行列式的定義

1、第二章 行列式§1-3 排列，行列式的定義一、知識(shí)結(jié)構(gòu)與內(nèi)容提要（一）、排列1 由1，2，組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)級(jí)排列注： 1）所有不同級(jí)排列的共有！個(gè) (的階乘)2）自然序排列：1234（它的排序按小到大遞增排列，而其它排列都或多或少破壞了這種自然順序）2.逆序、逆序數(shù)定義： 在一個(gè)排列中，如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，則稱這對(duì)數(shù)為一個(gè)逆序；一個(gè)排列中逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)注 1）排列的逆序數(shù)記為注2）=后面比小的數(shù)的個(gè)數(shù)+后面比小的數(shù)的個(gè)數(shù)或=前面比大的數(shù)的個(gè)數(shù)+前面比大的數(shù)的個(gè)數(shù)+前面比大的數(shù)的個(gè)數(shù)3. 奇排列、偶排列(1) 逆序數(shù)為奇

2、數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列(2) 把一個(gè)排列中某兩個(gè)數(shù)的位置互換，而其余的數(shù)不動(dòng)，得到另一個(gè)排列，這一變換稱為一個(gè)對(duì)換(3) 對(duì)換改變排列的奇偶性即經(jīng)過(guò)一次對(duì)換，奇排列變成偶排列，偶排列變成奇排列推論 任有級(jí)排列中，奇、偶排列各半，均為個(gè)(4) 任意一個(gè)排列與自然序排列都可經(jīng)過(guò)一系列對(duì)換互換，并且所作對(duì)換的次數(shù)與這個(gè)排列的奇偶性相同(二) 級(jí)行列式的定義：級(jí)行列式 等于所有取自不同行不同列的個(gè)元素的乘積 （1）的代數(shù)和，這里為1、2、n的一個(gè)排列每一項(xiàng)（1）都按下列規(guī)則帶有符號(hào)：當(dāng)為奇排列時(shí)（）帶負(fù)號(hào)；當(dāng)為偶排列時(shí)（）帶正號(hào)即，這里表示對(duì)所有1、2、n的級(jí)排列求和注：1）

3、常記或2）中的數(shù)稱為行列式處于第行第列的元素，稱為行指標(biāo)，稱為列指標(biāo)3）級(jí)行列式定義展開(kāi)式中共有項(xiàng)特別的,對(duì)二級(jí)與三級(jí)行列式我們有(1) 對(duì)角形行列式 ,次對(duì)角形行列式 (2) 上三角形行列式,次上三角形行列式 (3) 下三角形行列式,次下三角形行列式 二、解題方法與典型例題（一） 關(guān)于排列1 求排列的逆序數(shù);2 對(duì)換與排列的奇偶性;例1 求,使5元排列為奇(偶)排列.解 顯然, 只能取3,5這兩個(gè)數(shù),若,容易計(jì)算,這時(shí)為偶排列,當(dāng) 為奇排列.例2 求排列的逆序數(shù)，并討論排列的奇偶性.解 容易計(jì)算排列的逆序數(shù)為，當(dāng)為偶排列，當(dāng)是為奇排列.例3 證明 對(duì)任意整數(shù)，存在數(shù)的一個(gè)排列，此排列的逆序數(shù)

4、為.證明 對(duì)用歸納法.當(dāng)時(shí)，命題顯然成立.假設(shè)對(duì)成立，即存在的一個(gè)排列，使該排列的逆序數(shù)為，對(duì)該排列中的數(shù)碼1與1右邊的數(shù)碼相對(duì)換，則對(duì)換后排列的逆序數(shù)為.所以命題對(duì)任意的都成立.(二)、關(guān)于行列式定義1 利用行列式定義求較簡(jiǎn)單的行列式的值 2 利用行列式定義證明一些行列式的性質(zhì)例1 選擇，使是5級(jí)行列式中一個(gè)帶負(fù)號(hào)的項(xiàng).解 由于的符號(hào)決定的奇偶性，而時(shí)，是奇排列，故時(shí)，在5級(jí)行列式中帶負(fù)號(hào).例2 計(jì)算=解 中不含零的項(xiàng)為與而這兩項(xiàng)符號(hào)分別是正號(hào)和負(fù)號(hào)，所以=- 例3 證明：如果級(jí)行列式在個(gè)行和個(gè)列的交叉點(diǎn)出的元素都為零，時(shí)，.證明：若級(jí)行列式在個(gè)行和個(gè)列的交叉點(diǎn)出的元素都為零，設(shè)這個(gè)行分別是

