分析正弦交流電路的相量法

1、正弦交流電路的功率、相量法一、正弦交流電路的功率一、瞬時(shí)功率二端網(wǎng)絡(luò)吸收的瞬時(shí)功率p =ui = J2U sin國t站21 sincct =UI Cos® - coS2豹t + ® 卩3.54其波形如圖3.44 b所示。在一個(gè)周期里，有兩段時(shí)間p 0， p . 0。這說明二端網(wǎng)絡(luò)與外電路往返交換能量，這是由于二端網(wǎng)絡(luò)中含有儲能元件的緣故。iUP圖3.44二端網(wǎng)絡(luò)的瞬時(shí)功率二、有功功率、無功功率和視在功率1、有功功率和功率因數(shù)將式3.54 代入式3.18 ，可得有功功率p =1 ui Cos® -cosgtdt =UI cos® =UIh3.55式中=CO

2、S ：稱為二端網(wǎng)絡(luò)的功率因數(shù)。由于能量守恒，所以二端網(wǎng)絡(luò)吸收的有功功率等于各局部吸收的有功功率的和。2、無功功率無功功率定義為Q=Ulsi n® 3.56對于電感性二端網(wǎng)絡(luò)，：0, Q 0 ,二端網(wǎng)絡(luò)接受無功功率；對于電容性二端網(wǎng)絡(luò),-0，Q 0，二端網(wǎng)絡(luò)發(fā)出無功功率。在既有電感又有電容的二端網(wǎng)絡(luò)中，其無功功率應(yīng)等于兩者的代數(shù)和，即Q = QL QC一般來說，二端網(wǎng)絡(luò)吸收的無功功率等于各局部吸收的無功功率的代數(shù)和。3、視在功率視在功率定義為S =UI 3.57其SI主單位為伏安VA ，工程上也常用千伏安KVA 。由于電機(jī)和變壓器的容 量是由它們的額定電壓和額定電流來決定的，因此可以用

3、視在功率來表示它們的容量。視在功率、有功功率與無功功率間，滿足以下關(guān)系式圖3.45功率三角形S p；p2 Q2tan = cos=p(3.58)(3.59)(3.60)正好構(gòu)成一個(gè)直角三角形如圖3.45所示，稱為功率三角形。例3.25試求圖3.46所示電路的有功功率、無功功率和視在功率，其中尺=2OJR2 =1OJC =2mF,L =0.1H ,u =50 2sin100tV。22?Mt圖 3.46 例 3.25解:jXc(R2+jXl )Rl ' jXcR2 jX L-j=20 -j310j100 0.1100 2 10310j100 0.1100 2 10= 228 -15.26

4、門500Z 22.8 -15.262.19 15.26P =UI cos =50 2.19cos -15.26=105.64 WQ 二Ul sin =50 2.19sin -15.26=-28.82 VarS =UI =50 2.19 =109.5 VA例3.26 圖3.47所示電路可用于測量線圈的參數(shù)R和L。已測得電壓表、電流表和功率表的讀數(shù)分別為 100V、2A和120W，電源的頻率為 50Hz，試求R和L。rvwwxsh耳-圖 3.47 例 3.26解:PRi12022=30門線圈的阻抗模100=50'.1又有XL = J|z|2 _r2 = J502 _302 =400所以 L

5、 = 40=0.127H三、復(fù)功率為了能夠用相量來計(jì)算電路的功率，特引入復(fù)功率。在端口電壓相量、電流相量分別 為的二端網(wǎng)絡(luò)中，其復(fù)功率定義為：S =ui 3.61式中= I. 一“是電流相量I的共軛復(fù)數(shù)。復(fù)功率的 Si主單位為伏安VA 。復(fù)功率S還可以表示為S 二Ul =u. -入I. 一日二UI.九 7 二UI. 二S 二Ul cos jUI sin 二 P jQ3.62可見，復(fù)功率這個(gè)復(fù)數(shù)的模是網(wǎng)絡(luò)的視在功率，它的輻角是電壓與電流的相位差，它的實(shí)部為有功功率，它的虛部為無功功率?？梢缘玫?，電阻元件的復(fù)功率為S=UIZO° = UI =i2r=u2g電感元件的復(fù)功率為 2S =UI

6、N90°= jUI = jI 2Xl電容元件的復(fù)功率為S =UIN _90°= -jUI =-jl 2Xc在整個(gè)電路中，復(fù)功率是守恒的，即一些支路發(fā)出的復(fù)功率一定等于其余支路吸收的復(fù)功率。 由復(fù)功率守恒，也必然得到有功功率和無功功率是守恒的。例 3.27 在圖 3.48 所示電路中， R =40i SXl =307,R2 =60，Xc =60 ，電源電壓US =2200 V。試求各支路的電流及復(fù)功率。圖 3.48 例 3.27解：1支路的電流及復(fù)功率為Il =UsR +jX：220 040 j30=44 36.9 AS=USI( =220 04"-369=774

