第一節(jié)不定積分的概念及其性質(zhì)

1、第一節(jié) 不定積分的概念及其性質(zhì)教學(xué)目的：使學(xué)生掌握原函數(shù)與不定積分的概念及性質(zhì); 基本積分公式.教學(xué)重點(diǎn)：基本積分公式的推導(dǎo)及應(yīng)用.教學(xué)過程：一、原函數(shù)與不定積分的概念 定義1 如果在區(qū)間I上, 可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x), 即對(duì)任一xÎI, 都有F ¢(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù). 例如 因?yàn)?sin x)¢=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函數(shù). 又如當(dāng)x Î(1, +¥)時(shí), 因?yàn)? 所以是的原函數(shù). 提問: cos x和還有其它

2、原函數(shù)嗎？ 原函數(shù)存在定理 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù), 那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F(x), 使對(duì)任一x ÎI 都有F ¢(x)=f(x). 簡(jiǎn)單地說就是: 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù). 兩點(diǎn)說明: 第一, 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù)F(x), 那么f(x)就有無限多個(gè)原函數(shù), F(x)+C都是f(x)的原函數(shù), 其中C是任意常數(shù). 第二, f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)之間只差一個(gè)常數(shù), 即如果F(x)和F(x)都是f(x)的原函數(shù), 則F(x)-F(x)=C (C為某個(gè)常數(shù)). 定義2 在區(qū)間I上, 函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為f(x)(或f(x)dx )

3、在區(qū)間I上的不定積分, 記作 . 其中記號(hào)稱為積分號(hào), f(x)稱為被積函數(shù), f(x)dx稱為被積表達(dá)式, x 稱為積分變量. 根據(jù)定義, 如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù), 那么F(x)+C就是f(x)的不定積分, 即. 因而不定積分可以表示f(x)的任意一個(gè)原函數(shù). 例1. 因?yàn)閟in x 是cos x 的原函數(shù), 所以 . 因?yàn)槭堑脑瘮?shù), 所以 . 例2. 求函數(shù)的不定積分. 解：當(dāng)x>0時(shí), (ln x)¢, (x>0); 當(dāng)x<0時(shí), ln(-x)¢, (x<0). 合并上面兩式, 得到 (x¹0). 例3 設(shè)曲線

4、通過點(diǎn)(1, 2), 且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍, 求此曲線的方程. 解 設(shè)所求的曲線方程為y=f(x), 按題設(shè), 曲線上任一點(diǎn)(x, y)處的切線斜率為y¢=f ¢(x)=2x, , 即f(x)是2x 的一個(gè)原函數(shù). 因?yàn)?, 故必有某個(gè)常數(shù)C使f(x)=x 2+C, 即曲線方程為y=x 2+C. 因所求曲線通過點(diǎn)(1, 2), 故2=1+C, C=1. 于是所求曲線方程為y=x2+1. 積分曲線: 函數(shù)f(x)的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線. 從不定積分的定義, 即可知下述關(guān)系: , 或 ; 又由于F(x)是F ¢(x)的原函數(shù), 所

5、以 , 或記作 . 由此可見, 微分運(yùn)算（以記號(hào)d表示）與求不定積分的運(yùn)算（簡(jiǎn)稱積分運(yùn)算, 以記號(hào)表示）是互逆的. 當(dāng)記號(hào)與d 連在一起時(shí), 或者抵消, 或者抵消后差一個(gè)常數(shù). 二、基本積分表(1)(k是常數(shù)), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11), (12), (13), 例4 . 例5 . 例6 . 三、不定積分的性質(zhì) 性質(zhì)1 函數(shù)的和的不定積分等各個(gè)函數(shù)的不定積分的和, 即 . 這是因?yàn)? =f(x)+g(x). 性質(zhì)2 求不定積分時(shí), 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來, 即 (k是常數(shù), k ¹0

6、). 例7. . 例8 . 例9 . 例10 . 例11 . 例12 . 例13 = tan x - x + C . 例14 . 例15 . 第二節(jié) 不定積分的換元積分教學(xué)目的：使學(xué)生掌握不定積分的第一換元積分法以及第二換元積分法教學(xué)重點(diǎn)：不定積分的第一換元積分法以及第二換元積分法教學(xué)過程：一、第一類換元法（2課時(shí)）設(shè)f(u)有原函數(shù)F(u), u=j(x) , 且j(x)可微, 那么, 根據(jù)復(fù)合函數(shù)微分法, 有d Fj(x)=d F(u)=F ¢(u)d u= F¢ j(x) dj(x)j= F ¢j(x) j¢(x)d x ,所以 F ¢j

7、j(x) j¢(x)dx= F ¢j(x) dj(x)= F ¢(u)d u= d F(u)=d Fj(x), 因此 .即 =F(u) +C u = j(x) = Fj(x)+C. 定理1 設(shè)f(u)具有原函數(shù), u=j(x)可導(dǎo), 則有換元公式 . 被積表達(dá)式中的dx 可當(dāng)作變量x的微分來對(duì)待, 從而微分等式j(luò)j¢(x)dx =du可以應(yīng)用到被積表達(dá)式中. 在求積分時(shí), 如果函數(shù)g(x)可以化為g(x)= fj(x) j¢(x)的形式, 那么. 例1. =sin 2x+C . 例2. . 例3. . 例4. . 例5. =-ln|cos x|

