賀凱芬-將混沌理論應(yīng)用于非線性波動系統(tǒng)的幾點(diǎn)思考

1、賀凱芬一、時空流形上的奇異性二、與參數(shù)有關(guān)的參照系三、場的自組織行為四、與空間結(jié)構(gòu)相關(guān)的不動點(diǎn)五、復(fù)分量的相空間六、哪些奇異性導(dǎo)致湍流運(yùn)動七、伴隨分岔出現(xiàn)的對稱性改變八、非線性本征頻率和相同步問題從可積系統(tǒng)看：常微分方程：拓展到復(fù)時間平面，有Painleve判據(jù)檢驗方程的可積性。推廣到偏微分方程：將解在形式上展開為羅朗級數(shù)：(x,t)=(x,t)uj(x,t)jj如果展開是成功的（找到相容的遞推關(guān)系等），方程的所有可動奇點(diǎn)都是極點(diǎn)，方程可積。奇異性將沿(x,t)=0的流形發(fā)生。這提示非線性波動系統(tǒng)的奇異性發(fā)生在依賴于時間和空間的流形上。岔），在波動系統(tǒng)中就要討論依賴于時間和空間的流形（對應(yīng)時空

2、結(jié)構(gòu)或波動解）隨參數(shù)出現(xiàn)的拓?fù)涓淖?。例：非線性偏微分方程一般不允許簡諧波解，最簡單的波動解例如是孤立波類型(周期邊界)的解：(x,t)=0(xvt)這是一個以一定速度V運(yùn)動的振幅和形狀都不變的波包列，因此，我們需要討論控制參數(shù)變化時波包列可能出現(xiàn)怎樣的分岔，以及此后還可能發(fā)生怎樣的臨界突變。（孤立波樣的）空間結(jié)構(gòu)0(xvt)以一定的=在什么參照系中觀察的問題；隨波坐標(biāo)系是恰當(dāng)?shù)膮⒄障担谶@個參照系中，空間結(jié)構(gòu)的形狀不隨時間改變；無論保守的波動系統(tǒng)還是耗散的波動系統(tǒng)，孤立波樣解的運(yùn)動速度都可能與參數(shù)有關(guān)。如在保守系統(tǒng)找孤立波解時，它的速度可能與方程系數(shù)以及積分常數(shù)滿足一定的關(guān)系。因此，在討論非線

3、性波的動力學(xué)時，隨參數(shù)改變們將面臨不止一個慣性參照系系統(tǒng)動力學(xué)現(xiàn)象時，參照系不隨參數(shù)改變；在所有慣性坐標(biāo)系中有相同的物理規(guī)律，但坐標(biāo)系運(yùn)動會引起多普勒效應(yīng)，這給（為預(yù)報等目的）觀察和分析實際波動系統(tǒng)的動力學(xué)現(xiàn)象的研究工作提出了挑戰(zhàn)：例如，在測量獲得湍流運(yùn)動頻率后，應(yīng)該作怎樣的多普勒移動才能得到有用的信息？我們不知道失穩(wěn)前的定態(tài)波解，也就不知道該在哪個坐標(biāo)系中觀察。組織出各種類型的時空結(jié)構(gòu)，我們應(yīng)該以粒子的觀點(diǎn)還是場的觀點(diǎn)來看待這種自組織現(xiàn)象？粒子的觀點(diǎn)：把介質(zhì)看作是由粒子組成的，通過（近鄰和非近鄰）粒子的相互作用，出現(xiàn)了自組織行為；場的觀點(diǎn)：把介質(zhì)看作由不同尺度的模式組成，由于這些模式之間的非

4、線性相互作用，出現(xiàn)了時空自組織。展開這里(x,t)=kk(x,t)k(x,t)是波數(shù)為k的分波，對于周期L邊界條件，k=2n/L,(n=1,2,")研究表明，對于非線性波動，自組織發(fā)生在不同尺度的場量之間。例如，觀察到不同尺度模式的位相之間出現(xiàn)同步、鎖頻等典型的非線性現(xiàn)象，這支持場的自組織觀點(diǎn)。在隨波坐標(biāo)系中，孤立波樣結(jié)構(gòu)的各個分波振幅和位相都是時間的常數(shù)，因此它是（用(Ak,k)構(gòu)建的）相空間中的一個不動點(diǎn)。0(xvt)=kAkeik+k反過來說，對于波動系統(tǒng)，相空間中的不動點(diǎn)對應(yīng)一個不變的空間結(jié)構(gòu)。和時序系統(tǒng)一樣，我們需要討論對不動點(diǎn)的擾動，這時，這個不動點(diǎn)對應(yīng)的空間結(jié)構(gòu)就會像一

