第一章 高等代數(shù)多項(xiàng)式

1、高等代數(shù)高高 等等 代代 數(shù)數(shù)Higher Algebra湖南大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院湖南大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院多項(xiàng)式推薦教材：高等代數(shù)簡(jiǎn)明教程(上、下冊(cè)) 藍(lán)以中著高等代數(shù)(上、下冊(cè)) 丘維聲著高等代數(shù)學(xué)(第2版) 姚慕生、吳泉水著推薦習(xí)題集：高等代數(shù)精選題解 楊子胥著高等代數(shù)中的典型問(wèn)題與方法李志慧、李永明著高等代數(shù)題解精粹 錢(qián)吉林著多項(xiàng)式 第一章 多項(xiàng)式緒論與準(zhǔn)備知識(shí)一、復(fù)一、復(fù) 數(shù)數(shù) 復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念 復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部；模與幅角復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部；模與幅角 復(fù)數(shù)的三角表示，歐拉公式復(fù)數(shù)的三角表示，歐拉公式 代數(shù)基本定理代數(shù)基本定理 的根的根1nz準(zhǔn)備知識(shí)二、 數(shù) 域 的 概 念 在有理

2、數(shù)范圍內(nèi)不能進(jìn)行因式分解，但在實(shí)域內(nèi)就可以分解。2x2 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒(méi)有根，但在復(fù)數(shù)域內(nèi)就有一對(duì)共軛復(fù)根。2x10 1 1、數(shù)的認(rèn)識(shí)過(guò)程、數(shù)的認(rèn)識(shí)過(guò)程自然數(shù)自然數(shù)整數(shù)整數(shù)有理數(shù)有理數(shù)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)2 2、數(shù)的范圍對(duì)問(wèn)題的影響、數(shù)的范圍對(duì)問(wèn)題的影響 N Z Q R C 多項(xiàng)式1 數(shù)環(huán)和數(shù)域1 數(shù)環(huán)和數(shù)域數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本概念，人們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了一個(gè)長(zhǎng)期的發(fā)展過(guò)程，由自然數(shù)到整數(shù)、有理數(shù)，然后是實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)。數(shù)學(xué)中的許多問(wèn)題都和數(shù)的范圍有關(guān)，數(shù)的范圍不同，對(duì)同一問(wèn)題的回答可能也不相同。例如2x2 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒(méi)有根，但在復(fù)數(shù)域內(nèi)就有一對(duì)共軛復(fù)根。2x10 在有理數(shù)范圍內(nèi)不能進(jìn)行因式分解，但在實(shí)

3、域內(nèi)就可以分解。多項(xiàng)式1 數(shù)環(huán)和數(shù)域我們通?？紤]的數(shù)的范圍主要包括全體實(shí)數(shù)、全體有理數(shù)以及全體復(fù)數(shù)等，它們具有一些不同的性質(zhì)，但也有很多共同的性質(zhì)，在代數(shù)中經(jīng)常將具有共同性質(zhì)的對(duì)象統(tǒng)一進(jìn)行討論。一個(gè)數(shù)集中，數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算稱(chēng)為數(shù)的代數(shù)運(yùn)算。若數(shù)集P中任何兩個(gè)數(shù)做某一運(yùn)算后的結(jié)果仍然在這個(gè)數(shù)集P中，則稱(chēng)該數(shù)集P對(duì)這個(gè)運(yùn)算是封閉的。a) 自然數(shù)集N對(duì)加、乘運(yùn)算封閉，對(duì)減、除不封閉。b) 整數(shù)集Z對(duì)加、減、乘運(yùn)算封閉，對(duì)除不封閉。c) 有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R、復(fù)數(shù)集C對(duì)加、減、乘、除 (除數(shù)不為0)四種運(yùn)算都封閉。多項(xiàng)式1 數(shù)環(huán)和數(shù)域 根據(jù)數(shù)集對(duì)運(yùn)算的封閉情況，可以得到兩類(lèi)數(shù)集：數(shù)環(huán)和數(shù)域。一、

