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1、第二章 隨機(jī)變量及其分布第一節(jié) 基本概念1、概念網(wǎng)絡(luò)圖 2、重要公式和結(jié)論(1)離散型隨機(jī)變量的分布律設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為Xk(k=1,2,)且取各個(gè)值的概率,即事件(X=Xk)的概率為P(X=xk)=pk,k=1,2,,則稱(chēng)上式為離散型隨機(jī)變量的概率分布或分布律。有時(shí)也用分布列的形式給出:。顯然分布律應(yīng)滿(mǎn)足下列條件:(1), (2)。(2)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù),若存在非負(fù)函數(shù),對(duì)任意實(shí)數(shù),有, 則稱(chēng)為連續(xù)型隨機(jī)變量。稱(chēng)為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度。密度函數(shù)具有下面4個(gè)性質(zhì):1° 。2° 。(3)離散與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系積分元
2、在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類(lèi)似。(4)分布函數(shù)設(shè)為隨機(jī)變量,是任意實(shí)數(shù),則函數(shù)稱(chēng)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù),本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)。 可以得到X落入?yún)^(qū)間的概率。分布函數(shù)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間( ,x內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì):1° ;2° 是單調(diào)不減的函數(shù),即時(shí),有 ;3° , ;4° ,即是右連續(xù)的;5° 。對(duì)于離散型隨機(jī)變量,;對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量, 。(5)八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二項(xiàng)分布在重貝努里試驗(yàn)中,設(shè)事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量,設(shè)為,則可能取值為。,
3、 其中,則稱(chēng)隨機(jī)變量服從參數(shù)為,的二項(xiàng)分布。記為。當(dāng)時(shí),這就是(0-1)分布,所以(0-1)分布是二項(xiàng)分布的特例。泊松分布設(shè)隨機(jī)變量的分布律為,則稱(chēng)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布,記為或者P()。泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布(np=,n)。超幾何分布隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布,記為H(n,N,M)。幾何分布,其中p0,q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布,記為G(p)。均勻分布設(shè)隨機(jī)變量的值只落在a,b內(nèi),其密度函數(shù)在a,b上為常數(shù),即 axb 其他,則稱(chēng)隨機(jī)變量在a,b上服從均勻分布,記為XU(a,b)。分布函數(shù)為 axb 0, x<a,&#
4、160; 1, x>b。 當(dāng)ax1<x2b時(shí),X落在區(qū)間()內(nèi)的概率為。指數(shù)分布 , 0, , 其中,則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為 , x<0。 記住積分公式:正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為, ,其中、為常數(shù),則稱(chēng)隨機(jī)變量服從參數(shù)為、的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布,記為。具有如下性質(zhì):1° 的圖形是關(guān)于對(duì)稱(chēng)的;2° 當(dāng)時(shí),為最大值;若,則的分布函數(shù)為。參數(shù)、時(shí)的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記為,其密度函數(shù)記為,分布函數(shù)為。是不可求積
5、函數(shù),其函數(shù)值,已編制成表可供查用。(-x)1-(x)且(0)。如果,則。 (6)分位數(shù)下分位數(shù):;上分位數(shù):。(7)函數(shù)分布離散型已知的分布列為 ,的分布列(互不相等)如下:,若有某些相等,則應(yīng)將對(duì)應(yīng)的相加作為的概率。連續(xù)型先利用X的概率密度f(wàn)X(x)寫(xiě)出Y的分布函數(shù)FY(y)P(g(X)y),再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。例21:4黑球,2白球,每次取一個(gè),不放回,直到取到黑為止,令X()為“取白球的數(shù)”,求X的分布律。例22:給出隨機(jī)變量的取值及其對(duì)應(yīng)的概率如下:,判斷它是否為隨機(jī)變量的分布律。例23:設(shè)離散隨機(jī)變量的分布列為,求的分布函數(shù),并求,。例24: 是概
