費馬點及其在中考中的應用(共4頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上費馬點及其在中考中的應用一、費馬點的由來 費馬(Pierre de Fermat，16011665)是法國數(shù)學家、物理學家費馬一生從未受過專門的數(shù)學教育，數(shù)學研究也不過是業(yè)余愛好 然而，在17世紀的法國還找不到哪位數(shù)學家可以與之匹敵他是解析幾何的發(fā)明者之一；概率論的主要創(chuàng)始人；以及獨承17世紀數(shù)論天地的人 一代數(shù)學大師費馬堪稱是17世紀法國最偉大的數(shù)學家 尤其他提出的費馬大定理更是困惑了世間智者358年費馬曾提出關于三角形的一個有趣問題：在ABC內(nèi)求一點P，使 PA+PB+PC之值為最小，人們稱這個點為“費馬點” 二、探索費馬點 1 當三角形有一個內(nèi)角大于或等于120

2、°的時候，則費馬點就是這個內(nèi)角的頂點 下面來驗證這個結(jié)論： 如圖1，對三角形內(nèi)任意一點P，延長BA至點C，使得AC=AC，作CAP=CAP，并且使得AP=AP 即把APC以A為中心做旋轉(zhuǎn)變換 則APCAPC， BAC120°，PAP60° 在等腰三角形PAP中，APPP， PA+PB+PCPP+PB+ PC>BC=AB+AC所以A是費馬點                   圖1  

3、;                                   圖22 如果三個內(nèi)角都在120°以內(nèi)，那么，費馬點就是三角形內(nèi)與三角形三頂點的連線兩兩夾角為120°的點 如圖2，以B點為中心，將APB旋轉(zhuǎn)60°到ABP 因

4、為旋轉(zhuǎn)60°，且PB=PB，所以PPB為正三角形 因此，PA+PB+PC=PA+PP+PC 由此可知當A，P，P，C四點共線時，PA+PB+PC=PA+PP+PC為最小 當A，P，P共線時，BPP=60°，APB=APB=120° 同理，若P，P，C共線時，則BPP=60°， BPC=120° 所以點P為滿足APB=BPC=CPA=120°的點  三、費馬點的簡單應用 近幾年，在全國各地的中考中，時?？梢钥匆娰M馬點的影子 例1(2009浙江湖州-25) 若P為ABC所在平面上一點，且APB=BPC=CPA=120°

5、，則點P叫做ABC的費馬點 (1)若點P為銳角ABC的費馬點，且ABC=60°，PA=3，PC=4，則PB的值為_； (2)如圖3，在銳角ABC外側(cè)作等邊ACB，連結(jié)BB求證：BB過ABC的費馬點P，且BB=PA+PB+PC  解：(1)PBA+PBC=PBC+PCB=60°，PBA=PCB 又APB=BPC=120°， PBAPCB，則PB2=PA×PC=12， 即PB=2 (2)證明：在BB上取點P，使BPC=120°，連結(jié)AP，再在PB上截取PE=PC，連結(jié)CE PC=CE，AC=CB，PCA=ECB， ACPBCE APC=B

6、EC=120°，PA=EB APB=APC=BPC=120°， P為ABC的費馬點，且BB=EB+PB+PE=PA+PB+PC 例2 (2009北京) 如圖，在平面直角坐標系xOy中，ABC三個點的坐標分別為A(-6，0)，B(6，0)， C(0，4)，延長AC到點D，使CD=AC，過點D作DEAB，交BC的延長線于點E (1)求D點的坐標； (2)作C點關于直線DE的對稱點F，分別連結(jié)DF，EF，若過B點的直線y=kx+b將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，試確定此直線的解析式； (3)設G為y軸上一點，點P從直線y=kx+b與y軸的交點出發(fā)，先沿y軸到達G點，再沿

7、GA到達A點，若P點在y軸上運動的速度是它在直線GA上運動速度的2倍，試確定G點的位置，使P點按照上述要求到達A點所用的時間最短(要求：簡述確定G點位置的方法，但不要求證明)  【析】本題第三問要求：簡述確定G點位置的方法，但不要求證明如果不知原理，比較難找，用常規(guī)數(shù)學的方法，會涉及到一元二次方程的判別式的問題，并不容易想到而用費馬點的知識就能輕松找出這個G點 由于直線y=kx+b與y軸的交點坐標在第二問當中可求出M(0，6)，所以，本題第三問便可以轉(zhuǎn)化為：AOOM于點O，AO=6，MO=6，G點從M出發(fā)，向O點運動到達G點后，再沿GA到達A點若G點在MO上運動的速度是它在GA上運動

8、速度的2倍，試確定G點的位置(如圖5，G點按照上述要求到達A點所用的時間為t) 解法一： 方程解法 設GO=x，則MG=6-x，AG=， 則t=， 移項平方得：3x2+(12-4t)x +36+24t-4t2=0， 方程有解， =(12-4t)2-12(36+24t-4t2)0  解得t6， 將t=6代回方程，求出x=2時，t最小  解法二：費馬點解法 如圖6，要使MG+AG最小，即使MG+2AG最小 作A關于MO的對稱點A'， 則MG+2AG=MG+AG+A'G， 即MG+AG+A'G最小故G為AA'M的費爾馬點作GAO=30°，交MO于G點，則AGM=A'GM=AG A'=120°，故G點為所求 OG=2 由此利用費馬點的解法可以看出： 當動點G在OM上的運動速度是在AG上的2倍的時候，動點的位置與MO的長度無關，與AO的長度有關，GO長是AO長的倍2009北京中考25題最后一問不需證明其實證明也很簡單?。▋H供參考）其中為與軸的交點，由前兩