5、,那么這些行中不為零的元素至多有個(gè)，因此行列式每項(xiàng)中至少含有一個(gè)0.事實(shí)上，每項(xiàng)中，取自于第中非零數(shù)的可能是中，則取自于第行中非零數(shù)的可能是，取自于第行中非零數(shù)的可能至多.因?yàn)椋?三、 問(wèn)題探討1假如一個(gè)級(jí)行列式中等于0的元素個(gè)數(shù)比多，那么這個(gè)行列是等于什么？2 討論下列關(guān)于文字的行列式的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng).3 設(shè)有以下倆個(gè)行列式：其中，試討論的關(guān)系. 4設(shè)是一個(gè)實(shí)級(jí)行列式，證明：的項(xiàng)中若有負(fù)項(xiàng) （元素的符號(hào)計(jì)算在內(nèi)），則當(dāng)時(shí)，負(fù)項(xiàng)個(gè)數(shù)為奇數(shù)；當(dāng)時(shí)負(fù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)為偶數(shù).四、思考題與達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（一）、填空題1 全體級(jí)排列共有 個(gè)，奇排列有 ，偶排列有 個(gè)（這里）.2 級(jí)排列中逆序數(shù)最大的排列是 ，逆序數(shù)

6、是 ；最小的排列是 ，逆序數(shù)是 .3 排列經(jīng)一次對(duì)換，奇排列變成 ，偶排列變成 ；經(jīng)奇數(shù)次對(duì)換，奇排列變成 ，偶排列變成 ；經(jīng)偶數(shù)次對(duì)換 奇排列變成 ，偶排列變成 .4 級(jí)排列中，數(shù)1與余數(shù)形成的逆序數(shù)是 .5 級(jí)排列中，數(shù)與余數(shù)形成的逆序數(shù)是 .6.是 項(xiàng)的代數(shù)和，每一項(xiàng)取自 元素的乘積，項(xiàng)的符號(hào)是 .7中 是的項(xiàng).8= ， .9 ， .10 ， .，則中非零元素個(gè)數(shù)至少有 .（A）；（B），（C）；（D）.12.中零的個(gè)數(shù)多多于 ，=0.（A）；（B），（C）；（D）.13.（選擇填空）設(shè)，對(duì)排列施行一次對(duì)換得到排列的逆序數(shù)是 （4） .（A）；（B）；（C）；（D）（二）判斷題1 恰有個(gè)

7、元素等于0，則=0.2中項(xiàng)的符號(hào)是.（三）、解答題1求以下排列的逆序數(shù)，并指出排列的奇偶性.（1） 1437265（2）13572468. 2. 選擇和，使（1）成偶排列；（2）成奇排列.3. 如果元排列的反序數(shù)為,那么的反序數(shù)是多少? 4. 若,證明存在元排列,其反序數(shù)為.5.證明 6.計(jì)算7.證明：8.利用級(jí)行列式，證明級(jí)排列的奇偶排列各占一半.為個(gè)數(shù)碼的一個(gè)排列，求§4-5,7 n級(jí)行列式的性質(zhì)，Gramer法則一、 知識(shí)結(jié)構(gòu)與內(nèi)容提要(一)行列式的性質(zhì) 1（轉(zhuǎn)置變換）行列式與其轉(zhuǎn)置行列是相等.該性質(zhì)說(shuō)明行列式的行列的位置是同等的，因此行所具有的性質(zhì)列也具有.2 （換法變換）對(duì)

8、換行列式中兩行（列）位置，行列式反號(hào)3（倍法變換）行列式某行（列）元素的公因子可提到行列式符號(hào)之外即（1）行列式中某一行（列）為零，則行列式為零（2）如果行列式中有兩行（列）相同，則行列式為0（兩行（列）相同指的是兩行（列）對(duì)應(yīng)元素都相等）（3）行列式中兩行（列）成比例，則行列式為04（分行變換） 若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則行列式可按此行（列）拆成兩個(gè)行列式之和.5 （消法變換）把行列式的某一行（列）的倍數(shù)加到另一行（列），行列式不變.（二）矩陣與矩陣的初等變換1 定義 由sn個(gè)數(shù)排成s行n列的表 稱為一個(gè)s×n矩陣，常記為這些數(shù)稱為矩陣的元素，i為行指標(biāo)，j為列指

9、標(biāo)若矩陣A=， i=1，2，s， j=1，2，n，則說(shuō)A為數(shù)域P上的矩陣 當(dāng)s=n時(shí)，稱為n級(jí)方陣 n級(jí)方陣A=定義的n級(jí)行列式稱為矩陣A的行列式，記作或detA即，= 矩陣的相等：A=，B=定義A=Bs=p， n=q， =， i=1，2，s， j=1，2，n2矩陣的初等行變換定義 數(shù)域P上矩陣的初等行變換是指：1) 以P中一個(gè)非零數(shù)k乘矩陣的一行；2) 把矩陣的某一行的k倍加到另一行，；3) 互換矩陣中兩行的位置注：矩陣A經(jīng)初等行變換變成B，一般地AB3階梯形矩陣1 矩陣的任一行從第一個(gè)元素起至該行的第一個(gè)非零元素所在的下方全為零；若該行全為0，則它的下面各行也全為0，這樣的矩陣稱為階梯形矩