4、數(shù)環(huán)定義1：若P是由一些復(fù)數(shù)組成的非空集合，若數(shù)集P對(duì)加、減、乘三種運(yùn)算都封閉，即對(duì)a，bP，總有a+b，a-b，abP，則稱(chēng)數(shù)集P是一個(gè)數(shù)環(huán)。例如：整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R、復(fù)數(shù)集C都是數(shù)環(huán)。例 1 除了以上數(shù)環(huán)外，是否還有其他數(shù)環(huán)？有沒(méi)有最小數(shù)環(huán)？例 2 一個(gè)數(shù)環(huán)是否一定包含0元？除零環(huán)外，是否還有只包含有限個(gè)元素的數(shù)環(huán)？多項(xiàng)式1 數(shù)環(huán)和數(shù)域例 3 證明P2ab 2 |a,bZ是包含2的最小數(shù)環(huán)。二、數(shù)域定義2：若P是由一些復(fù)數(shù)組成的集合，其中包含0和1，如果數(shù)集P對(duì)加、減、乘、除(除數(shù)不為0)四種運(yùn)算都封閉，則稱(chēng)數(shù)集P是一個(gè)數(shù)域。定義3：若P是一個(gè)數(shù)環(huán)，如果 數(shù)集P內(nèi)含有一個(gè)非零數(shù)

5、 對(duì)a，bP，且b0，有a/b P，則稱(chēng)數(shù)集P是一個(gè)數(shù)域。例如：有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R、復(fù)數(shù)集C都是數(shù)域。多項(xiàng)式1 數(shù)環(huán)和數(shù)域例 4 證明Q( 2)ab 2 |a,bQ是一個(gè)數(shù)域。例 5 設(shè)1Pab 2 |a,bQ2Pab 3|a,bQPab 2c 3d 6 |a,b,c,dQ證明P2，P是一個(gè)數(shù)域，而且P是包含P1和P2的最小數(shù)域。例 6 證明任何數(shù)域都包含有理數(shù)域Q。例 7 在Q與R之間是否還有別的數(shù)域?R與C之間呢？例 8 設(shè)F1和F2是兩個(gè)數(shù)域，證明： 1）F1F2是一個(gè)數(shù)域； 2）F1F2是數(shù)域的充分必要條件是F1F2或F2F1。多項(xiàng)式2 一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算2 一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)

6、算一、一元多項(xiàng)式的定義定義1：設(shè) x 是一個(gè)文字(或符號(hào))，n 是一個(gè)非負(fù)整數(shù)，表達(dá)式其中a0，a1，an全屬于數(shù)域P，稱(chēng)為系數(shù)在數(shù)域 P 中的一元多項(xiàng)式，或簡(jiǎn)稱(chēng)為數(shù)域 P 上的一元多項(xiàng)式。 定義1在以下兩方面推廣了中學(xué)的多項(xiàng)式定義：1) 這里的x不再局限為實(shí)數(shù)，而是任意的文字或符號(hào)。2) 多項(xiàng)式中的系數(shù)可以在任意數(shù)域中。常數(shù)項(xiàng)，或稱(chēng)零次項(xiàng)稱(chēng)為首項(xiàng)，其中首項(xiàng)系數(shù)an0niiinnnnxaaxaxaxa00111多項(xiàng)式2 一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算例如：32f(x)9x3x2x1是Q上的一元多項(xiàng)式。2f(x)x2x3是R上的一元多項(xiàng)式。2f(x)5xix3是C上的一元多項(xiàng)式。而3231x3x2x,2

