第一章 高等代數(shù)多項式

1、高等代數(shù)高高 等等 代代 數(shù)數(shù)Higher Algebra湖南大學數(shù)學與計量經(jīng)濟學院湖南大學數(shù)學與計量經(jīng)濟學院多項式推薦教材：高等代數(shù)簡明教程(上、下冊) 藍以中著高等代數(shù)(上、下冊) 丘維聲著高等代數(shù)學(第2版) 姚慕生、吳泉水著推薦習題集：高等代數(shù)精選題解 楊子胥著高等代數(shù)中的典型問題與方法李志慧、李永明著高等代數(shù)題解精粹 錢吉林著多項式 第一章 多項式緒論與準備知識一、復一、復 數(shù)數(shù) 復數(shù)的概念復數(shù)的概念 復數(shù)的實部與虛部；模與幅角復數(shù)的實部與虛部；模與幅角 復數(shù)的三角表示，歐拉公式復數(shù)的三角表示，歐拉公式 代數(shù)基本定理代數(shù)基本定理 的根的根1nz準備知識二、 數(shù) 域 的 概 念 在有理

2、數(shù)范圍內不能進行因式分解，但在實域內就可以分解。2x2 在實數(shù)范圍內沒有根，但在復數(shù)域內就有一對共軛復根。2x10 1 1、數(shù)的認識過程、數(shù)的認識過程自然數(shù)自然數(shù)整數(shù)整數(shù)有理數(shù)有理數(shù)實數(shù)實數(shù)復數(shù)復數(shù)2 2、數(shù)的范圍對問題的影響、數(shù)的范圍對問題的影響 N Z Q R C 多項式1 數(shù)環(huán)和數(shù)域1 數(shù)環(huán)和數(shù)域數(shù)是數(shù)學中的一個基本概念，人們對數(shù)的認識經(jīng)歷了一個長期的發(fā)展過程，由自然數(shù)到整數(shù)、有理數(shù)，然后是實數(shù)到復數(shù)。數(shù)學中的許多問題都和數(shù)的范圍有關，數(shù)的范圍不同，對同一問題的回答可能也不相同。例如2x2 在實數(shù)范圍內沒有根，但在復數(shù)域內就有一對共軛復根。2x10 在有理數(shù)范圍內不能進行因式分解，但在實

3、域內就可以分解。多項式1 數(shù)環(huán)和數(shù)域我們通?？紤]的數(shù)的范圍主要包括全體實數(shù)、全體有理數(shù)以及全體復數(shù)等，它們具有一些不同的性質，但也有很多共同的性質，在代數(shù)中經(jīng)常將具有共同性質的對象統(tǒng)一進行討論。一個數(shù)集中，數(shù)的加、減、乘、除運算稱為數(shù)的代數(shù)運算。若數(shù)集P中任何兩個數(shù)做某一運算后的結果仍然在這個數(shù)集P中，則稱該數(shù)集P對這個運算是封閉的。a) 自然數(shù)集N對加、乘運算封閉，對減、除不封閉。b) 整數(shù)集Z對加、減、乘運算封閉，對除不封閉。c) 有理數(shù)集Q、實數(shù)集R、復數(shù)集C對加、減、乘、除 (除數(shù)不為0)四種運算都封閉。多項式1 數(shù)環(huán)和數(shù)域 根據(jù)數(shù)集對運算的封閉情況，可以得到兩類數(shù)集：數(shù)環(huán)和數(shù)域。一、

4、數(shù)環(huán)定義1：若P是由一些復數(shù)組成的非空集合，若數(shù)集P對加、減、乘三種運算都封閉，即對a，bP，總有a+b，a-b，abP，則稱數(shù)集P是一個數(shù)環(huán)。例如：整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實數(shù)集R、復數(shù)集C都是數(shù)環(huán)。例 1 除了以上數(shù)環(huán)外，是否還有其他數(shù)環(huán)？有沒有最小數(shù)環(huán)？例 2 一個數(shù)環(huán)是否一定包含0元？除零環(huán)外，是否還有只包含有限個元素的數(shù)環(huán)？多項式1 數(shù)環(huán)和數(shù)域例 3 證明P2ab 2 |a,bZ是包含2的最小數(shù)環(huán)。二、數(shù)域定義2：若P是由一些復數(shù)組成的集合，其中包含0和1，如果數(shù)集P對加、減、乘、除(除數(shù)不為0)四種運算都封閉，則稱數(shù)集P是一個數(shù)域。定義3：若P是一個數(shù)環(huán)，如果 數(shù)集P內含有一個非零數(shù)