10、陣2 任意一個(gè)矩陣經(jīng)過(guò)一系列初等變換總能變成階梯形矩陣3方陣A經(jīng)過(guò)一系列初等行變換變成階梯陣D，則=3任何一個(gè)方陣都可以通過(guò)矩陣的初等變換化為上（下）三角形、對(duì)角形矩陣.因此任何一個(gè)行列式都可以化為上（下）三角形或者是對(duì)角形行列式進(jìn)行計(jì)算.（三）、Gramer法則1 n元線性方程組縮寫(xiě)為當(dāng)不全為0時(shí)，稱 （）為非齊次線性方程組；當(dāng) 時(shí)，稱() 為齊次線性方程組 2Gramer法則 如果線性方程組() 的系數(shù)矩陣 的行列式 ，則方程組()有唯一解，其中是把行列式中第列的元素用方程組()的常數(shù)項(xiàng)代換所得的一個(gè)n階行列式，即 注：()的系數(shù)行列時(shí)，()有解且只有唯一解； 若()無(wú)解或有兩個(gè)不同的解，

11、則()的系數(shù)行列式 3. （1）形如 稱為齊次線性方程組.注： 齊次線性方程組（3）總有解； 為它的一個(gè)解， 稱之為零解； 除零解外的解（若還有的話）稱為非零解（2） 若齊次線性方程組（3）的系數(shù)行列 ，則(3)只有零解二、 解題方法與典型例題1 行列式的性質(zhì)性質(zhì)是本章的重點(diǎn)，它是行列式計(jì)算的理論基礎(chǔ)與依據(jù).因此不僅要正確理解這幾個(gè)性質(zhì)，更要靈活運(yùn)用它們.行列式的計(jì)算，技巧性強(qiáng)，難度大，只有多做題目，總結(jié)方法與題型，積累經(jīng)驗(yàn)，才能較好的解決行列式的計(jì)算問(wèn)題.不過(guò)，不論行列式題目么千變?nèi)f化，利用行列式的性質(zhì)把行列式化成上（下）三角形或?qū)切问沁M(jìn)行行列式計(jì)算的基礎(chǔ).利用行列式性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算主要掌握三

12、種方法：化簡(jiǎn)法，目標(biāo)行列式法，歸一法.（1） 化簡(jiǎn)法，就是利用行列式的倍法變換分行變換和消法變換把行列式的元素化的盡可能的簡(jiǎn)單. （2） 目標(biāo)行列式法就是利用行列式的性質(zhì)，不行列式化成上（下）三角形或?qū)切涡辛惺?（3） 歸一法就是 把行列式的煤航（列）元素都加到某一行（列）上，然或再利用行列式的性質(zhì)進(jìn)一步化簡(jiǎn).例1 解：將行列式按第一列分解將等號(hào)右邊的兩個(gè)行列式按第二列分解，并繼續(xù)下去，注意到兩列相同，行列式為0，得，當(dāng)時(shí)，當(dāng).例2 計(jì)算解：將第一列乘以-1加到2，3，4列得到 例3 解 將2，3，n列都加到第一列然后將提到行列式的外邊，于是得到讓第一列分別乘以后，加到第2，3，n+1列得到

13、例4 證明：解：將行列式的行乘以加到第一列得到2 行列式的計(jì)算采用程序化的方法，把它通過(guò)消法變換化成三角形行列式.其方法的核心是利用矩陣的初等變換化成階梯形矩陣.例1 用初等變換將矩陣化為 階梯形矩陣.解 例2.計(jì)算行列式； 解 3 Gramer有關(guān)解題方法與典型例題略三、 問(wèn)題探討1用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意級(jí)行列式總可以通過(guò)允許的變環(huán)化成對(duì)角形、上三角形、下三角形.2不展開(kāi)行列式，計(jì)算， 3不展開(kāi)行列式求的的系數(shù).4若級(jí)行列式滿足，(反對(duì)稱行列式)則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，5設(shè)，其中（1）（2）求行列式的值四、思考題與達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（一）、判斷題1.2.3.（二）、填空題1的第一行的-3倍加到第二行得到 .2

14、交換方陣的兩行得到矩陣，則 .3方陣的第二行乘3變?yōu)榫仃?，則 .4方陣的第二行乘2加到第一行得到矩陣，則 .（三）、解答題1 計(jì)算下列行列式 ； ；2.已知546，273，169都是13的倍數(shù)，用行列式性質(zhì)證明也是13的倍數(shù).3 .計(jì)算下列行列式； 其中為的一個(gè)排列，這兩個(gè)行列式之間有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論.5.用初等行變換將矩陣化為階梯形.6.計(jì)算行列式 §2.6 行列式的展開(kāi)定理，拉普拉斯定理一、 知識(shí)結(jié)構(gòu)與內(nèi)容提要1定義：在行列式中劃去元素所在的第行與第列，剩下個(gè)元素按原來(lái)的排法構(gòu)成一個(gè)級(jí)的行列式稱之為元素的余子式，記為令，稱之為元素的代數(shù)余子式2位于行列式的第行及第列（， ）