7、x ,xx1都不是多項(xiàng)式。定義2：如果在多項(xiàng)式f (x)與g(x)中，除去系數(shù)為零的項(xiàng)外，同次項(xiàng)的系數(shù)相等，那么就稱(chēng)多項(xiàng)式 f (x) 或 g(x) 相等，記為f (x) = g(x)多項(xiàng)式2 一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算定義3：設(shè)非負(fù)整數(shù) n 稱(chēng)為多項(xiàng)式 f (x) 的次數(shù)，記為例如：2f(x)3x2x1f(x)3(f(x)2(f(x)0幾類(lèi)特殊的多項(xiàng)式：零次多項(xiàng)式：次數(shù)為0的多項(xiàng)式，即非零常數(shù)。零多項(xiàng)式：系數(shù)全為0的多項(xiàng)式，即f (x)=0。對(duì)零多項(xiàng)式不定義次數(shù)，因此，在使用次數(shù)符號(hào)時(shí)，總假定f (x)0。首一多項(xiàng)式：首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式。, 0,)(0111nnnnnaaxaxaxaxfnxf

8、)(多項(xiàng)式2 一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算二、多項(xiàng)式的運(yùn)算定義4：設(shè)是數(shù)域P上次數(shù)分別為n和m的多項(xiàng)式(不妨假設(shè)mn)，則多項(xiàng)式f (x)和g(x)的和，差為：當(dāng)m 1時(shí)，p(x)稱(chēng)為f (x)的重因式。如果f (x)的標(biāo)準(zhǔn)分解式為：則p1(x)，p2(x)，ps(x)分別是f (x)的k1重，k2重， ，ks重因式。),()()()(2121xpxpxpaxfskskkn多項(xiàng)式6 重因式定義2 多項(xiàng)式f (x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的一階導(dǎo)數(shù)f (x)是比f(wàn) (x)低一次的多項(xiàng)式 f (x)=annxn-1+an-1(n-1)xn-2+a1一階導(dǎo)數(shù)f (x)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為f (x)

9、的二階導(dǎo)數(shù)，記為f (x)。f (x)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為f (x)的三階導(dǎo)數(shù)，記為f (x)。f (x)的k階導(dǎo)數(shù)記為f (k)(x)。 一個(gè)n次多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)n-1次多項(xiàng)式，它的n階導(dǎo)數(shù)就是一個(gè)常數(shù)，它的n+1階導(dǎo)數(shù)就是零。多項(xiàng)式6 重因式 多項(xiàng)式的基本求導(dǎo)法則： 1) (f (x)+g(x) = f (x)+g (x) 2) (cf (x) = cf (x) 3) (f (x)g(x) = f (x)g(x)+f (x)g (x) 4) (f m(x) = mf m-1(x)f (x)定理1 若不可約多項(xiàng)式p(x)是f (x)的k重因式(k 1)，則p(x)是f (x)的k-1重因式。推論1

10、若不可約多項(xiàng)式p(x)是f (x)的k重因式(k 1)，則p(x)是f (x)，f (x)，f (k-1)(x)的因式，但不是f (k)(x)的因式。多項(xiàng)式6 重因式推論2 不可約多項(xiàng)式p(x)是f (x)的重因式的當(dāng)且僅當(dāng)p(x)是f (x)與f (x) 的公因式。推論3 多項(xiàng)式f (x)無(wú)重因式的充要條件是f (x)與f (x)互素。例 1 求多項(xiàng)式 有重因式的條件。 qpxxxf3)(例 2 用分離重因式方法求多項(xiàng)式在Q上的標(biāo)準(zhǔn)分解式。2653)(2345xxxxxxf多項(xiàng)式7 多項(xiàng)式函數(shù)7 多項(xiàng)式函數(shù)一、多項(xiàng)式函數(shù)的定義定義1 設(shè)f (x)P x，對(duì)任意的xP，作映射f： xf (x)