5、 對a，bP，且b0，有a/b P，則稱數(shù)集P是一個數(shù)域。例如：有理數(shù)集Q、實數(shù)集R、復數(shù)集C都是數(shù)域。多項式1 數(shù)環(huán)和數(shù)域例 4 證明Q( 2)ab 2 |a,bQ是一個數(shù)域。例 5 設1Pab 2 |a,bQ2Pab 3|a,bQPab 2c 3d 6 |a,b,c,dQ證明P2，P是一個數(shù)域，而且P是包含P1和P2的最小數(shù)域。例 6 證明任何數(shù)域都包含有理數(shù)域Q。例 7 在Q與R之間是否還有別的數(shù)域?R與C之間呢？例 8 設F1和F2是兩個數(shù)域，證明： 1）F1F2是一個數(shù)域； 2）F1F2是數(shù)域的充分必要條件是F1F2或F2F1。多項式2 一元多項式的定義和運算2 一元多項式的定義和運

6、算一、一元多項式的定義定義1：設 x 是一個文字(或符號)，n 是一個非負整數(shù)，表達式其中a0，a1，an全屬于數(shù)域P，稱為系數(shù)在數(shù)域 P 中的一元多項式，或簡稱為數(shù)域 P 上的一元多項式。 定義1在以下兩方面推廣了中學的多項式定義：1) 這里的x不再局限為實數(shù)，而是任意的文字或符號。2) 多項式中的系數(shù)可以在任意數(shù)域中。常數(shù)項，或稱零次項稱為首項，其中首項系數(shù)an0niiinnnnxaaxaxaxa00111多項式2 一元多項式的定義和運算例如：32f(x)9x3x2x1是Q上的一元多項式。2f(x)x2x3是R上的一元多項式。2f(x)5xix3是C上的一元多項式。而3231x3x2x,2

7、x ,xx1都不是多項式。定義2：如果在多項式f (x)與g(x)中，除去系數(shù)為零的項外，同次項的系數(shù)相等，那么就稱多項式 f (x) 或 g(x) 相等，記為f (x) = g(x)多項式2 一元多項式的定義和運算定義3：設非負整數(shù) n 稱為多項式 f (x) 的次數(shù)，記為例如：2f(x)3x2x1f(x)3(f(x)2(f(x)0幾類特殊的多項式：零次多項式：次數(shù)為0的多項式，即非零常數(shù)。零多項式：系數(shù)全為0的多項式，即f (x)=0。對零多項式不定義次數(shù)，因此，在使用次數(shù)符號時，總假定f (x)0。首一多項式：首項系數(shù)為1的多項式。, 0,)(0111nnnnnaaxaxaxaxfnxf

8、)(多項式2 一元多項式的定義和運算二、多項式的運算定義4：設是數(shù)域P上次數(shù)分別為n和m的多項式(不妨假設mn)，則多項式f (x)和g(x)的和，差為：當m 1時，p(x)稱為f (x)的重因式。如果f (x)的標準分解式為：則p1(x)，p2(x)，ps(x)分別是f (x)的k1重，k2重， ，ks重因式。),()()()(2121xpxpxpaxfskskkn多項式6 重因式定義2 多項式f (x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的一階導數(shù)f (x)是比f (x)低一次的多項式 f (x)=annxn-1+an-1(n-1)xn-2+a1一階導數(shù)f (x)的導數(shù)稱為f (x)

9、的二階導數(shù)，記為f (x)。f (x)的導數(shù)稱為f (x)的三階導數(shù)，記為f (x)。f (x)的k階導數(shù)記為f (k)(x)。 一個n次多項式的導數(shù)是一個n-1次多項式，它的n階導數(shù)就是一個常數(shù)，它的n+1階導數(shù)就是零。多項式6 重因式 多項式的基本求導法則： 1) (f (x)+g(x) = f (x)+g (x) 2) (cf (x) = cf (x) 3) (f (x)g(x) = f (x)g(x)+f (x)g (x) 4) (f m(x) = mf m-1(x)f (x)定理1 若不可約多項式p(x)是f (x)的k重因式(k 1)，則p(x)是f (x)的k-1重因式。推論1

