高中數(shù)學(xué)橢圓的經(jīng)典知識總結(jié)(共8頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高中數(shù)學(xué)橢圓的經(jīng)典知識總結(jié)橢圓知識點(diǎn)總結(jié)1. 橢圓的定義：1,2（1）橢圓：焦點(diǎn)在軸上時(shí)（）（參數(shù)方程，其中為參數(shù)），焦點(diǎn)在軸上時(shí)1（）。方程表示橢圓的充要條件是什么？（ABC0，且A，B，C同號，AB）。2. 橢圓的幾何性質(zhì)：（1）橢圓（以（）為例）：范圍：；焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)；對稱性：兩條對稱軸，一個(gè)對稱中心（0,0），四個(gè)頂點(diǎn)，其中長軸長為2，短軸長為2；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線； 離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。通徑2.點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系：（1）點(diǎn)在橢圓外；（2）點(diǎn)在橢圓上1；（3）點(diǎn)在橢圓內(nèi)3直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：（1）相交：直線與橢圓相交；（2）相切

2、：直線與橢圓相切； （3）相離：直線與橢圓相離； 如:直線ykx1=0與橢圓恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是_（答：1，5）（5，+）；4、焦半徑（圓錐曲線上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離）的計(jì)算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，即焦半徑，其中表示P到與F所對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離。如（1）已知橢圓上一點(diǎn)P到橢圓左焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為_（答：10/3）；（2）橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn)M，使 之值最小，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_（答：）；5、焦點(diǎn)三角形（橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形）問題：，當(dāng)即為短軸端點(diǎn)時(shí)，的最大值為bc；6、弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩

3、點(diǎn)A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則，若弦AB所在直線方程設(shè)為，則。特別地，焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦的弦長的計(jì)算，一般不用弦長公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。7、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題：遇到中點(diǎn)弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解。在橢圓中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=；如（1）如果橢圓弦被點(diǎn)A（4，2）平分，那么這條弦所在的直線方程是 （答：）；（2）已知直線y=x+1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線L：x2y=0上，則此橢圓的離心率為_（答：）；（3）試確定m的取值范圍，使得橢圓上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱（答：

4、）； 特別提醒：因?yàn)槭侵本€與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、對稱問題時(shí)，務(wù)必別忘了檢驗(yàn)！ 橢圓知識點(diǎn)1如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？ 任何橢圓都有一個(gè)對稱中心，兩條對稱軸。當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的對稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸，橢圓的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。此時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。確定一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個(gè)條件：兩個(gè)定形條件；一個(gè)定位條件焦點(diǎn)坐標(biāo)，由焦點(diǎn)坐標(biāo)的形式確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型。 2橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：，且?？山柚覉D理解

5、記憶： 顯然：恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。3如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)位置橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看，的分母的大小，哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上。 4方程是表示橢圓的條件方程可化為，即，所以只有A、B、C同號，且AB時(shí)，方程表示橢圓。當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上；當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上。5求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法： 待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由已知條件判斷出動點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6

6、共焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異共焦點(diǎn)，則c相同。與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為，此類問題常用待定系數(shù)法求解。7判斷曲線關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)對稱的依據(jù)： 若把曲線方程中的換成，方程不變，則曲線關(guān)于軸對稱； 若把曲線方程中的換成，方程不變，則曲線關(guān)于軸對稱； 若把曲線方程中的、同時(shí)換成、，方程不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱。8如何求解與焦點(diǎn)三角形PF1F2（P為橢圓上的點(diǎn)）有關(guān)的計(jì)算問題？ 思路分析：與焦點(diǎn)三角形PF1F2有關(guān)的計(jì)算問題時(shí)，?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算解題。將有關(guān)線段，有關(guān)角 ()結(jié)合起來，建立、之間的關(guān)系. 9如何計(jì)算橢圓的扁圓程度與離心