15、交叉位置上的元素按照原來(lái)的相對(duì)位置組成的行列式稱為行列式的一個(gè)級(jí)子式.在中劃去這行列后余下的元素按原來(lái)的相對(duì)位置所構(gòu)成的一個(gè)級(jí)行列式稱為級(jí)子式的余子式.而稱稱為的代數(shù)余子式.3行列式的展開(kāi)定理（1）設(shè)表示元素的代數(shù)余子式，則下列公式成立：即 ， 4. 拉普拉斯定理：任取級(jí)行列式的某行（列），由這（列）元素的一切級(jí)子式（共個(gè)）與他們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式的值.5. 行列式的乘法規(guī)則 設(shè)有兩個(gè)級(jí)行列式則其中.6范德蒙行列式范德蒙行列式中，至少有兩個(gè)相等二、 解題方法與典型例題1、 定義法：適用于0比較多的行列式2、 利用7條基本性質(zhì)3、 按行（列）展開(kāi)降級(jí)適用于某行（列）0較多的行列式4

16、、 其他方法（一）析因子法例：計(jì)算解：由行列式定義知為的4次多項(xiàng)式又，當(dāng)時(shí)，1，2行相同，有，為D的根當(dāng)時(shí)，3，4行相同，有為D的根故有4個(gè)一次因式，設(shè)令則，即，（二）箭形行列式解：把所有的第列的倍加到第1列，得：可轉(zhuǎn)為箭形行列式的行列式： （第2把第行分別減去第1行，轉(zhuǎn)為箭形行列式）（三）所有行（列）對(duì)應(yīng)元素相加后相等的行列式 （四）加邊法（適用于除主對(duì)角線上元素外，各行對(duì)應(yīng)的元素分別相同，化箭的可轉(zhuǎn)為箭形行列式）（加邊法是計(jì)算復(fù)雜行列式的方法，應(yīng)多加體會(huì)）1）2）解：1)2)（五）三對(duì)角型行列式遞推公式法1）解：即有于是有同理有即 （先將行列式表示兩個(gè)低階同型的行列式的線形關(guān)系式，再用遞推

17、關(guān)系及某些低階（2階，1階）行列式的值求出的值） 解：同理而 由以上兩式解得（六）拆項(xiàng)法（主對(duì)角線上，下元素相同）解： 繼續(xù)下去，可得 （）1）也可以用加邊法做：，2）解：，得（七） 數(shù)學(xué)歸納法（第一數(shù)學(xué)歸納法，第二數(shù)學(xué)歸納法）1）（用數(shù)學(xué)歸納法）證明：證：當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即，對(duì)，將按最后一列拆開(kāi)，得所以時(shí)結(jié)論成立，故原命題得證2）證明：證： 時(shí)，結(jié)論成立假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立當(dāng)時(shí)，按第行展開(kāi)得由歸納假設(shè)于是時(shí)結(jié)論亦成立，原命題得證（八） 范德蒙行列式1）解：考察階范德蒙行列式顯然就是行列式中元素的余子式，即（為代數(shù)余子式）又由的表達(dá)式（及根與系數(shù)的關(guān)系）知，中的系數(shù)為即，2）解：考慮

18、級(jí)范德蒙行列式顯然就是行列式中元素的余子式，即，由的表達(dá)式知，的系數(shù)為 即（三）、問(wèn)題探討1若級(jí)行列式的所有元素為，則時(shí)，.2若級(jí)行列式的所有元素為，則.3設(shè)，討論行列式的不同求法：4 設(shè)為整數(shù)，討論等于0 的條件.四、思考題與達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（一）、填空題1 在中，元素的余子式是 ，代數(shù)余子式是 .2 若，則元素的余子式是 ，代數(shù)余子式是 .3 設(shè)是級(jí)行列式，則 ， .4 . 5. .5 4級(jí)行列式中的余子式 ，的代數(shù)余子式是 （二）、解答題1計(jì)算下列行列式； ； ；2.證明3 證明.4用拉普拉斯定理計(jì)算下列行列式；5用行列式的乘法定理計(jì)算行列式5.計(jì)算.6. 計(jì)算，其中第二章 總練習(xí)題（A）一、 填空題1 奇排列經(jīng)偶數(shù)次對(duì)換變成 ，經(jīng)奇數(shù)次對(duì)換變成 .2 .3 級(jí)行列式