平面向量的內(nèi)積教案分享

1、文檔供參考，可復(fù)制、編制，期待您的好評與關(guān)注！ 平面向量的內(nèi)積【教學(xué)目標(biāo)】知識目標(biāo)：（1）了解平面向量內(nèi)積的概念及其幾何意義.（2）了解平面向量內(nèi)積的計(jì)算公式.為利用向量的內(nèi)積研究有關(guān)問題奠定基礎(chǔ).能力目標(biāo)：通過實(shí)例引出向量內(nèi)積的定義,培養(yǎng)學(xué)生觀察和歸納的能力【教學(xué)重點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的概念及計(jì)算公式. 【教學(xué)難點(diǎn)】數(shù)量積的概念及利用數(shù)量積來計(jì)算兩個(gè)非零向量的夾角【教學(xué)設(shè)計(jì)】教材從某人拉小車做功出發(fā)，引入兩個(gè)向量內(nèi)積的概念需要強(qiáng)調(diào)力與位移都是向量，而功是數(shù)量因此，向量的內(nèi)積又叫做數(shù)量積在講述向量內(nèi)積時(shí)要注意：（1）向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量的夾角余弦的乘積.

2、其符號是由夾角決定；（2）向量數(shù)量積的正確書寫方法是用實(shí)心圓點(diǎn)連接兩個(gè)向量.教材中利用定義得到內(nèi)積的性質(zhì)后面的學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常遇到，其中：（1）當(dāng)<a,b>0時(shí)，a·b|a|b|；當(dāng)<a,b>時(shí)，a·b|a|b|可以記憶為：兩個(gè)共線向量，方向相同時(shí)內(nèi)積為這兩個(gè)向量模的積；方向相反時(shí)內(nèi)積為這兩個(gè)向量模的積的相反數(shù)（2）|a|顯示出向量與向量的模的關(guān)系，是得到利用向量的坐標(biāo)計(jì)算向量模的公式的基礎(chǔ)；（3）cos<a,b>，是得到利用兩個(gè)向量的坐標(biāo)計(jì)算兩個(gè)向量所成角的公式的基礎(chǔ)；（4）“a·b0ab”經(jīng)常用來研究向量垂直問題，是推出兩個(gè)向量

3、內(nèi)積坐標(biāo)表示的重要基礎(chǔ) 【教學(xué)備品】教學(xué)課件【課時(shí)安排】2課時(shí)(80分鐘)【教學(xué)過程】*揭示課題7.3 平面向量的內(nèi)積*創(chuàng)設(shè)情境 興趣導(dǎo)入Fs圖721O 如圖721所示，水平地面上有一輛車，某人用100 N的力，朝著與水平線成角的方向拉小車，使小車前進(jìn)了100 m那么，這個(gè)人做了多少功？動(dòng)腦思考 探索新知【新知識】我們知道，這個(gè)人做功等于力與在力的方向上移動(dòng)的距離的乘積如圖722所示，設(shè)水平方向的單位向量為i，垂直方向的單位向量為j，則i + y j ，即力F是水平方向的力與垂直方向的力的和，垂直方向上沒有產(chǎn)生位移，沒有做功，水平方向上產(chǎn)生的位移為s，即WFcos·s100×

4、;·10500 （J）OxijF(x,y)yBAO圖723ab這里，力F與位移s都是向量，而功W是一個(gè)數(shù)量，它等于由兩個(gè)向量F，s的模及它們的夾角的余弦的乘積，W叫做向量F與向量s的內(nèi)積,它是一個(gè)數(shù)量，又叫做數(shù)量積如圖723，設(shè)有兩個(gè)非零向量a, b，作a, b,由射線OA與OB所形成的角叫做向量a與向量b的夾角，記作<a,b>兩個(gè)向量a,b的模與它們的夾角的余弦之積叫做向量a與向量b的內(nèi)積，記作a·b, 即 a·ba|b|cos<a,b> (7.10)上面的問題中，人所做的功可以記作WF·s.由內(nèi)積的定義可知a·00,

