高考數(shù)學(xué)《新高考創(chuàng)新題型》之13：矩陣行列式(含精析)

1、之13.矩陣行列式（含精析）一、選擇題。1已知=（ ）A 2008B2008 C2010D2010二、填空題。3圓C：x2+y2=1經(jīng)過伸縮變換（其中a，bR，0a2，0b2，a、b的取值都是隨機的）得到曲線C，則在已知曲線C是焦點在x軸上的橢圓的情形下，C的離心率的概率等于_.4將正整數(shù)（）任意排成行列的數(shù)表.對于某一個數(shù)表，計算各行和各列中的任意兩個數(shù)（）的比值，稱這些比值中的最小值為這個數(shù)表的“特征值”.若表示某個行列數(shù)表中第行第列的數(shù)（，），且滿足，當(dāng)時數(shù)表的“特征值”為_.5各項都為正數(shù)的無窮等比數(shù)列，滿足且是增廣矩陣的線性方程組的解，則無窮等比數(shù)列各項和的數(shù)值是 _.三、解答題。6

2、給出30行30列的數(shù)表：，其特點是每行每列都構(gòu)成等差數(shù)列，記數(shù)表主對角線上的數(shù)按順序構(gòu)成數(shù)列，存在正整數(shù)使成等差數(shù)列，試寫出一組的值7變換T1是逆時針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換，對應(yīng)的變換矩陣是M1；變換T2對應(yīng)的變換矩陣是M2.（1）求點P（2,1）在T1作用下的點P的坐標；（2）求函數(shù)yx2的圖象依次在T1，T2變換的作用下所得曲線的方程8將邊長分別為1、2、3、n、n+1、（）的正方形疊放在一起，形成如圖所示的圖形，由小到大，依次記各陰影部分所在的圖形為第1個、第2個、第n個陰影部分圖形.設(shè)前n個陰影部分圖形的面積的平均值為記數(shù)列滿足,（1）求的表達式； （2）寫出的值，并求數(shù)列的通項公式；（3）記

3、，若不等式有解，求的取值范圍.9在平面直角坐標系中，把矩陣確定的壓縮變換與矩陣確定的旋轉(zhuǎn)變換進行復(fù)合，得到復(fù)合變換（）求復(fù)合變換的坐標變換公式；（）求圓C：x2+ y2 =1在復(fù)合變換的作用下所得曲線的方程10如圖，矩形和平行四邊形的部分頂點坐標為：（1）求將矩形變?yōu)槠叫兴倪呅蔚木€性變換對應(yīng)的矩陣；（2）矩陣是否存在特征值？若存在，求出矩陣的所有特征值及其對應(yīng)的一個特征向量；若不存在，請說明理由11如圖，單位正方形OABC在二階矩陣T的作用下，變成菱形OA1B1C1求矩陣T；設(shè)雙曲線F：x2y2=1在矩陣T對應(yīng)的變換作用下得到曲線F，求曲線F的方程12如圖，向量被矩陣M對應(yīng)的變換作用后分別變成

4、，（1）求矩陣M；（2）求在作用后的函數(shù)解析式.13二階矩陣A，B對應(yīng)的變換對圓的區(qū)域作用結(jié)果如圖所示.（1）請寫出一個滿足條件的矩陣A，B； （2）利用（1）的結(jié)果，計算C=BA，并求出曲線在矩陣C對應(yīng)的變換作用下的曲線方程.14如圖所示，四邊形ABCD和四邊形ABCD分別是矩形和平行四邊形，其中各點的坐標分別為A(1，2)、B(3，2)、C(3，2)、D(1，2)、B(3，7)、C(3，3)求將四邊形ABCD變成四邊形ABCD的變換矩陣M.1B【解析】設(shè)第一個行列式中的四個數(shù)的平均值為第二個行列式中的四個數(shù)的平均值為以此類推，第個行列式中的四個數(shù)的平均值為觀察每個行列式，有第個行列式的通項

5、公式為而其中共有行列式：個。故有：原式= 3【解析】求出圓C：x2+y2=1經(jīng)過伸縮變換曲線C的方程，結(jié)合曲線C是焦點在x軸上的橢圓，求出a，b滿足條件，及C的離心率滿足條件，求出對應(yīng)平面區(qū)域面積后，代入幾何概型公式，可得答案解：x2+y2=1經(jīng)過伸縮變換可得曲線C，故曲線C的方程為：若線C是焦點在x軸上的橢圓則ab若C的離心率則a2b又由0a2，0b2，4【解析】寫出對應(yīng)的數(shù)表：，每行中比值的最小值分別為，各列中比值的最小值分別為，再在其中取最小值為.532【解析】本題增廣矩陣的線性方程組為，其解為，即，因此，故無窮遞縮等比數(shù)列的和為6【解析】根據(jù)題意，由于對角線上的數(shù)按順序構(gòu)成數(shù)列，那么可

