用彼得斯公式估計總體標準差的誤差分析

1、用彼得斯公式估計總體標準差的誤差分析朱 安 遠（冶金工業(yè)部自動化研究院·北京，100071）【摘要】本文作者獨立地推導(dǎo)出了用彼得斯公式估計總體標準差的標準 差系數(shù) Cn 的計算公式。根據(jù)各種估計總體標準差方法的標準差系數(shù) Cn 的大小，我們可以分析出各種估計方法的優(yōu)劣及其適用范圍?！娟P(guān)鍵詞】彼得斯公式 總體標準差 標準差系數(shù) 誤差分析1 彼得斯公式及其由來 假設(shè)總體為獨立地抽自總體X的一個隨機樣本，定義隨機變量 其中 這里不妨假設(shè)n為大于2的正整數(shù)。 因故即隨機變量和隨機變量 之間的相關(guān)系數(shù)為 據(jù)此其聯(lián)合概率密度就確定了。在這個基礎(chǔ)上，我們就可求得隨機變量的概率密度為： 在上式中代入

2、則 在推導(dǎo)彼得斯公式之前，作為預(yù)備知識，我們先介紹絕對正態(tài)分布。 絕對正態(tài)分布是一種常見的不對稱分布。只計大小而不計方向的隨機誤差一般都服從絕對正態(tài)分布。假設(shè)且 X1，X2 相互獨立，則 即 其中 那么隨機變量 的分布就是一個絕對正態(tài)分布。不難求得隨機變量 的數(shù)學(xué)期望和方差分別為： 上式中 在上述結(jié)論中，令亦即k = 0 ,則 隨機變量 的數(shù)學(xué)期望為： 于是用 作為標準差的估計是無偏估計。此公式就是用于計算總體標準差的彼得斯 (Peters) 公式。彼得斯（C. A. F. Peters ,18061880）是德國天文學(xué)家，18391849年在俄國工作，主要成就是確定章動常數(shù)和恒星視差的光行差

3、等。 在科學(xué)實驗中，評定實驗的準確度（Accuracy）是一個極其重要的問題。在評定準確度的時候，一般都要計算實驗的標準差。計算標準差的方法除彼得斯法外，還有貝塞爾法、極差法、較差法、最大誤差法和最大殘差法等。標準差對理論和實際應(yīng)用來說都是一個很重要的指標，它描述了隨機變量的可能值與均值的疏密程度。2 彼得斯公式的誤差分析 在實驗過程中，可能同時存在系統(tǒng)誤差（Systematic Error）、隨機誤差（Random Error）和粗大誤差（Parasitic Error）。 當(dāng)粗大誤差被剔除后，決定準確度的就是系統(tǒng)誤差和隨機誤差。系統(tǒng)誤差影響實驗的正確度（Correctness），隨機誤差影

4、響實驗的精密度（Precision）。 系統(tǒng)誤差和隨機誤差的合成結(jié)果稱為綜合誤差 ( Composite Error )。而實驗的準確度（Accuracy）就是用綜合誤差來衡量的，它表征了實驗結(jié)果與真值的接近程度。 因為彼得斯公式是無偏估計 ,故不存在系統(tǒng)誤差。下面我們重點來討論彼得斯公式的隨機誤差。由于隨機變量 和 ( ij，i & j1, 2, , n）之間不是相互獨立的，其相關(guān)系數(shù)不易求得，故隨機變量 的方差也不易求得。在這里我們采用下述獨特的思路來求隨機變量Y的方差：首先求出隨機變量 和它們之間也不是相互獨立的）的聯(lián)合概率密度，然后求出隨機變量和 的聯(lián)合概率密度，由此可求得聯(lián)合

5、數(shù)學(xué)期望E(Wi Wj )。根據(jù)公式COV(Wi，Wj )E(Wi Wj )E(Wi )·E(Wj )即可求得隨機變量Wi 和Wj 之間的協(xié)方差。在此基礎(chǔ)上求隨機變量Y的方差就輕而易舉了。下面我們就來逐步地作這些工作： 對于隨機變量Vi 和Vj（ij，i & j1, 2, , n），有 故其相關(guān)系數(shù)為： 故二維正態(tài)隨機變量（Vi，Vj）的聯(lián)合概率密度為： 令 則二維隨機變量（Wi，Wj ）的聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合概率密度分別為： 其余地方為零) 其余地方為零) 在上式中代入則 令則 又令則 再令即則 上式中常數(shù) 又 用數(shù)學(xué)歸納法容易證明： 其中 k = 0, 1, 2, ) 隨機

6、變量和的協(xié)方差為： 隨機變量的方差為： 前面已作過n > 2的假設(shè)，實際上經(jīng)驗算此公式也適合n = 2時的情況。 用彼得斯公式來估計隨機變量的標準差是無偏估計，不存在系統(tǒng)誤差，其隨機誤差的標準差為故定義其標準差系數(shù)為： 精確到小數(shù)點后六位，借助于計算機用Excel 97算得標準差系數(shù)Cn如下面的表1所示。根據(jù)各種估計總體標準差方法（如貝塞爾法、極差法、較差法、最大誤差法和最大殘差法等）的標準差系數(shù) Cn 的大小，我們可以分析出各種方法的優(yōu)劣及其適用范圍。參 考 文 獻1 張世英、劉智敏 編著 ，測量實踐的數(shù)據(jù)處理，科學(xué)出版社，1977 年11月（首版）。2 M. 費史(波蘭) 著，王福保

7、 譯 ，概率論及數(shù)理統(tǒng)計， 上?？茖W(xué) 技術(shù)出版社，1962年10月（首版）。1990年03月21日完成第一稿1990年12月25日完成第二稿 1998年10月20日完成此定稿The Error Analysis of a Population Standard Deviation Estimated by Peters FormulaZhu An-yuan(Automation Research Institute of Ministry of Metallurgical Industry , Beijing , 100071)Abstract The author has exported

8、on his own the calculating formula of a standard deviation coefficient Cn of a population standard deviation estimated by Peters formula . It can be analysed that various estimating methods are good ,bad and their scope of application according to big or small of different standard deviation coefficients Cns of various estimating methods .Keywords Peters formula population standard deviation standard deviation coefficient error analysis作 者 簡 介朱安遠 1964年10月生于湖南省邵東縣。1985年7月畢業(yè)于包頭鋼鐵學(xué)院機電工程系工業(yè)電氣自動化專業(yè)，獲工學(xué)學(xué)士學(xué)位。現(xiàn)為冶金工業(yè)部自動化研究