高一數(shù)學(xué)函數(shù)的定義域與值域(講義)

1、高一數(shù)學(xué)函數(shù)的定義域與值域一、知識歸納：（一）函數(shù)的定義域與值域的定義：函數(shù)y=f(x中自變量x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值。函數(shù)值的集合f(xxA叫做函數(shù)的值域。（二）求函數(shù)的定義域一般有3類問題：1、已知解析式求使解析式有意義的x的集合常用依據(jù)如下：分式的分母不等于0； 偶次根式被開方式大于等于0； 對數(shù)式的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不等于1； 指數(shù)為0時，底數(shù)不等于02、復(fù)合函數(shù)的定義域問題主要依據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義，其包含兩類：已知fg(x的定義域為x（a,b）求f(x的定義域，方法是：利用a 求得 g(x 的值域，則 g(x 的值域即是 f(x 的定義域。

2、 已知f(x的定義域為x（a,b）求fg(x的定義域,方法是：由a 求得 x 的范圍，即為 fg(x 的定義域。 3、實際意義的函數(shù)的定義域，其定義域除函數(shù)有意義外，還要符合實際問題的要求。（三）確定函數(shù)的值域的原則1、當(dāng)數(shù)y=f(x用表格給出時，函數(shù)的值域是指表格中實數(shù)y的集合。2、當(dāng)函數(shù)y=f(x圖象給出時，函數(shù)的值域是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實數(shù)y的集合。3、當(dāng)函數(shù)y=f(x用解析式給出時，函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對應(yīng)法則唯一確定。常見函數(shù)的值域：函數(shù)y=kx+by=ax2+bx+cy=axy=logax值域Ra>0a<0y|yR且y0y|y>0R4、當(dāng)函數(shù)由實

3、際問題給出時，函數(shù)的值域由問題的實際意義確定。（四）求函數(shù)值域的方法：1、觀察法，2、配方法，3、判別式法，4、反函數(shù)法，5、換元法，6、圖象法等二、例題講解：【例1】求下列函數(shù)的定義域（1） （2）(3y=lg(ax-kbx (a,b>0且a,b1，kR解析 （1）依題有 函數(shù)的定義域為(2依題意有 函數(shù)的定義域為（3）要使函數(shù)有意義，則ax-kbx>0，即當(dāng)k0時，定義域為R當(dāng)k>0時，（）若a>b>0,則 定義域為x|(若0 ，則 ， 定義域為 x| (若a=b>0，則當(dāng)0 時定義域為 R ；當(dāng) k 1 時，定義域為空集 評析把求定義域的問題等價轉(zhuǎn)化為

4、關(guān)于x的不等式（組）的求解問題，其關(guān)鍵是列全限制條件(組?！纠?】設(shè)y=f(x的定義域為0，2，求（1）f(x2+x； (2f(|2x-1|； (3f(x+a-f(x-a (a>0的定義域分析：根據(jù)若f(x的定義域為a,b,則fg(x的定義域為ag(xb的解集，來解相應(yīng)的不等式（或不等式組）解：（1）由0x2+x2得 定義域為-2,-10,1(2由2x-12，得 -22x-12 所以定義域為（3）由 得又因a0， 若2-aa，即0a1時，定義域為x|ax2-a若2-aa，即a1時，x，此時函數(shù)不存在變式:已知函數(shù)f(x+1的定義域是0，1，求函數(shù)f(x的定義域。 1，2【例3】求下列函數(shù)

5、的值域（1） （2） （3）（分析）（1）可分離常數(shù)后再根據(jù)定義域求值域，也可反解x求值域（2）常數(shù)后再利用配方法求解，也可采用判別式法（3）可以用換元法或者單調(diào)性法解：（1）方法一：分離常數(shù)法 由，得函數(shù)的值域為（-，2）（2，+）方法二：反函數(shù)法由得，整理得：（y-2）x=3y+1，若y-2=0，有3y+1=0 ，與y-2=0矛盾若y-20，有，y2 函數(shù)的值域為y| y2(2 方法一：配方法 而 函數(shù)的值域為方法二：判別式法變形得（y-1）x2-(y-1x+y-3=0當(dāng)y=1時，此方程無解當(dāng)y1時，xR =（y-1）24(y-1(y-3 0，解得 1y又y1， ， 函數(shù)的值域為（3）方法

6、一：換元法令，則t0且 函數(shù)的值域為方法二：單調(diào)性法函數(shù)的定義域在上均是增函數(shù)故在上是增函數(shù)函數(shù)的值域為變式1：已知函數(shù)f(x的的值域是，求的值域。解：, , 令, 則，,函數(shù)y=F(t在區(qū)間上遞增函數(shù)的值域為變式2：已知，求的值域【例4】（1）求 的值域。（2）求函數(shù)的值域。（分析）（1）分段函數(shù)的值域的求法從局部研究，把握局部和整體的關(guān)系（2）屬復(fù)合函數(shù)y=fg(x的值域問題，先由函數(shù)定義域求出u=g(x的值域，再在此值域上求出y=f(u的值域解：（1）若x1，則x-10,0<3x-11，有-2<3x-1-2-1，若x>1，則1-x<0, 0<31-x<

7、1， 有-2<31-x-2<-1,綜上有：y|-2 -1. （2）函數(shù)的定義域為R設(shè)u=x2-4x+5=(x-22+1 則當(dāng)xR時，u1,+，又是減函數(shù)， 函數(shù)的值域是（-，0點(diǎn)評：求復(fù)合函數(shù)值域的一般步驟：（1） 正確分析函數(shù)的復(fù)合過程，抓住中間變量（2） 由x 的取值范圍確定中間變量u=g(x的值域，并逐層確定（3） 最后確定原函數(shù)的值域，整個過程是由內(nèi)向外逐層解脫。 變式：函數(shù)的值域 （-，0【例5】（1）已知函數(shù)的值域是R，求實數(shù)a的取值范圍（2）若函數(shù)，當(dāng)x(-,2時有意義，求實數(shù)a的取值范圍（3）函數(shù)的定義域和值域都是1,b (b>1,求b的值解：（1）只要u=ax2+(2a+1x+3能取到（0，+）上的所有實數(shù)，則f(x的值域為R，當(dāng)a=0時 u=x+3能取到（0，+）上的所有實數(shù)。當(dāng)a0時應(yīng)有解得(2由題意得，當(dāng)x(-，2時，1+2x+a4x>0,x(-，2時，。在（-，2）上是增函數(shù)。最大值是 （3）在1，b上是增函數(shù)，f(x在1，b上的值域是1,f(b,由題意知f(x在1，b上的值域是1，b，f(b=b，即解得b=1(舍去或