八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 培優(yōu)專題1勾股定理及應(yīng)用 北師大版

1、培優(yōu)專題1勾股定理及應(yīng)用 勾股定理是數(shù)學(xué)史上一顆璀璨的明珠，在西方數(shù)學(xué)史上稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理”數(shù)學(xué)家陳省身說過：“歐幾里德幾何的主要結(jié)論有兩個(gè)，一個(gè)是三角形內(nèi)角和定理，另一個(gè)就是勾股定理”數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議把它送入其他星球，作為地球人與其他星球人“交談的語言，用于探索宇宙的奧秘” 勾股定理是我們研究和解決幾何問題的重要理論依據(jù)之一，也是人們?cè)谏a(chǎn)實(shí)踐和生活中廣泛應(yīng)用的基本原理，許多求線段長(zhǎng)、角的大?。痪€段與線段，角與角，線段與角間的關(guān)系等問題，常常都用勾股定理或逆定理來解決因此，勾股定理及應(yīng)用是中考競(jìng)賽等考查的重要內(nèi)容例1. 在波平如鏡的湖面上，有一朵盛開的美麗的紅蓮，它高出水面3尺突然一

2、陣大風(fēng)吹過，紅蓮被吹至一邊，花朵剛好齊及水面，如果知道紅蓮移動(dòng)的水平距離為6尺，請(qǐng)問水深多少？ 練習(xí)11已知：如圖2-1，AD=4，CD=3，ADC=90°，AB=13，ACB=90°，求圖形中陰影部分的面積2已知：長(zhǎng)方形ABCD，ABCD，ADBC，AB=2，ADDC，長(zhǎng)方形ABCD的面積為S，沿長(zhǎng)方形的對(duì)稱軸折疊一次得到一個(gè)新長(zhǎng)方形，求這個(gè)新長(zhǎng)方形的對(duì)角線的長(zhǎng) 3若線段a、b、c能組成直角三角形，則它們的比值可以是（ ）A1：2：4 B1：3：5 C3：4：7 D5：12：13 例2 如圖2-2，把一張長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊起來，使其對(duì)角頂點(diǎn)A、C重合，若其長(zhǎng)BC為a，

3、寬AB為b，則折疊后不重合部分的面積是多少？ 2-2 練習(xí)21如圖2-3，把矩形ABCD沿直線BD向上折疊，使點(diǎn)C落在C的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分EBD的面積為_2如圖2-4，一架長(zhǎng)2.5m的梯子，斜放在墻上，梯子的底部B離墻腳O的距離是0.7m，當(dāng)梯子的頂部A向下滑0.4m到A時(shí)，梯子的底部向外移動(dòng)多少米？2-4 3如圖2-5，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3，BC=4，若將該矩形折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則折疊后痕跡EF的長(zhǎng)為（ ）A3.74 B3.75 C3.76 D3.77 例3 試判斷，三邊長(zhǎng)分別為2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n為正整數(shù)）的三角形是否是直角三角形

4、？ 分析 先確定最大邊，再利用勾股定理的判定定理判斷是否為直角三角形 練習(xí)3 1若ABC的三邊a、b、c滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，則ABC是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C銳角三角形 D鈍角三角形2如圖2-6，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且EC=BC，猜想AF與EF的位置關(guān)系，并說明理由 2-6 3ABC中的三邊分別是m2-1，2m，m2+1（m>1），那么（ ） AABC是直角三角形，且斜邊長(zhǎng)為m2+1 BABC是直角三角形，且斜邊長(zhǎng)為2m CABC是直角三角形，但斜邊長(zhǎng)由m的大小而定 DABC不是直角三角形 例4 已知：如圖2-7所

5、示，ABC中，D是AB的中點(diǎn)，若AC=12，BC=5，CD=65 求證：ABC是直角三角形 2-7 分析 欲證ABC是直角三角形，在已知兩邊AC、BC的情況下求邊AB的長(zhǎng)，比較困難；但注意到CD是邊AB的中線，我們延長(zhǎng)CD到E，使DE=CD，從而有BDEADC，這樣AC、BC、2CD就作為BCE的三邊，再用勾股定理的逆定理去判定 練習(xí)4 1已知a、b、c為ABC的三邊，且滿足a2c2-b2c2=a2-b2，試判斷ABC的形狀 先閱讀下列解題過程： 解：a2c2-b2c2=a4-b4， c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2） c2=a2+b2 ABC為直角三角形 問：（1）上述推理過程