11、 P映射 f 確定了數(shù)域P上的一個(gè)函數(shù)f (x)，f (x)稱(chēng)為P上的多項(xiàng)式函數(shù)。定義2 設(shè)f (x)P x，對(duì)任意的cP，數(shù) f (c)=ancn+an-1cn-1+a0稱(chēng)為當(dāng)x=c時(shí)多項(xiàng)式函數(shù)f (x)的值，若f (c)=0，則稱(chēng)c為f (x)在數(shù)域P中的根或零點(diǎn)。多項(xiàng)式7 多項(xiàng)式函數(shù)二、余數(shù)定理和綜合除法定理1(余數(shù)定理) 用一次多項(xiàng)式x-c去除多項(xiàng)式f (x)，所得的余式就是一個(gè)常數(shù)，即這個(gè)多項(xiàng)式在x=c時(shí)的值f (c)。問(wèn)題： 有沒(méi)有更簡(jiǎn)單的方法確定帶余除法 f (x)=q(x)(x-c)+r利用綜合除法求q(x)與r時(shí)應(yīng)注意：(1)多項(xiàng)式系數(shù)按降冪排列，有缺項(xiàng)必須補(bǔ)上零(2)除式x

12、+b應(yīng)變?yōu)閤-(-b)多項(xiàng)式7 多項(xiàng)式函數(shù)例 1 求用x+2除f (x)=x5+x3+2x2+8x-5的商和余式。 例 3 每個(gè)多項(xiàng)式f (x)都可以唯一表示為x-x0的方冪和，即 c0+c1(x-x0)+c2(x-x0)2+cn(x-xn)n 的形式，其中c0，c1，cn為常數(shù)。例 4 把f (x)=x5+x3+2x2+8x-5表示為x+2的方冪和。 例 2 設(shè)f (x)=x4+2x3-3x2+4x-5，求f (1+i) 。 多項(xiàng)式7 多項(xiàng)式函數(shù)定理2(因式定理) (x-c)是多項(xiàng)式f (x)的一個(gè)因式的充要條件是f (c)=0。例 5 當(dāng)a，b是什么數(shù)時(shí)，f (x)能被g(x)整除？ 其中

13、f (x)=x4-3x3+6x2+ax+b，g(x)=x2-1。 三、多項(xiàng)式的根定義3 若x-c是f (x)的k重因式，則稱(chēng)c是f (x)的一個(gè)k重根。當(dāng)k=1時(shí)，c稱(chēng)為f (x)的一個(gè)單根。多項(xiàng)式7 多項(xiàng)式函數(shù)定理3(根的個(gè)數(shù)定理) Px中的n次多項(xiàng)式(n 0)在數(shù)域P中的根至多有n個(gè)，重根按重?cái)?shù)計(jì)算。定理4 設(shè)f (x)，g(x)P x，它們的次數(shù)都不超過(guò)n。若在P中有n+1個(gè)不同的數(shù)使得f (x)與g(x)的值相等。問(wèn)題： 設(shè)a1，a2，an是P中n個(gè)不同的數(shù)，b1，b2，bn是P中n個(gè)任意的數(shù)，能否確定一個(gè)n-1次多項(xiàng)式f (x)，使得 f (ai)=bi，i=1，2，n多項(xiàng)式7 多項(xiàng)

14、式函數(shù)四、多項(xiàng)式相等與多項(xiàng)式函數(shù)相等的關(guān)系1、多項(xiàng)式相等，即 f (x)=g(x)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等。2、多項(xiàng)式函數(shù)相等，即 f (x)=g(x)cP有f (c)=g(c)。定理5 P x中兩個(gè)多項(xiàng)式f (x)和g(x)相等的充要條件是它們?cè)赑上定義的多項(xiàng)式函數(shù)相等。多項(xiàng)式8 復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式8 復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式問(wèn)題：對(duì)于P x中的多項(xiàng)式多項(xiàng)式f (x)，它在數(shù)域P上未必有根，但在復(fù)數(shù)域C上是否有根?定理1(代數(shù)基本定理) 每個(gè)次數(shù)1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中有一個(gè)根。定理2 每個(gè)次數(shù)1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中一定有一個(gè)一次因式。一、復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式多項(xiàng)式8 復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式定理3 任何次