6、率密度函數(shù)的充分條件是:(1)均為概率密度函數(shù)(2)例25:袋中裝有個(gè)白球及個(gè)黑球,從袋中先后取a+b個(gè)球(放回),試求其中含a個(gè)白球,b個(gè)黑球的概率(a,b)。例26:某人進(jìn)行射擊,設(shè)每次射擊的命中率為0.001,若獨(dú)立地射擊5000次,試求射中的次數(shù)不少于兩次的概率,用泊松分布來(lái)近似計(jì)算。例27:設(shè)某時(shí)間段內(nèi)通過(guò)一路口的汽車(chē)流量服從泊松分布,已知該時(shí)段內(nèi)沒(méi)有汽車(chē)通過(guò)的概率為,則這段時(shí)間內(nèi)至少有兩輛汽車(chē)通過(guò)的概率約為多少?例28:袋中裝有個(gè)白球及個(gè)黑球,從袋中任取a+b個(gè)球,試求其中含a個(gè)白球,b個(gè)黑球的概率(a,b)。例29:袋中裝有個(gè)白球及個(gè)黑球,從袋中先后取a+b個(gè)球(不放回),試求其
7、中含a個(gè)白球,b個(gè)黑球的概率(a,b)。例210:袋中裝有個(gè)白球及個(gè)黑球,從袋中先后取a+b個(gè)球(放回),試求直到第a+b次時(shí)才取到白球的概率(a,b)。例211:4黑球,2白球,每次取一個(gè),放回,直到取到黑為止,令X()為“抽取次數(shù)”,求X的分布律。例212:5把鑰匙,只有一把能打開(kāi),如果某次打不開(kāi)不扔掉,問(wèn)以下事件的概率?第一次打開(kāi);第二次打開(kāi);第三次打開(kāi)。例213:若隨機(jī)變量X服從1,6上的均勻分布,求方程有實(shí)根的概率。例214:設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為f(x)=A ,x>0,則A= 。例215:設(shè),求。例216:XN(2,2)且P(2<X<4),則P(X<0)
8、?例217:設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1),對(duì)給定的,數(shù)滿(mǎn)足,若,則等于(A) . (B) . (C) . (D) .例218:已知隨機(jī)變量的分布列為,其中。求的分布列。例219:已知隨機(jī)變量,求的密度函數(shù)。第二節(jié) 重點(diǎn)考核點(diǎn)常見(jiàn)分布、函數(shù)分布第三節(jié) 常見(jiàn)題型1、常見(jiàn)分布例220:若有彼此獨(dú)立工作的同類(lèi)設(shè)備90臺(tái),每臺(tái)發(fā)生故障的概率為0.01?,F(xiàn)配備三個(gè)修理工人,每人分塊包修30臺(tái),求設(shè)備發(fā)生故障而無(wú)人修理的概率。若三人共同負(fù)責(zé)維修90臺(tái),這時(shí)設(shè)備發(fā)生故障而無(wú)人修理的概率是多少?例221:隨機(jī)變量X滿(mǎn)足P(X>h)=P(X>a+hX>a). (a,h均為正整數(shù))的充分條
9、件為:(1) X服從幾何分布 P(X=k)=p(1-p)k-1 (k=1,2,)(2) X服從二項(xiàng)分布 P(X=k)= Pk (1-p)n-k (k=0,1,2,n)例222:實(shí)驗(yàn)器皿中產(chǎn)生甲乙兩種細(xì)菌的機(jī)會(huì)是相等的,且產(chǎn)生細(xì)菌的數(shù)X服從參數(shù)為的泊松發(fā)布,試求:(1)產(chǎn)生了甲類(lèi)細(xì)菌但沒(méi)有乙類(lèi)細(xì)菌的概率;(2)在已知產(chǎn)生了細(xì)菌而且沒(méi)有甲類(lèi)細(xì)菌的條件下,有兩個(gè)乙類(lèi)細(xì)菌的概率。例223:設(shè)隨機(jī)變量X服從a,b(a>0)的均勻分布,且P(0<X<3),P(X>4),求: (1)X的概率密度 (2)P(1<X<5)例224:X,Y獨(dú)立,均服從U1,3,A=Xa,B=Y
10、a,已知P(AB)=,求a=? 定義:如果P(XxYy)=P(Xx)P(Yy),稱(chēng)X與Y獨(dú)立。例225:設(shè)隨機(jī)主量X的概率密度為其使得,則k的取值范圍是。例226:設(shè)顧客到某銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間X(單位:分)服從指數(shù)發(fā)布,其密度函數(shù)為某顧客在窗口等待服務(wù),如超過(guò)10分鐘,他就離開(kāi)。他一個(gè)月到銀行5次,以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開(kāi)窗口的次數(shù),求Y的分布列,并求P(Y1)。例227:X3N(1,72),則P(1<X<2)=?例228:設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為:則其分布函數(shù)F(x)是(A)(B)(C)(D)例229:設(shè)隨機(jī)變量X的絕對(duì)值不大于1,即|X|1,且,在事件-1<
