微積分第七部分常微分方程

1、第七部分 常微分方程填空題1微分方程的通解為 。2過點且滿足關系式的曲線方程為。3微分方程的通解為 。4設是線性微分方程的三個特解，且，則該微分方程的通解為。5設是某二階線性非齊次微分方程的兩個特解，且相應齊次方程的一個解為，則該微分方程的通解為。6設出微分方程的一個特解形式。7微分方程的通解為 。8微分方程的通解為 。9函數滿足的二階線性常系數齊次微分方程為。10若連續(xù)函數滿足關系式 ，則。選擇題11設曲線積分與路徑無關，其中具有一階連續(xù)導數，且，則等于 (A)。 (B) 。 1 / 19(C) 。 (D) 。答B(yǎng)注：根據題意，解得。由，得，所以，即選項(B)正確。12若函數是微分方程的一個

2、特解，則該方程滿足初始條件的特解為 (A) 。 (B) 。(C) 。 (D) 。答D注：根據解的結構，通解為，由得。故選項(D)正確。其他選項經驗證不滿足方程或定解條件。13設函數是微分方程的兩個不同特解，則該方程的通解為 (A)。 (B) 。(C) 。 (D) 。答D注：因為是微分方程的兩個不同特解，所以是該方程的一個非零特解。根據解的結構，其通解為，即選項(D)正確。另：根據通解定義，選項(A)中有兩個任意常數，故其不對。當時，選項(B)不對。當時，選項(C)不對。14已知函數在任意點處的增量，則等于 (A)。 (B)。 (C)。 (D) 。答D注：根據微分定義及微分與導數的關系得，解得，

3、由，得，所以。因此選項(D)正確。15設函數是微分方程的一個解。若，則函數在點 (A) 取到極大值。 (B) 取到極小值。(C) 某個鄰域內單調增加。 (D) 某個鄰域內單調減少。答A注：因為，所以選項(A)正確。16. 設是二階常系數線性齊次方程的兩個特解，是兩個任意常數，則下列命題中正確的是 （A） 一定是微分方程的通解。（B）不可能是微分方程的通解。（C）是微分方程的解。（D）不是微分方程的解。答C注：根據疊加原理，選項（C）正確，選項（D）錯誤。當線性相關時，選項（A）錯誤, 當線性無關時，選項（B）錯誤。17. 微分方程的一個特解應具有形式 (A)。 (B)。(C) 。 (D) 。答

4、B注：相應齊次方程的特征根為，所以的一個特解形式為，的一個特解形式為。根據疊加原理，原方程的一個特解形式為，即選項(B)正確。其他選項經檢驗不滿足方程。18. 具有特解的三階線性常系數齊次微分方程是 (A)。 (B) 。(C) 。 (D) 。答B(yǎng)注：根據題意，是特征方程的兩個根，且是重根，所以特征方程為。故所求微分方程為，即選項(B)正確。19. 設是三階線性常系數齊次微分方程的兩個特解，則的值為 (A)。 (B)。(C)。 (D)。答C注：根據題意，是特征方程的兩個根，且是重根，所以特征方程為。故原微分方程應為，所以即選項(C)正確。20. 設二階線性常系數齊次微分方程的每一個解都在區(qū)間上有

5、界，則實數的取值范圍是 (A)。 (B)。 (C)。 (D)。答A注：因為當時，所以，當時，要想使在區(qū)間上有界，只需要，即。當時，要想使在區(qū)間上有界，只需要與的實部大于等于零，即。當時，在區(qū)間上有界。當時，在區(qū)間上無界。綜上所述，當且僅當時，方程的每一個解都在區(qū)間上有界，即選項(A)正確。解答題21求微分方程的通解。解：方程兩端同乘以，得，此方程是一個變量分離方程，其通解為。22求微分方程的通解。解：這是一個一階線性微分方程，求解其相應的齊次方程，得其通解為，即。令，代入原方程，得，解得。所以原方程的通解為。注：本題也可直接利用一階線性非齊次微分方程的通解公式，得。23求解微分方程。解：將看成