15、數(shù)1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中有n個(gè)根(重根按重?cái)?shù)計(jì)算)。推論1 復(fù)數(shù)域上任何次數(shù)1的多項(xiàng)式都是可約的，即復(fù)數(shù)域上，不可約多項(xiàng)式只能是一次多項(xiàng)式。推論2 任何一個(gè)次數(shù)1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上都能分解為一次因式的乘積，在適當(dāng)排序后，這個(gè)分解是唯一的。多項(xiàng)式8 復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式一般的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上的根與系數(shù)的關(guān)系。設(shè) f(x)=a0 xn+a1xn-1+an-1x+an=a0(x-1)(x-2)(x-n)則 a1/a0=-(1+2+n) a2/a0=(12+13+1n+n-1n) an/a0=(-1)n12n例1 求一個(gè)首項(xiàng)系數(shù)為1的4次多項(xiàng)式，使它以1和4為單根，-2為2重根。多項(xiàng)式

16、8 復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式二、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式定理4 如果是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f (x)的一個(gè)復(fù)根，則的共軛復(fù)數(shù)也是f (x)的根，而且與有相同的重?cái)?shù)。定理5 任何次數(shù)1的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上都可唯一分解為一次因式與二次因式的乘積。推論3 Rx中不可約多項(xiàng)式除一次多項(xiàng)式外，只含有非實(shí)共軛復(fù)根的二次不可約多項(xiàng)式。多項(xiàng)式8 復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式推論4 實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式F(x)=a0(x-c1)l1(x-cs)ls(x2+p1x+q1)k1(x2+prx+qr)kr其中c1cs, p1pr, q1qr全為實(shí)數(shù)，l1ls, k1kr全為正整數(shù)，并且x2+pi+qi在實(shí)數(shù)域上是不可約的，即pi2

17、-4qi0例2 已知實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式x3+2x2+qx+r=0有一根是試求q，r，并求該方程的解。12i 例3 求多項(xiàng)式xn-1在復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的因式分解。多項(xiàng)式9 有理系數(shù)多項(xiàng)式9 有理系數(shù)多項(xiàng)式一、整系數(shù)多項(xiàng)式的可約性定義1(本原多項(xiàng)式) 若非零整系數(shù)多項(xiàng)式f (x)的系數(shù)互素，則稱(chēng)f (x)是一個(gè)本原多項(xiàng)式。定理1(高斯引理) 兩個(gè)本原多項(xiàng)式的乘積仍是本原多項(xiàng)式。定理2 一個(gè)非零整系數(shù)多項(xiàng)式f (x)在有理數(shù)域上可約的充要條件是它在整數(shù)環(huán)上可約。多項(xiàng)式9 有理系數(shù)多項(xiàng)式推論1 設(shè)f (x)，g(x)是整系數(shù)多項(xiàng)式，且g(x)是本原的，如果f (x)=g(x)h(x)，其中h(x)是有理系數(shù)

18、多項(xiàng)式，則h(x)一定是整系數(shù)多項(xiàng)式。例1 設(shè)f (x)，g(x)是整系數(shù)多項(xiàng)式，若f (x)=g(x)h(x)，則h(x)是否一定是整系數(shù)多項(xiàng)式。例2 設(shè)f (x)，g(x)是本原多項(xiàng)式，且g(x)整除f (x)，證明：f (x)除以g(x)的商也是本原多項(xiàng)式。多項(xiàng)式9 有理系數(shù)多項(xiàng)式問(wèn)題：有理數(shù)域Q上的不可約多項(xiàng)式有什么特征？定理3(Eisenstein定理) 設(shè)f (x)=anxn+an-1xn-1+a0是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，若存在素?cái)?shù)p使得1、p | an2、p | an-1，an-2，a03、p2 | a0則f (x)在有理數(shù)域上是不可約的。例3 證明多項(xiàng)式f (x)=xn+3在有理數(shù)域上是不可約的。多項(xiàng)式9 有理系數(shù)多項(xiàng)式例4 判斷多項(xiàng)式f (x)=x6-10 x3+2，g(x)=5x4-6x3+12x+6在有理數(shù)域上是否可約？例5 設(shè)f (x)是有理數(shù)域上的多項(xiàng)