11、X<1出現(xiàn)的條件下,X在(-1,1)內(nèi)的任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間長(zhǎng)度成正比。試求X的分布函數(shù)F(x)及P(X<0)(即X取負(fù)值的概率)。2、函數(shù)分布例230:設(shè)隨機(jī)變量X具有連續(xù)的分布函數(shù)F(x),求Y=F(X)的分布函數(shù)F(y)。(或證明題:設(shè)X的分布函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù),證明隨機(jī)變量Y=F(X)在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布。)例231:設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為F(x)是X的分布函數(shù),求隨機(jī)變量Y=F(X)的分布函數(shù)。例232:假設(shè)一設(shè)備開(kāi)機(jī)后無(wú)故障工作的時(shí)間X服從指數(shù)分布,平均無(wú)故障工作的時(shí)間(EX)為5小時(shí)。設(shè)備定時(shí)開(kāi)機(jī),出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī),而在無(wú)故障的情況下
12、工作2小時(shí)便關(guān)機(jī)。試求該設(shè)備每次開(kāi)機(jī)無(wú)故障工作的時(shí)間Y的分布函數(shù)F(y)。第四節(jié) 歷年真題數(shù)學(xué)一:1(88,2分)設(shè)隨機(jī)變量X服從均值為10,均方差為0.02的正態(tài)分布上。已知?jiǎng)tX落在區(qū)間()內(nèi)的概率為。2(88,6分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為,求隨機(jī)變量Y=1-的概率密度函數(shù)。3(89,2分)設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間(1,6)上服從均勻分布,則方程有實(shí)根的概率是。4(90,2分)已知隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù),則X的概率分布函數(shù)F(x)=。5(93,3分)設(shè)隨機(jī)變量X服從(0,2)上的均勻分布,則隨機(jī)變量在(0,4)內(nèi)的概率分布密度。6(95,6分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求隨機(jī)變量的概率密度。7
13、(02,3分)設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,且二次方程無(wú)實(shí)根的概率為,則。8(04,4分) 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1),對(duì)給定的,數(shù)滿(mǎn)足,若,則等于(A) . (B) . (C) . (D) . 9(06,4分)設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,服從正態(tài)分布,且, (A) (B) (C) (D)數(shù)學(xué)三:1(87,2分)(是非題)連續(xù)型隨機(jī)變量取任何給定實(shí)數(shù)值的概率都等于0。2(87,4分)已知隨機(jī)變量X的概率分布為PX=1=,PX=2=0.3, PX試寫(xiě)出其分布函數(shù)F(x).3(88,6分)設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間(1,2)上服從均勻分布,試求隨機(jī)變量的概率密度f(wàn)(y)。4(89,3分)設(shè)隨機(jī)變量X的分
14、布函數(shù)為則A=,=。5(89,8分)設(shè)隨機(jī)變量X在2,5上服從均勻分布,現(xiàn)在對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀(guān)測(cè),試求至少有兩次觀(guān)測(cè)值大于3的概率。6(90,7分)對(duì)某地抽樣調(diào)查的結(jié)果表明,考生的外語(yǔ)成績(jī)(百分制)近似服從正態(tài)分布,平均成績(jī)?yōu)?2分,96分以上的占考生總數(shù)的2.3%,試求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0分至84分之間的概率。附表:表中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。7(91,3分)設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為則X的概率分布為。8(91,5分)一輛汽車(chē)沿一街道行駛,要過(guò)三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口,每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其他信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立,且紅、綠兩種信號(hào)顯示的時(shí)間相等。以X表示該汽車(chē)首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù),