6、自變量，看成是的函數，則原方程是關于未知函數的一階線性微分方程，此方程通解為，其中是任意常數。24求微分方程滿足初始條件的特解。解：將原方程變形，得，這是一個齊次型方程。令，代入上式，得，分離變量，得，積分，得，即。因為，所以。于是所求特解為。25設施微分方程的一個解，求此微分方程滿足條件的特解。解：將代入原方程，得，解出。所以原方程為，解其對應的齊次方程，得。所以原方程的通解為。由，得。故所求特解為。26求微分方程的通解。解：將原方程化為，這是一個伯努利方程。令 ，則原方程化為。這是一個一階線性微分方程，解得，所以原微分方程的通解為。27求微分方程的通解。解：將看成自變量，則是的函數。由于原

7、方程是齊次型方程，令，原微分方程化為，這是一個變量可分離的方程，解得。所以原方程的通解為。另解：令 ，則，所以，在時，原方程為全微分方程。令 ，由于此曲線積分與路徑無關，所以就是全微分式的一個原函數，且所以原方程的通解為。28設為實數，求微分方程的通解。解：此方程的特征方程為，所以， （1）當時，特征方程有一對復根 ，方程有兩個線性無關解 。因此微分方程的通解為。 （2）當時，特征方程有一個二重根。方程有兩個線性無關解,于是微分方程的通解為。 （3）當時，特征方程有兩個單重實根 。方程有兩個線性無關解，所以微分方程的通解為。29求微分方程的通解。解 將方程寫作。因為是特征方程的單根，所以原方程

8、一個特解形式為，將此解代入原方程，得，比較兩端同次項的系數，有。解上述方程組，得。從而得到原方程的一個特解。又因為相應齊次方程的通解為。所以原方程的通解為。另解：方程兩端積分，得，這是一個一階線性微分方程，其通解為30求解微分方程。解：因為是特征方程的重根，所以原方程的一個待定特解為，將此解代入原方程，得。比較兩端系數，得。于是得到原方程的一個特解。又因為相應齊次方程的通解是。因此原方程的通解為。31求微分方程的通解。解：原方程所對應齊次方程的通解為。設非齊次方程的一個特解為，代入次方程，得 。所以 。設非齊次方程的一個特解為，代入方程，得 。所以 。因為為原方程的一個特解，所以原方程的通解為

9、。32求解微分方程 。解：因為原微分方程不顯含自變量，所以這是一個可降階微分方程。令 ，則。原方程變?yōu)?。再?，則有，這是一個一階線性微分方程，求得。所以，故 。這是個變量可分離微分方程，解得，這就是原微分方程的通解。注：方程是一個伯努利方程，可用伯努利方程的一般解法求解。33求解微分方程。解：微分方程 的特征方程為，是其三重特征根。所以該齊次方程的通解為。令原微分方程的一個特解形式為，代入原微分方程，并整理得，所以 。因此原微分方程的一個特解為，故所求通解為。34求解微分方程。解：令 ，則原方程化為，這是個一階線性微分方程，解得。因此 ，所以原微分方程的通解為，其中是任意常數。另解：令，則原

10、方程化為 ，所以 。由得。35求解微分方程。解：原方稱為二階歐拉方程。令 ，得。所以原微分方程化為，其中是自變量。這是一個二階線性常系數非齊次方程，解得。所以原微分方程的通解為，其中是任意常數。36 求解定解問題。解：令 ，則原方程化為，這是個變量可分離微分方程，解得，或，根據 ，得。由 ，得 。因為 ，所以 ，故原定解問題的解為。注：在求解變量可分離微分方程時，容易丟掉解，從而得不到原定解問題的解。37已知函數上可導，且滿足等式，求，并證明。解：根據條件，得，因為上可導，由上式，知上二階導數存在，所以，這是滿足的一個一階線性齊次方程，解得，由于 ，所以 ，故。當時，因為，所以。又時，所以。故。注：證明不等式時，只需要知道導數的符號及函數在某點上的值，并不要求一定知道函數的表達式。38設為連續(xù)函數,證明方程的所有積分曲線上橫坐標相同的點的切線交于一點。證：記 為方程的一條積分曲線，則 方程的任一條積分曲線可記為。曲線在點的切線方程為，曲線在點的切線方程為。求解方程組，得。所以，任一條積分曲線與積分曲線在橫坐標為的點處的切線相交于與無關的點，即方程的所有積分曲線上橫坐標相同的點的切線交于一點。39設在上連續(xù)非負，證明微分方程的任意非零解滿足的充