0, x) 內(nèi)服從均勻分布.【例】設 X8U (0,1) ，在 X 數(shù)學課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計求：（） f (x, y) ；（） fY ( y) .【總結】求誰不積誰，不積先定限，限內(nèi)畫直線，先交寫下限，后交寫上限.9 數(shù)學課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計第三講如何求數(shù)字特征？1. 數(shù)學期望（1）離散型隨量ö¥÷ ，

21、則 EX = å xi pi .n若 Xç pppè 1øi=12n（2）連續(xù)型隨量+¥= ò-¥若 Xf (x) ，則 EXxf (x)dx .ìï¥åg(x ) p離散型ii【注】若Y = g( X )，則 EY = íi=1.ï+¥òg(x) f (x)dx,連續(xù)型î -¥2.方差 DX設 X 是隨量，如果 E(X - EX，則稱 E(X - EX )2 為 X 的方差，記為 DX .2即 DX = E(X - EX )

22、2 .ìï¥å(x - EX )2 p離散型ii從定義角度， DX = íi=1ï+¥ò(x - EX ) f (x)dx,連續(xù)型2î -¥【注】 DX = EX 2 -(EX )2 ， EX 2 = DX + (EX )23.協(xié)方差如果隨量 X 與Y 的方差 DX > 0 ， DY > 0，則稱 E( X - EX )(Y - EY ) 為隨量 X 與Y 的協(xié)方差并記為cov( X ,Y ) .cov( X ,Y ) = EXY - EX × EY .若Y = X ，則c

23、ov( X ,Y ) = cov( X , X ) = DX .4.相數(shù)cov( X ,Y )r=，稱為隨量 X 與Y 的相數(shù).XYDX ×DY10 數(shù)學課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計= EXY - EX × EYÞ rXYDX × DY唯一【例】設某商品每周的需求量 X制作所有-歡迎咨詢U10, 30.當商店進貨數(shù)為10, 30 中的某一整數(shù)時，商店每售出一件商品可獲利 500 元.1）若供大于求，則降價處理，處理的每件商品虧損 100 元；2）若供不應求，則可從外調(diào)貨供應，此時每件商品僅獲利 300 元.為使商店所獲利潤的期望值不少于 9280 元，試確定

24、最少進貨量.11 數(shù)學課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四講如何使用極限定理？1.依概率收斂設數(shù)列Xn ， n = 1, 2,， X 為一隨量（或a 為一常數(shù)）.任給正數(shù)e > 0 ，恒有l(wèi)im P Xn - X< e = 1（或lim P Xn - a< e = 1），則稱隨量序列n®¥n®¥n ,依概率收斂于 X （或a ）.2.大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律：假設Xn , n ³ 1 是相互的隨量序列，如果方差D(Xk )(k ³1)且一致有上界，即常數(shù)C ，使 D(Xk ) £ C ，n(一切k ³ 1

25、 )，則X , n ³ 1 服從大數(shù)定律： 1 ånX - 1 åEX0.®Pniinn=i 1i 1大數(shù)定律：假設 mn 是 n 重A 發(fā)生的次數(shù)，在每次試驗中試驗中A 發(fā)生的概率為 p(0 < p < 1) ，則 mn ®Pp ，即對任意e > 0 ，有l(wèi)im P| mn - p |³ = 0.nn大數(shù)定律：假設Xn , n ³ 1 是n®¥同分布的隨量序列，如果 EXn = m(n ³1)n1n1nåXi i=1å，則X ® m ，即對任意e

26、 > 0 ，有l(wèi)im P|- m |³ = 0.Pin i =1n®¥3.中心極限定理同分布中心極限定理)：假設Xn , n ³ 1 是中心極限定理（同分布的隨量序列，如果，則Xn , n ³ 1 服從中心極限定理，即對任意的實EXn = m ， DXn = s (n2數(shù) x ，有n1)åXi - nmx - 1 x12òlim P i=1£ x =edt = (x).2ns-¥n®¥棣拉斯中心極限定理（二項分布以正態(tài)分布為其極限分布定理)：假設隨量YnB(n, p) ， (0

27、< p < 1, n ³ 1) ，則對任意實數(shù) x ，有Yn - np12xò- x/2 £ x =edt = (x).lim Pnp(1 - p)n®¥-¥12 數(shù)學課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講如何作估計？1.總體與樣本總體 X 某全體研究對象的某一指標樣本只研究“簡單隨機樣本”： Xi同分布于 X2.統(tǒng)計量設(X1, Xn ) 為總體 X 的樣本， g(x1, xn ) 為 n 元函數(shù)，如果 g 中不含任何未知參數(shù)，則稱 g(X1, Xn ) 為樣本(X1, Xn ) 的一個統(tǒng)計量若(x1, xn ) 為樣本值，則稱g(x1, xn ) 為 g(X1, Xn ) 的觀測值3.矩估計ìï¥åx p ,離散型1nni iå Xi i=1EX = íi=1ï+¥òxf (x)dx,連續(xù)型î -¥x < 1,，求q 的矩估計量.其他【例】設總體0,î4.最大似然估計對未知參數(shù)q 進行估計時，在該參數(shù)可能的取值范圍 內(nèi)選取使“樣