5、個勢阱那樣散射對它的擾動。這個空間結(jié)構(gòu)對擾動起散射作用，就像量子力學(xué)勢阱那樣，可以用一個散射矩陣描寫，x1×y×1#=#xN"yN"×""×""#%#""×""×"x1y"2#×xNy×N散射改變了擾動的本征頻率和本征矢量，改變的大小和方向依賴于勢阱的狀態(tài)。因此，擾動的本征空間是被勢阱散射過的矢量空間，這是擾動的線性空間。這些不同尺度的擾動之間也有非線性相互作用，也會出現(xiàn)自組織。一個相空間，這是一

6、個復(fù)空間量（模式）都有振幅和位相，可用復(fù)數(shù)表達(dá)。例如展開（周期2）：(,)=kk(,)=kbk()eik+k()傅立葉第k個模式有兩種表示方式：用振幅和位相(bk,k)用投影(xk,yk)xk=bkcoskyk=bksink模型方程2 =y+x(x+y)x2 =x+y(x+y)y22中的(x,y)可以被看作是一個復(fù)矢量在相互垂直的兩個方向上的投影，r(t)e方程化為i(t)=x(t)+iy(t)2 =r(r)r =這是一個位相以不變頻率旋轉(zhuǎn)，振幅非線性變化的復(fù)振子。因此，這個模型討論的實際上是復(fù)振子的本征頻率在什么條件下失穩(wěn)的問題。波動系統(tǒng)有無窮多這樣的復(fù)振子，可以說明，此時Hopf分岔正是兩

7、個振子出現(xiàn)非線性共振引起的。我們觀察到與時空混沌發(fā)生有關(guān)的運(yùn)動流形的奇異性有兩類：與時序系統(tǒng)情形一樣，相空間不動點(diǎn)經(jīng)過一系列Hopf分岔會變成高維環(huán)形拓?fù)洌?dāng)不變環(huán)出現(xiàn)拓?fù)淦纥c(diǎn)時，軌道可能穿過奇點(diǎn)，破壞環(huán)形拓?fù)?，引起波動系統(tǒng)出現(xiàn)陣發(fā)湍流現(xiàn)象。二維環(huán)出現(xiàn)拓?fù)淦纥c(diǎn)的示意圖右邊的類似于球形拓?fù)?，在奇點(diǎn)處軌道沒有確定的方向。環(huán)形拓?fù)淝蛐瓮負(fù)涓呔S環(huán)在有二維環(huán)骨架時，可能在某一維上出現(xiàn)拓?fù)淦纥c(diǎn)，軌道穿過奇點(diǎn)運(yùn)動，破壞環(huán)形拓?fù)?，引起陣發(fā)的無序波動。E 0.2 0.0 10000 0.8 0.6 0.4 波動能量的平穩(wěn) 和陣發(fā)運(yùn)動 0.8 (a) =0.65, =0.192 0.6 0.4 15000 200

8、00 25000 30000 35000 40000 45000 50000 (b) =0.65, =0.19294 X Axis Title E 0.2 0.0 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000 t 平穩(wěn)相的有規(guī)波動 (a) =0.65, =0.19294 laminar period 陣發(fā)相的時空無序波動 (b) =0.65, =0.19294 bursty period 0.5 0.0 -0.5 0 1 2 3 4 5 6 20000 20015 20010 20005 0.0 -0.5 -1.0 0 1 2 3

9、4 5 6 35250 35265 35260 35255 x t x t 空間坐標(biāo)的引入帶來了時間和空間對稱性的問題在隨波坐標(biāo)系中不動點(diǎn)對應(yīng)一個不變的空間結(jié)構(gòu)，時間和空間組成一個坐標(biāo)xvt，在定態(tài)波發(fā)生分岔時，過去和未來不再相同，時間和空間的對稱性被打破了。對于行波，出現(xiàn)了與運(yùn)動方向有關(guān)的對稱性問題。伴隨局域分岔和全局分岔，都出現(xiàn)了對稱性質(zhì)改變的現(xiàn)象。在不動點(diǎn)出現(xiàn)：未擾的定態(tài)波向一定方向運(yùn)動，擾動模式的本征運(yùn)可能出現(xiàn)動向前和向后強(qiáng)度不對稱；在波動系統(tǒng)中，根據(jù)這種不對稱性可定義出正能模式和負(fù)能模式；已觀察到的兩種局域分岔現(xiàn)象，鞍結(jié)點(diǎn)分岔和Hopf分岔，在趨向臨界點(diǎn)時顯示冪率。振子，不僅它們的本征頻率因勢阱的散射作用-發(fā)生改變，而且每個振子的瞬時頻率這些振子通過相互作用協(xié)調(diào)它們的運(yùn)動頻率和位相。在非線性波中常見的現(xiàn)象有:大量突變現(xiàn)象都是非線性共振