7、j581 VA2支路的電流及復(fù)功率為SR2 - jXc220 060 - j60= 2.59 45 AS=U；I； =220 02.59 - 45 =570 - 45 =403j403VA電源支路的電流及復(fù)功率為|1 = l 1)2 =4.4八36.9 2.59 - 45 =5.42 - 8.61 AS =UST =220 05.42 8.61 -1192 8.61 =1179 j178 VA四、功率因數(shù)的提高在正弦交流電路中，由于有功功率P =UI cos® = Seos®因此，當(dāng)負(fù)載的功率因數(shù) cos ：太低時(shí)，電路中電源設(shè)備的額定容量就不能充分利用。P此外，由于電流I

8、 =，所以當(dāng)傳輸?shù)墓β省?電壓一定時(shí)，負(fù)載的功率因數(shù)越低，U cos®那么輸電線路的電流越大，所引起的線路能量損耗和電壓降落越大，影響負(fù)載的正常工作。提高電路的功率因數(shù)， 就能充分利用電源設(shè)備的容量，就能減少輸電的電能損耗，改善供電的電壓質(zhì)量。一般負(fù)載都是電感性的， 對于這樣的負(fù)載，常用電容器與負(fù)載并聯(lián)來提高電路的功率因 數(shù)?？捎肦L串聯(lián)表示感性負(fù)載，如圖 3.49a所示，畫出電路的相量圖如圖 3.49 b所 示。在未并電容 C時(shí)，線路電流等于負(fù)載電流I1，此時(shí)功率因數(shù)為 COS；并聯(lián)電容后，線路電流I = I 1 I2，功率因數(shù)為COS。因?yàn)?；：；，所以COS cos，從而把線路的

9、功率因數(shù)提高。(a)(b)圖3.49功率因數(shù)的提高如果要將有功功率為 P ,端電壓為U的負(fù)載電路的功率因數(shù)由 COS提高到COS X ,那么 所應(yīng)并聯(lián)的電容C，可計(jì)算如下：PP11 =， I =U cos®U cos護(hù)"P丨2 =li sin ® - I sin W = jytan® tan® J12 = coCUXc代入上式得PcoCU = tan ® -tan ® U所以PC =r tan 申- tan 申"«U3.63二、正弦交流電路的相量法正弦交流電路的分析計(jì)算與直流電路的分析計(jì)算一樣，也是應(yīng)用基

10、爾霍夫定律和歐姆定律來進(jìn)行。在正弦交流電路中，基爾霍夫定律和歐姆定律的相量形式與直流電路中相應(yīng)的表 達(dá)式相似，因而同樣可以推出類似于直流電路的分析計(jì)算方法。只要把電路中無源元件用阻抗或?qū)Ъ{表示，正弦量用相量表示，那么分析計(jì)算直流電路的方法都可以推廣到正弦交流電 路，這樣的分析計(jì)算方法，稱為相量法。例3. 21在圖3.40 (a)所示電路中， R= 81 , XC =1O1 ,12、I3，并繪出相量圖。u二220 2 sin t 60 V，試求各支路電流相量h解Z1 = R jX L =8 j6 =10 36.9Z2 二-jXC 二-j10 =10 -90 11I1220 6010 36.9=2

11、2 23.1 A220 6010-90-22 150 AI = I1 I2 =22 23.122 150= 20.2 j8.6 19.1j11=1.1j19.6 =19.7 86.8 A(a)hci(b)圖3.40 例3.21圖相量圖如圖3.40 (b)所示。例 3.22 在圖 3.41 ( a)所示電路中，u=1002s in tV，尺=20，4aaaR2601，試求各支路電流相量 I1、I2、I3 ，并繪出相量圖。oC=R-i = 201 1二 R2 - jXc =60 - j60 =60 2-45 11Z3二 jXL 二 j60 =60 90 11Z ab乙Z3乙Z360 2-4560

12、90 ,0 2 45 =60 j6260-j60 j60=Z1 Zab =20 60 j60 =80j60 = 100 36.9 11IiUH鵲T9 AI2乙:篤匚駕爲(wèi)3" 53"(a)(b)圖3.41例3.22圖相量圖如圖3.41(b)所示。例 3.23 在 圖 3.42 所 示 電 路 中， 已 知Usi =220 0 V, Us2 =220/ -20 V, X“ =20" , XL2 =10,R = 40"，試用節(jié)點(diǎn)電壓法求各支路電流。解：Usi Us2 220 0220 - 20abZlZ2二號“0=213.8 - 22.8 V丄丄丄丄.丄丄乙 Z2 Z3j20 j10 40I1U S1 " U ab220 0 -213.8/ -22.8= 4.31 -15.2 AU S2 - U ab220/-20 -213.8/ -22.8j10= 1.22/ -51 A，Uab213.8 -22.8= 5.35 -22.8 A圖3.42例3.23圖在應(yīng)用相量法時(shí)，除用相量解析式計(jì)算外，還可