8、+C . 即 . 類似地可得. 熟練之后, 變量代換就不必再寫出了. 例6. . 即 . 例7. . 例8. 當(dāng)a>0時(shí), . 即 . 例9. . 即 . 例10. . 例11. . 含三角函數(shù)的積分: 例12. . 例13. . 例14. . 例15. . 例16. . 例17. =ln |csc x -cot x |+C . 即 =ln |csc x -cot x |+C . 例18. =ln |sec x + tan x | + C. 即 =ln |sec x + tan x | + C.練習(xí)：求下列各積分：1 ；2求；3求（a>0，b>0）；5求，；6；7； 二、第二

9、類換元法（2課時(shí)） 定理2 設(shè)x =j(t)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù), 并且j¢(t)¹0. 又設(shè)f j(t)j¢(t)具有原函數(shù)F(t), 則有換元公式.其中t=j-1(x)是x=j(t)的反函數(shù). 這是因?yàn)?. 例19. 求(a>0). 解: 設(shè)x=a sin t , , 那么, dx =a cos t d t , 于是 . 因?yàn)? , 所以. 解: 設(shè)x=a sin t , , 那么 . 提示:, dx=acos tdt .提示: , . 例20. 求(a>0). 解法一: 設(shè)x=a tan t, , 那么=a sec t , dx=a sec 2t

10、 d t , 于是= ln |sec t + tan t |+C . 因?yàn)? , 所以= ln |sec t + tan t |+C, 其中C 1=C-ln a . 解法一: 設(shè)x=a tan t, , 那么 =ln|sect+tant|+C , 其中C 1=C-ln a . 提示:=asect , dx=a sec 2t dt , 提示:, . 解法二: 設(shè)x=a sh t , 那么 ,其中C 1=C-ln a . 提示: =a ch t , dx =a ch t d t . 例23. 求(a>0). 解: 當(dāng)x>a 時(shí), 設(shè)x=a sec t (), 那么=a tan t ,

11、于是= ln |sec t + tan t |+C . 因?yàn)? , 所以= ln |sec t + tan t |+C , 其中C 1=C-ln a . 當(dāng)x<a 時(shí), 令x=-u , 則u>a, 于是 , 其中C 1=C-2ln a . 綜合起來有. 解: 當(dāng)x>a 時(shí), 設(shè)x=a sec t (), 那么 ,其中C 1=C-ln a . 當(dāng)x<-a 時(shí), 令x=-u , 則u>a, 于是 , 其中C 1=C-2ln a . 提示:=atant .提示:, . 綜合起來有 . 補(bǔ)充公式: (16),(17),(18),(19),(20),(21),(22),(2

12、3), (24). 練習(xí)：1求，令；2求，令；3 求； 4 設(shè)，求第三節(jié) 不定積分的分部積分法教學(xué)目的：使學(xué)生掌握不定積分的分部積分法 設(shè)函數(shù)u=u(x)及v=v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù). 那么, 兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為(uv)¢=u¢v+uv¢, 移項(xiàng)得 uv¢=(uv)¢-u¢v. 對(duì)這個(gè)等式兩邊求不定積分, 得 , 或,這個(gè)公式稱為分部積分公式. 分部積分過程:. 例1 =x sin x-cos x+C . 例2 . 例3 =x2ex-2xex+2ex+C =ex(x2-2x+2 )+C. 例4 . 例5 . 例6 . 例7 求.

13、解 因?yàn)?, 所以 . 例8 求. 解 因?yàn)?, 所以 . 例9 求, 其中n為正整數(shù). 解 ; 當(dāng)n>1時(shí)，用分部積分法, 有 ,即 ,于是 .以此作為遞推公式, 并由即可得. 例10 求. 解 令x =t 2 , 則 , dx=2tdt. 于 . . 第一換元法與分部積分法的比較: 共同點(diǎn)是第一步都是湊微分 , .哪些積分可以用分部積分法？, , ;, , ;, .,. 例11已知f(x)的一個(gè)原函數(shù)是(1+sinx)lnx，求（1）；（2）；解：由已知得練習(xí)：1求；2求；3；4已知F(x)在-1，1上連續(xù)，在（-1，1）內(nèi)，且，求F(x)；第四節(jié)幾種特殊類型函數(shù)的積分教學(xué)目的：使學(xué)

14、生掌握簡(jiǎn)單有理函數(shù)式、三角函數(shù)的有理式及簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分。 一、有理函數(shù)的積分 有理函數(shù)的形式: 有理函數(shù)是指由兩個(gè)多項(xiàng)式的商所表示的函數(shù), 即具有如下形式的函數(shù): 有理函數(shù)當(dāng)時(shí)，為有理假分式；時(shí)，為有理真分式。有理假分式有理真分式分析法 假分式總可以化成一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)真分式之和的形式. 例如. 又如； 真分式的不定積分: 求真分式的不定積分時(shí), 如果分母可因式分解, 則先因式分解, 然后化成部分分式再積分. 例1 求. 解 =6ln|x-3|-5ln|x-2|+C. 提示: , A+B=1, -3A-2B=3, A=6, B=-5. 分母是二次質(zhì)因式的真分式的不定積分: 例2 求. 解 . 提示: . 例3 求. 解 . 提示: . 二、三角函數(shù)有理式的積分 三角函數(shù)有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù), 其特點(diǎn)是分子分母都包含三角函數(shù)的和差和乘積運(yùn)算. 由于各種三角函數(shù)都可以用sin x 及cos x 的有理式表示, 故三角函數(shù)有理式也就是sin x 、cos x 的有理式. 用于三角函數(shù)有理式積分的變換: 把sin x、cos x表成的函數(shù), 然后作變換: , . 變換后原積分變成了有理函數(shù)的積分. 例4 求. 解 令, 則, , x=2arctan u , . 于是 . 解 令, 則 . 說明: 并非所有的三角函數(shù)有理式的積分都要通過變換化為有理