角平分線（二）教學(xué)設(shè)計(jì)

1、第一章 證明（二）角平分線（二） 銀川十八中郭國(guó)平一、學(xué)生知識(shí)狀況分析學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：通過(guò)上節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)于角平分線性質(zhì)定理和逆定理均有一個(gè)很深的了解和理解，在此基礎(chǔ)上本節(jié)主要是通過(guò)例題來(lái)鞏固定理和逆定理的應(yīng)用，提高學(xué)生證明推理能力。二、教學(xué)任務(wù)分析本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：1知識(shí)目標(biāo)：（1）證明與角的平分線的性質(zhì)定理和判定定理相關(guān)的結(jié)論（2）角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的靈活運(yùn)用2能力目標(biāo)：（1）進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力（2）培養(yǎng)學(xué)生將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言的能力（3）提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決問(wèn)題的能力3情感與價(jià)值觀要求能積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲

2、在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心4教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線的性質(zhì)綜合運(yùn)用角平分線的判定和性質(zhì)定理，解決幾何中的問(wèn)題難點(diǎn)角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的綜合應(yīng)用三、教學(xué)過(guò)程分析本節(jié)課設(shè)計(jì)了五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：設(shè)置情境問(wèn)題，搭建探究平臺(tái)；第二環(huán)節(jié)：展示思維過(guò)程，構(gòu)建探究平臺(tái)；第三環(huán)節(jié)：例題講解；第四環(huán)節(jié)：課時(shí)小結(jié);第五環(huán)節(jié)：課后作業(yè)。第一環(huán)節(jié)：設(shè)置情境問(wèn)題，搭建探究平臺(tái)問(wèn)題l 習(xí)題18的第1題作三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么?能證明自己發(fā)現(xiàn)的結(jié)論一定正確嗎？于是，首先證明“三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線交于一點(diǎn)” 當(dāng)然學(xué)生可能會(huì)提到折紙證明、軟件演

3、示等方式證明，但最終，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行邏輯上的證明。第二環(huán)節(jié)：展示思維過(guò)程，構(gòu)建探究平臺(tái)已知：如圖，設(shè)ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P，證明：P點(diǎn)在BAC的角平分線上證明：過(guò)P點(diǎn)作PDAB，PFAC，PEBC，其中D、E、F是垂足BM是ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等)同理：PE=PFPD=PF點(diǎn)P在BAC的平分線上(在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上)ABC的三條角平分線相交于點(diǎn)P在證明過(guò)程中，我們除證明了三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)外，還有什么“附帶”的成果呢?（PD=PE=PF，即這個(gè)交點(diǎn)到三角形三邊的距離

4、相等）于是我們得出了有關(guān)三角形的三條角平分線的結(jié)論，即定理三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等下面我通過(guò)列表來(lái)比較三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的性質(zhì)定理三邊垂直平分線三條角平分線三角形銳角三角形交于三角形內(nèi)一點(diǎn)交于三角形內(nèi)一點(diǎn)鈍角三角形交于三角形外一點(diǎn)直角三角形交于斜邊的中點(diǎn)交點(diǎn)性質(zhì)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等到三角形三邊的距離相等問(wèn)題2如圖：直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有幾處？你如何發(fā)現(xiàn)的?要求學(xué)生思考、交流。實(shí)況如下：生有一處在三條公路的交點(diǎn)A、B、C組成的ABC三條角平分線的交點(diǎn)

5、處因?yàn)槿切稳龡l角平分線交于一點(diǎn)，且這一點(diǎn)到三邊的距離相等而現(xiàn)在要建的貨物中轉(zhuǎn)站要求它到三條公路的距離相等這一點(diǎn)剛好符合生我找到四處(同學(xué)們很吃驚)除了剛才同學(xué)找到的三角形ABC內(nèi)部的一點(diǎn)外，我認(rèn)為在三角形外部還有三點(diǎn)作ACB、ABC外角的平分線交于點(diǎn)P1(如下圖所示)，我們利用角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，可知點(diǎn)P1在CAB的角平分線上，且到l1、l2、l3的距離相等同理還有BAC、BCA的外角的角平分線的交點(diǎn)P3；因此滿足條件共4個(gè)，分別是P、P1、P2、P3教師講評(píng)。第三環(huán)節(jié)：例題講解 例1如圖，在ABC中AC=BC，C=90°，AD是ABC的角平分線，DEAB，垂足為E(1)

6、已知CD=4 cm，求AC的長(zhǎng)；(2)求證：AB=AC+CD分析：本例需要運(yùn)用前面所學(xué)的多個(gè)定理，而且將計(jì)算和證明融合在一起，目的是使學(xué)生進(jìn)一步理解、掌握這些知識(shí)和方法，并能綜合運(yùn)用它們解決問(wèn)題第(1)問(wèn)中，求AC的長(zhǎng)，需求出BC的長(zhǎng)，而B(niǎo)C=CD+DB，CD=4 cIn，而B(niǎo)D在等腰直角三角形DBE中，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，DE=CD=4cm，再根據(jù)勾股定理便可求出DB的長(zhǎng)第(2)問(wèn)中，求證AB=AC+CD這是我們第一次遇到這種形式的證明，利用轉(zhuǎn)化的思想AB=AE+BE，所以需證AC=AE，CD=BE(1)解：AD是ABC的角平分線，C=90°，DEABDE=CD=4cm(角平分線上

7、的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等)AC=BC B=BAC(等邊對(duì)等角)C=90°，B=×90°=45°BDE=90°45°45°BE=DE(等角對(duì)等邊)在等腰直角三角形BDE中BD=2DE2.=4 2 cm(勾股定理)，AC=BC=CD+BD=(4+42)cm(2)證明：由(1)的求解過(guò)程可知，RtACDRtAED(HL定理)AC=AEBE=DE=CD，AB=AE+BE=AC+CD例2已知：如圖，P是么AOB平分線上的一點(diǎn)，PCOA，PDOB，垂足分別為C、D求證：(1)OC=OD；(2)OP是CD的垂直平分線證明：(1)P是AOB角平分線上的一點(diǎn)，PCOA，PDOB，PC=PD(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)在RtOPC和RtOPD中，OP=OP，PC=PD，RtOPCRtOPD(HL定理)OC=OD(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)(2)又OP是AOB的角平分線，OP是CD的垂直平分線(等腰三角形“三線合一”定理)思考：圖中還有哪些相等的線段和角呢?第四環(huán)節(jié)：課時(shí)小結(jié)本節(jié)課我們利用角平分線的性質(zhì)和判定定理證明了三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，且這一點(diǎn)到三角形各邊的距離相等并綜合運(yùn)用我們前面學(xué)過(guò)的性質(zhì)定理等解決了幾何中的計(jì)算和證明