理想和商環(huán)定義的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計

1、文章編號：X080011理想和商環(huán)定義的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計黑龍省新世紀教育教學(xué)改革工程項目資助; 黑龍江大學(xué)新世紀教育教學(xué)改革工程項目資助(07CB079)。 張顯 生玉秋 曹重光 摘要：給出了理想和商環(huán)定義的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計, 這不同于目前流行的近世代數(shù)教材. 關(guān)鍵詞： 理想 商環(huán) 環(huán) 商群 近世代數(shù)(又名抽象代數(shù))是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)及相關(guān)專業(yè)的一門重要的專業(yè)課程， 是代數(shù)學(xué)方向的一門基礎(chǔ)課程。近世代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，在計算機科學(xué)、信息科學(xué)、近代物理與近代化學(xué)等方面有廣泛的應(yīng)用，是從事現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)人員所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3。然而，近世代數(shù)是一門比較抽象的學(xué)科，不少人特別是初學(xué)者在解題時常感困難5。究其

2、原因，主要是對 近世代數(shù)的概念理解的不夠深刻，甚至只是背下來了， 對不同概念間的本質(zhì)區(qū)別和聯(lián)系并不是很清楚，因而 做好課前的準備、精心設(shè)計教學(xué)內(nèi)容的重要性是不言而喻的。在教學(xué)中， 闡明教材中的概念、公式和定理的提出和發(fā)展過程，使學(xué)生對基本理論的歷史和現(xiàn)狀有較清楚的認識，無論對于他們學(xué)習(xí)積極性的調(diào)動，還是對他們理解程度的提高都有重要作用。本文給出理想和商環(huán)定義的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計，這不同于目前流行的近世代數(shù)教材，例如 1-3，6，7。從1920年德國數(shù)學(xué)家諾特引入“左模"、“右模"的概念, 到1926年諾特建立了一整套現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的“環(huán)"和“理想"的系統(tǒng)理論, 從

3、此代數(shù)學(xué)研究對象從研究代數(shù)方程根的計算與分布, 進入到研究數(shù)字、文字和更一般元素的代數(shù)運算規(guī)律和各種代數(shù)結(jié)構(gòu), 完成了古典代數(shù)到抽象代數(shù)的本質(zhì)的轉(zhuǎn)變4。設(shè)是環(huán)的子環(huán), 能被看作是的加法子群, 并且是不變子群。則由商群理論我們可以說(加法)群。 一個自然的問題是：問題 1 能否補充定義上“乘法" 使得成為環(huán)? 由商群理論知上的加法是被定義為 (1)這啟發(fā)我們能否嘗試定義上“乘法" 如下: (2)為了展示(2)中的定義是否能肯定地回答上面的問題, 首先看下面的命題。 命題 1 設(shè)是環(huán)的子環(huán), 若式(2)定義了上的一個二元運算, 則關(guān)于式(1)和 式(2)定義的兩種運算構(gòu)成環(huán)。

4、證明 對于任意的, 易見 又由于關(guān)于式(1)定義的加法構(gòu)成加群, 故關(guān)于式(1)和 式(2)定義的兩種運算構(gòu)成環(huán)。 這個命題表明上面的問題可以簡化為問題 2 式(2)是否定義了上的一個二元運算, 即是否下面的蘊含關(guān)系成立? (3)然而下面的兩個例子告訴我們有時式(2)定義了上的一個二元運算, 有時(2) 不能定義上的二元運算。 例 1 設(shè)是偶數(shù)環(huán), 則是整數(shù)環(huán)的子環(huán)。 易見, 并且 式(2)定義了上的一個二元運算。 例 2 設(shè)是數(shù)域, , 則是的子環(huán)。 取中的元素 則商群中的元素滿足, 于是 從而式(3)不成立。故式(2)不能定義上的一個二元運算。因而, 研究式(2)定義了上的一個二元運算的充

5、要條件是必要的。 命題 2 設(shè)是環(huán)的子環(huán), 則式(2)定義了上的一個二元運算(即(3)成立)的充要條件是 (4)證明 (必要性) 同理。 (充分性) 注: 7介紹了命題2的充分性。 定義 1 設(shè)是環(huán)的子環(huán), 若(4)成立, 則稱是的理想。 例 3 設(shè)是環(huán), 則是的理想(稱為零理想), 也是的理想(稱為單位理想)。 統(tǒng)稱這兩個理想為平凡理想。 例 4 設(shè)是任意的整數(shù), 則是的理想。 例 5 設(shè)是域, 則是的理想。推論 1 除環(huán)只有平凡理想(稱只有平凡理想的環(huán)為單環(huán))。證明 設(shè)是除環(huán)的一個非零理想, 則至少含中的一個非零元, 由理想的定義知, 故只有平凡理想。推論 2 (1)設(shè)是環(huán)的子環(huán), 則商群

6、是環(huán)的充要條件是(4)成立。 定義 2 設(shè)是環(huán)的理想, 稱本節(jié)中定義的環(huán)為環(huán)模的商環(huán)(剩余類環(huán))。 若定義映射如下: 則易見是環(huán)滿同態(tài)映射, 稱其為自然同態(tài)。參考文獻：1 馮克勤, 李尚志, 查建國, 章璞. 近世代數(shù)導(dǎo)論M. 合肥: 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社, 2002.2 韓士安, 林磊. 近世代數(shù)M. 北京: 科學(xué)出版社, 2004.。3 胡冠章.應(yīng)用近世代數(shù)(第2版)M. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2002.5 楊子胥, 宋寶和. 近世代數(shù)習(xí)題解M. 山東: 山東科學(xué)技術(shù)出版社, 2005.6 張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)(修訂本)M.北京: 高等教育出版社, 1978.7 朱平天, 李伯葓. 近世代數(shù)M. 北京: 科學(xué)出版社, 2001. (作者單位：黑龍江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院)作者簡介: 張顯(1