6、，出現(xiàn)錯(cuò)誤的一步是_； （2）本題的正確結(jié)論是_2如圖2-8，ABC的三邊分別為AC=5，BC=12，AB=13，將ABC沿AD折疊，使AC落在AB上，求折痕AD的長(zhǎng)3如圖2-9，ABC中，ACB=90°，AC=BC，P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足PA=3，PB=1，PC=2，求BPC的度數(shù) 例5 如圖2-10，ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一點(diǎn)，且ADAC，求BD的長(zhǎng) 分析 若作AEBC于E，如圖2-11，利用勾股定理可求出AE=12，AD是RtADC的直角邊 AD=CD-AC，若設(shè)DE=x，借助于AD這個(gè)“橋”可以列出方程 解：作AEBC于E 2-10 AB=AC，A

7、EBC， BE=EC=BC=×32=16 在RtAEC中， AE2=AC2-CE2=202-162=144， AE=12 2-11 設(shè)DE=x， 則在RtADE中，AD2=AE2+DE2=144+x2， 在RtACD中，AD2=CD2-AC2=（16+x）2-202 144+x2=（16+x）2-202 解得x=9BD=BE-DE=16-9=7 練習(xí)5 1如圖2-12，ABC中，C=90°，M是BC的中點(diǎn)，MDAB于D求證：AD2=AC2+BD22-122如圖2-13，ABAD，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四邊形ABCD的面積2-133如圖2-14長(zhǎng)方體的

8、高為3cm，底面是正方形，邊長(zhǎng)為2cm，現(xiàn)有繩子從A出發(fā)，沿長(zhǎng)方形表面到達(dá)C處，問繩子最短是多少厘米？2-14答案:練習(xí)1124（提示：利用勾股定理即可求出）2長(zhǎng)方形的對(duì)稱軸有2條，要分別討論： （1）以A、B為對(duì)稱點(diǎn)（如圖） S=AB×BC，AB=2， BC=AD= 根據(jù)對(duì)稱性得DF=AB=1 由于D=90°，據(jù)勾股定理得： AF= （2）以A、D為對(duì)稱點(diǎn)（如圖） BF=BC=由B=90°，據(jù)勾股定理得： AF=3D練習(xí)21（提示：利用RtABE的勾股定理即可求出）20.8m 3B練習(xí)31B2AFEF（提示：連結(jié)AE，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，則DF=FC=，EC=，

9、在RtADF中，由勾股定理得： AF2=AD2+DF2=a2+（）2=a2同理：在RtECF中，EF2=（）2+（）2=a2，在RtABE中，BE=a，則AE2=a2+a2=a2 a2+a2=a2， AF2+EF2=AE2 AFE=90° AFEF3A（點(diǎn)撥：利用勾股定理的逆定理來判定）練習(xí)41（1）、 （2）ABC為直角三角形或等腰三角形2AC2+BC2=52+122=132=AB2， C=90° 將ABC沿AD折疊，使AC落在AB上，C的對(duì)稱點(diǎn)為E（如圖） CD=DE， AC=AE=5 則ACDAED 又BE=AB-AE=8 設(shè)CD為x，則x2+82=（12-x）2 解之得x= AD2=52+（）2 AD=3過點(diǎn)C作CECP，并截CE=CP=2，連結(jié)PE，BE（如圖） ACB=PCE=90°， ACB-PCB=PCE-PCB 即ACP=BCE PCAECB（SAS） BE=AP=3 在RtPCE中， PE2=PC2+CE2=8 又BP2=1，BE2=9， BE2=BP2+PE2 PBE是直角三角形，其中BPE=90° 在RtPCE中，PC=CE， CPE=CEP=45° BPC=CPE+BPE=45°+90°=135° 練習(xí)5 1連結(jié)AM M為CB的中點(diǎn)， CM=MB 又