10、若不可約多項式p(x)是f (x)的k重因式(k 1)，則p(x)是f (x)，f (x)，f (k-1)(x)的因式，但不是f (k)(x)的因式。多項式6 重因式推論2 不可約多項式p(x)是f (x)的重因式的當且僅當p(x)是f (x)與f (x) 的公因式。推論3 多項式f (x)無重因式的充要條件是f (x)與f (x)互素。例 1 求多項式 有重因式的條件。 qpxxxf3)(例 2 用分離重因式方法求多項式在Q上的標準分解式。2653)(2345xxxxxxf多項式7 多項式函數(shù)7 多項式函數(shù)一、多項式函數(shù)的定義定義1 設f (x)P x，對任意的xP，作映射f： xf (x)

11、 P映射 f 確定了數(shù)域P上的一個函數(shù)f (x)，f (x)稱為P上的多項式函數(shù)。定義2 設f (x)P x，對任意的cP，數(shù) f (c)=ancn+an-1cn-1+a0稱為當x=c時多項式函數(shù)f (x)的值，若f (c)=0，則稱c為f (x)在數(shù)域P中的根或零點。多項式7 多項式函數(shù)二、余數(shù)定理和綜合除法定理1(余數(shù)定理) 用一次多項式x-c去除多項式f (x)，所得的余式就是一個常數(shù)，即這個多項式在x=c時的值f (c)。問題： 有沒有更簡單的方法確定帶余除法 f (x)=q(x)(x-c)+r利用綜合除法求q(x)與r時應注意：(1)多項式系數(shù)按降冪排列，有缺項必須補上零(2)除式x

12、+b應變?yōu)閤-(-b)多項式7 多項式函數(shù)例 1 求用x+2除f (x)=x5+x3+2x2+8x-5的商和余式。 例 3 每個多項式f (x)都可以唯一表示為x-x0的方冪和，即 c0+c1(x-x0)+c2(x-x0)2+cn(x-xn)n 的形式，其中c0，c1，cn為常數(shù)。例 4 把f (x)=x5+x3+2x2+8x-5表示為x+2的方冪和。 例 2 設f (x)=x4+2x3-3x2+4x-5，求f (1+i) 。 多項式7 多項式函數(shù)定理2(因式定理) (x-c)是多項式f (x)的一個因式的充要條件是f (c)=0。例 5 當a，b是什么數(shù)時，f (x)能被g(x)整除？ 其中

13、f (x)=x4-3x3+6x2+ax+b，g(x)=x2-1。 三、多項式的根定義3 若x-c是f (x)的k重因式，則稱c是f (x)的一個k重根。當k=1時，c稱為f (x)的一個單根。多項式7 多項式函數(shù)定理3(根的個數(shù)定理) Px中的n次多項式(n 0)在數(shù)域P中的根至多有n個，重根按重數(shù)計算。定理4 設f (x)，g(x)P x，它們的次數(shù)都不超過n。若在P中有n+1個不同的數(shù)使得f (x)與g(x)的值相等。問題： 設a1，a2，an是P中n個不同的數(shù)，b1，b2，bn是P中n個任意的數(shù)，能否確定一個n-1次多項式f (x)，使得 f (ai)=bi，i=1，2，n多項式7 多項

14、式函數(shù)四、多項式相等與多項式函數(shù)相等的關系1、多項式相等，即 f (x)=g(x)對應項的系數(shù)相等。2、多項式函數(shù)相等，即 f (x)=g(x)cP有f (c)=g(c)。定理5 P x中兩個多項式f (x)和g(x)相等的充要條件是它們在P上定義的多項式函數(shù)相等。多項式8 復系數(shù)與實系數(shù)多項式8 復系數(shù)與實系數(shù)多項式問題：對于P x中的多項式多項式f (x)，它在數(shù)域P上未必有根，但在復數(shù)域C上是否有根?定理1(代數(shù)基本定理) 每個次數(shù)1的復系數(shù)多項式在復數(shù)域中有一個根。定理2 每個次數(shù)1的復系數(shù)多項式在復數(shù)域中一定有一個一次因式。一、復系數(shù)多項式多項式8 復系數(shù)與實系數(shù)多項式定理3 任何次