15、求X的概率分布。9(92,7分)設(shè)測(cè)量誤差XN(0,102)。試求在100次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量中,至少有三次測(cè)量誤差的絕對(duì)值大于的概率,并用泊松分布求出的近似值(要求小數(shù)點(diǎn)后取兩位有效數(shù)字)。附表:10(93,8分)設(shè)一大型設(shè)備在任何長(zhǎng)為t的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N(t)服從參數(shù)為t的泊松分布。(1) 求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔T的概率分布;(2) 求在設(shè)備已經(jīng)無(wú)故障工作8小時(shí)的情形下,再無(wú)故障運(yùn)行8小時(shí)的概率Q。11(94,3分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為以Y表示對(duì)X的三次獨(dú)立重復(fù)觀(guān)察中事件出現(xiàn)的次數(shù),則 。12(95,3分)設(shè)隨機(jī)變量XN(,2),則隨著的增大,概率(A)單調(diào)增大。(B)單調(diào)減小。(
16、C)保持不變。(D)增減不定。13(97,7分)設(shè)隨機(jī)變量X的絕對(duì)值不大于1,。在事件-1<X<1出現(xiàn)的條件下,X在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間的長(zhǎng)度成正比。試求X的分布函數(shù)。14(00,3分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為若的取值范圍是。15(03,13分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為16(04,4分) 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布, 對(duì)給定的, 數(shù)滿(mǎn)足, 若, 則等于(A) . (B) . (C) . (D) . 17(06,4分)設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且,則必有( )(A) (B)(C) (D)數(shù)學(xué)四:1(87,2分)(是非題)連續(xù)型隨機(jī)變
17、量取任何給定實(shí)數(shù)值的概率都等于0。()2(88,6分)設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間1,2上服從均勻分布,試求隨機(jī)變量Y=e2X的概率密度f(wàn)(y).3(89,3分)設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)則A=,P|X|。4(89,8分)某儀器裝有三只獨(dú)立工作的同型號(hào)電子元件,其壽命(單位:小時(shí))都服從同一指數(shù)分布,分布密度為f(x)=試求:在儀器使用的最初200小時(shí)內(nèi),至少有一只電子元件損壞的概率。5(90,7分)對(duì)某地抽樣調(diào)查的結(jié)果表明,考生的外語(yǔ)成績(jī)(百分制)近似服從正態(tài)分布,平均成績(jī)?yōu)?2分,96分以上的占考生總數(shù)的2.3%,試求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0分至84分之間的概率。表中(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。6(
18、91,7分)在電源電壓不超過(guò)200V、在200240V和超過(guò)240V三種情形下,某種電子元件損壞的概率分別為、0.001和0.2,設(shè)電源電壓XN(220,252),試求(1) 該電子元件損壞的概率;(2) 該電子元件損壞時(shí),電源電壓在200240V的概率。表中(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。7(92,7分)設(shè)測(cè)量誤差XN(0,102)。試求在100次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量中,至少有三次測(cè)量誤差的絕對(duì)值大于的概率,并用泊松分布求出的近似值(要求小數(shù)點(diǎn)后取兩位有效數(shù)字)。8(93,8分)設(shè)一大型設(shè)備在任何長(zhǎng)為t的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N(t)服從參數(shù)為的泊松分布。(1)求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔T的概率分布;(2)求在設(shè)備已經(jīng)無(wú)故障工作8小時(shí)的情形下,再無(wú)故障運(yùn)行8小時(shí)的概率Q。9(94,7分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)觀(guān)測(cè),以Vn表示觀(guān)測(cè)值不大于的次數(shù),試求隨機(jī)變量Vn的概率分布。10(95,3分)設(shè)隨機(jī)變量XN(,2),則隨著
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