7、率的關(guān)系？ 長軸與短軸的長短關(guān)系決定橢圓形狀的變化。離心率，因?yàn)椋帽硎緸?。顯然：當(dāng)越小時(shí)，越大，橢圓形狀越扁；當(dāng)越大，越小，橢圓形狀越趨近于圓。橢 圓題型1:橢圓定義的運(yùn)用例1、已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)若，則_。例2、橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺球盤，點(diǎn)A、B是它的焦點(diǎn)，長軸長為2a，焦距為2c，靜放在點(diǎn)A的小球（小球的半徑不計(jì)），從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的路程是 例3、如果方程表示焦點(diǎn)在x軸的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是_.例4、已知為橢圓上

8、的一點(diǎn)，分別為圓和圓上的點(diǎn)，則的最小值為 題型2： 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 例1、求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. (1) 經(jīng)過兩點(diǎn)、； (2)經(jīng)過點(diǎn)(2，3)且與橢圓具有共同的焦點(diǎn). （3）一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長軸上較近的端點(diǎn)距離為4.題型3:求橢圓的離心率（或范圍）例1、中，若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則橢圓的離心率為 .例2、過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)作橢圓長軸的垂線交橢圓于P，若 為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為 題型4:橢圓的其他幾何性質(zhì)的運(yùn)用（范圍、對稱性等）例1、已知實(shí)數(shù)滿足,則的范圍為 例2、已知P是橢圓上一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的最大值與最小值例3、已知點(diǎn)是橢圓（

9、）上兩點(diǎn),且,則= 例4、如上圖，把橢圓的長軸分成8等份，過每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則_題型5：焦點(diǎn)三角形問題例1、已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，p為橢圓上的一點(diǎn)，已知為一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且,求的值；例2、已知為橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)，在C上滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 例3、若為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，p為橢圓上的一點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為 例4、已知橢圓的焦點(diǎn)是,且經(jīng)過點(diǎn)（1，） 求橢圓的方程; 設(shè)點(diǎn)P在橢圓上,且,求cos.題型6: 三角代換的應(yīng)用例1、橢圓上的點(diǎn)到直線l:的距離的最小值為_例2、橢圓的內(nèi)接矩形的面積的最大值為 題型7：直線與橢圓的位置關(guān)系的判

10、斷例1、當(dāng)為何值時(shí)，直線與橢圓相交？相切？相離？例2、若直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍； 題型8：弦長問題例3求直線被橢圓所截得的弦長. 例4、已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2，若過點(diǎn)P（0，-2）及F1的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，求ABF2的面積； 題型9：中點(diǎn)弦問題例5、求以橢圓內(nèi)的點(diǎn)A（2，-1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程。例6、中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為的橢圓截直線 所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求橢圓的方程例7、橢圓 ，與直線 相交于 、 兩點(diǎn)， 是 的中點(diǎn)若 ，斜率為 （O為原點(diǎn)），求橢圓的方程題型10：橢圓與向量、解三角形的交匯問題例6、設(shè)過點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于、兩

11、點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且，求點(diǎn)的軌跡方程;15. 如圖，在RtABC中，CAB=90，AB=2，AC=。一曲線E過點(diǎn)C，動點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動，且保持|PA|+|PB|的值不變，直線l經(jīng)過A與曲線E交于M、N兩點(diǎn)。 （1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程； （2）設(shè)直線l的斜率為k，若MBN為鈍角，求k的取值范圍?；A(chǔ)鞏固訓(xùn)練1. 如圖,橢圓中心在原點(diǎn),F是左焦點(diǎn),直線與BF交于D,且,則橢圓的離心率為 2.設(shè)為橢圓的兩焦點(diǎn)，P在橢圓上，當(dāng)面積為1時(shí)，的值為 3.橢圓的一條弦被平分,那么這條弦所在的直線方程是 4.在中，若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的離心率 5. 若為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),若, 則此橢圓的離心率為 6.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為2，以O(shè)為圓心，為半徑的圓，過點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，則離心率= 綜合提高訓(xùn)練7、已知橢圓與過點(diǎn)A(2，0)，B(0，1)的直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率求橢圓方程；8.已知A、B分別是橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，線段PB與y軸的交點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）點(diǎn)C是橢圓