15、數(shù)1的復系數(shù)多項式在復數(shù)域中有n個根(重根按重數(shù)計算)。推論1 復數(shù)域上任何次數(shù)1的多項式都是可約的，即復數(shù)域上，不可約多項式只能是一次多項式。推論2 任何一個次數(shù)1的復系數(shù)多項式在復數(shù)域上都能分解為一次因式的乘積，在適當排序后，這個分解是唯一的。多項式8 復系數(shù)與實系數(shù)多項式一般的復系數(shù)多項式在復數(shù)域上的根與系數(shù)的關系。設 f(x)=a0 xn+a1xn-1+an-1x+an=a0(x-1)(x-2)(x-n)則 a1/a0=-(1+2+n) a2/a0=(12+13+1n+n-1n) an/a0=(-1)n12n例1 求一個首項系數(shù)為1的4次多項式，使它以1和4為單根，-2為2重根。多項式

16、8 復系數(shù)與實系數(shù)多項式二、實系數(shù)多項式定理4 如果是實系數(shù)多項式f (x)的一個復根，則的共軛復數(shù)也是f (x)的根，而且與有相同的重數(shù)。定理5 任何次數(shù)1的實系數(shù)多項式在實數(shù)域上都可唯一分解為一次因式與二次因式的乘積。推論3 Rx中不可約多項式除一次多項式外，只含有非實共軛復根的二次不可約多項式。多項式8 復系數(shù)與實系數(shù)多項式推論4 實系數(shù)多項式在實數(shù)域上的標準分解式F(x)=a0(x-c1)l1(x-cs)ls(x2+p1x+q1)k1(x2+prx+qr)kr其中c1cs, p1pr, q1qr全為實數(shù)，l1ls, k1kr全為正整數(shù)，并且x2+pi+qi在實數(shù)域上是不可約的，即pi2

17、-4qi0例2 已知實系數(shù)多項式x3+2x2+qx+r=0有一根是試求q，r，并求該方程的解。12i 例3 求多項式xn-1在復數(shù)域和實數(shù)域上的因式分解。多項式9 有理系數(shù)多項式9 有理系數(shù)多項式一、整系數(shù)多項式的可約性定義1(本原多項式) 若非零整系數(shù)多項式f (x)的系數(shù)互素，則稱f (x)是一個本原多項式。定理1(高斯引理) 兩個本原多項式的乘積仍是本原多項式。定理2 一個非零整系數(shù)多項式f (x)在有理數(shù)域上可約的充要條件是它在整數(shù)環(huán)上可約。多項式9 有理系數(shù)多項式推論1 設f (x)，g(x)是整系數(shù)多項式，且g(x)是本原的，如果f (x)=g(x)h(x)，其中h(x)是有理系數(shù)

18、多項式，則h(x)一定是整系數(shù)多項式。例1 設f (x)，g(x)是整系數(shù)多項式，若f (x)=g(x)h(x)，則h(x)是否一定是整系數(shù)多項式。例2 設f (x)，g(x)是本原多項式，且g(x)整除f (x)，證明：f (x)除以g(x)的商也是本原多項式。多項式9 有理系數(shù)多項式問題：有理數(shù)域Q上的不可約多項式有什么特征？定理3(Eisenstein定理) 設f (x)=anxn+an-1xn-1+a0是一個整系數(shù)多項式，若存在素數(shù)p使得1、p | an2、p | an-1，an-2，a03、p2 | a0則f (x)在有理數(shù)域上是不可約的。例3 證明多項式f (x)=xn+3在有理數(shù)域上是不可約的。多項式9 有理系數(shù)多項式例4 判斷多項式f (x)=x6-10 x3+2，g(x)=5x4-6x3+12x+6在有理數(shù)域上是否可約？例5 設f (x)是有理數(shù)域上的多項