6、知其通項公式為 ，利用累加法可知，由于存在正整數(shù)使成等差數(shù)列，那么根據(jù)通項公式可知當(dāng)s=15,t=25時能滿足題意，故可知得到一組的值，答案為。7（1）P（1,2） （2）yx【解析】掌握矩陣運算以及矩陣變換的規(guī)律,直接根據(jù)矩陣乘法的定義.矩陣的運算難點是乘法運算，解題的關(guān)鍵是熟悉乘法法則,并且要理解二階矩陣變換的定義，熟悉五種常見的矩陣變換，明確矩陣變換的特點.對于矩陣乘法，應(yīng)注意幾何意義在解題中的應(yīng)用還要注意矩陣的知識并不是孤立存在的，解題時應(yīng)該注意矩陣與其他知識的有機結(jié)合另對運算律的靈活運用將有助于我們簡化運算，但要十分注意的是，有些運算（如交換律和消去律）在矩陣的乘法運算中并不成立用矩

7、陣解二元一次方程組，關(guān)鍵是把方程組轉(zhuǎn)化為矩陣，而運算中求矩陣的逆是重要的環(huán)節(jié)，在求逆之前首先必須熟悉公式再進行應(yīng)用（1） 所以點P（2,1）在作用下的點P的坐標是P（1,2）（2），設(shè)是變換后圖象上任一點，與之對應(yīng)的變換前的點是，則M，也就是，即，所以，所求曲線的方程是yx.8解：（1）由題意，第1個陰影部分圖形的面積為，第2個陰影部分圖形的面積為，第n個陰影部分圖形的面積為.（2分）故 （2）， 當(dāng)n為偶數(shù)時， 當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時， 9（）；（）；【解析】（）由題意知，復(fù)合變換對應(yīng)的矩陣為，根據(jù)矩陣的計算可求出，由此即可寫出復(fù)合變換的坐標變換公式；（）由（）知，即.（）因為，所以復(fù)合變換對

8、應(yīng)的矩陣為，所以復(fù)合變換的坐標變換公式為；（）設(shè)圓C上任意一點在變換的作用下所得的點為，則由（）得，即. 將其代入圓C ：x2+ y2 =1得：，所以曲線的方程是.10（1）；（2）不存在【解析】(1)矩陣，是線性代數(shù)中的基本概念之一,一個的矩陣就是個數(shù)排成行列的一個數(shù)陣由于它把許多數(shù)據(jù)緊湊的集中到了一起，所以有時候可以簡便地表示一些復(fù)雜的模型矩陣乘法看起來很奇怪，但實際上非常有用，應(yīng)用也十分廣泛，掌握相乘，列方程組求得；（2）先根據(jù)特征值的定義列出特征多項式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量（1）解：設(shè)，依題意得依題意得 即， 所以 所以 （2）因為矩陣的特征方

9、程無解，所以矩陣沒有特征值也沒有特征向量 。11（1）T=；（2）x2-y2=3.【解析】（1）利用待定系數(shù)法，即可求矩陣T；（2）曲線C上任意一點，根據(jù)矩陣變換公式求出對應(yīng)的點，解出由表示的式子，將點P的坐標代入曲線C的方程，化簡即得曲線的方程.（1）設(shè)T=，由=，解得 由=，解得 所以T= （2）設(shè)曲線F上任意一點P（x，y）在矩陣T對應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻（x，y），則=，即，所以因為x2y2=1，所以（2x-y）2- （2y-x）2=9，即x2-y2=3，故曲線F的方程為x2-y2=3. 12（1）;（2）【解析】（1）由矩陣與變換的知識可知：標變換公式對應(yīng)的矩陣為：，即由矩陣可將點（x,y）變換為點：滿足；從而應(yīng)用待定系數(shù)法，設(shè)出所要求的矩陣，再由已知條件代入即可列出方程組，解此方程組就可求出其對應(yīng)的矩陣；（2）在函數(shù)的圖象上任取一點，被作用后的點為，則有，然后將x,y用含的式子表示出來，由于點在函數(shù)的圖象上，將上式代入即得在作用后的函數(shù)解析式. （1）待定系數(shù)設(shè)M=,由已知,則有：且即：,解得,從而有（2）在的圖象上任取一點，被作用后的點為，則，代入后得：13（1）， ；（2）【解析】（1）由圖形的變化可知二階矩陣A對應(yīng)的變換是橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉硪话氲淖儞Q，由此可得矩陣A.矩陣B對應(yīng)的變換是逆