5、 0·a0由內(nèi)積的定義可以得到下面幾個(gè)重要結(jié)果：（1） 當(dāng)<a,b>0時(shí)，a·b|a|b|；當(dāng)<a,b>時(shí)，a·b|a|b|.（2） cos<a,b>.（3） 當(dāng)ba時(shí)，有<a,a>0，所以a·a|a|a|a|2，即|a|.（4） 當(dāng)時(shí)，ab，因此，a·b因此對非零向量a，b，有a·b0ab.可以驗(yàn)證，向量的內(nèi)積滿足下面的運(yùn)算律：（1） a·bb·a（2） ()·b(a·b)a·(b)（3） (ab)·ca·cb

6、83;c注意：一般地，向量的內(nèi)積不滿足結(jié)合律，即a·(b·c)（a·b）·c.請結(jié)合實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證.*鞏固知識 典型例題例1 已知|a|3,|b|2, <a,b>,求a·b解 a·b|a|b| cos<a,b> 3×2×cos3例2 已知|a|b|,a·b,求<a,b>解 cos<a,b>.由于 0<a,b>，所以 <a,b>*理論升華 整體建構(gòu)思考并回答下面的問題：平面向量內(nèi)積的概念、幾何意義?結(jié)論：兩個(gè)向量a,b的模與它們的夾角的余

7、弦之積叫做向量a與向量b的內(nèi)積，記作a·b, 即 a·ba|b|cos<a, b> (7.10)a·b的幾何意義就是向量a的模與向量b在向量a上的投影的乘積知識 典型例題例3 求下列向量的內(nèi)積：（1） a (2,3), b(1,3)；運(yùn)用知識 強(qiáng)化練習(xí) 1. 已知|a|7，|b|4，a和b的夾角為，求a·b2. 已知a·a9,求|a|3. 已知|a|2,|b|3, <a,b>，求(2ab)·b動(dòng)腦思考 探索新知設(shè)平面向量a(x1,y1),b(x2,y2)，i，j分別為x軸，y軸上的單位向量，由于ij，故i

8、83;j 0，又| i |j|1，所以a·b(x1 iy1j)· (x2 iy2j) x1 x2 i i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j j x1 x2 |j|2 y1 y2 |j|2 x1 x2 y1 y2這就是說，兩個(gè)向量的內(nèi)積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)乘積的和，即 a·b x1 x2 y1 y2 (7.11)利用公式(711)可以計(jì)算向量的模設(shè)a(x,y)，則，即 (7.12)由平面向量內(nèi)積的定義可以得到，當(dāng)a、b是非零向量時(shí)， cos<a,b>. (7.13) 利用公式(7.13)可以方便地求出兩個(gè)向量的夾角.由于aba·

9、;b0，由公式(7.11)可知a·b0 x1 x2 y1 y20因此ab x1 x2 y1 y20 (7.14)利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐標(biāo)來研究向量垂直的問題*鞏固知識 典型例題例3 求下列向量的內(nèi)積：（2） a (2,3), b(1,3)；（3） a (2, 1), b(1,2)；（4） a (4,2), b(2, 3)解 (1) a·b2×1(3)×37；(2) a·b2×1(1)×20；(3) a·b2×(2)2×(3)14例4 已知a(1,2),b(3,1).求a

10、83;b, |a|,|b|, <a,b>解 a·b(1)( 3)2×15；|a|；|b|；cos<a,b>，所以 <a,b>例5 判斷下列各組向量是否互相垂直：(1) a(2, 3),b(6, 4)；(2) a(0, 1),b(1, 2)解 (1) 因?yàn)閍·b(2)×63×40，所以ab(2) 因?yàn)閍·b0×1(1)×（2)2，所以a與b不垂直運(yùn)用知識 強(qiáng)化練習(xí) 1 已知a(5, 4)，b(2,3)，求a·b2 已知a(1,)，b(0, )，求<a,b>3 已知a(2, 3)，b(3,4)，c(1,3),求a·(bc)4. 判斷下列各組向量是否互相垂直： (1) a(2, 3)，b(3, 2)； (2) a(2,0)，b(0, 3)； (3) a(2,1)，b(3,4)5. 求下列向量的模：a(2, 4)，b(3, 2)； (2) a(2,1)，b(4, 3)；歸納小結(jié) 強(qiáng)化思想本次課學(xué)了哪些內(nèi)容？重點(diǎn)和難點(diǎn)各是什么？自我反