行列式計算方法小結(jié)

1、主要內(nèi)容主要內(nèi)容1.定義定義nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 nnnnjjjjjjjjjNaaa 21212121)()1(2.性質(zhì)性質(zhì) 5條條3.展開定理展開定理 )(, 0)(, 2211sisiDAaAaAasninsisi4.幾個重要結(jié)果幾個重要結(jié)果|BABCOAllkllkkk 范德蒙范德蒙行列式行列式P.15例例2三角形行列式的值等于對角元之乘積三角形行列式的值等于對角元之乘積 行列式的計算方法小結(jié)可從計算可從計算方法方法和行列式和行列式特征特征兩個角度總結(jié)兩個角度總結(jié)。1. 直接用定義直接用定義（非零元素（非零元素很少很少時可用）時可用）2. 化三角形行列

2、式法化三角形行列式法此法特點：此法特點：(2) 靈活性差，死板。靈活性差，死板。(1) 程序化明顯，對階數(shù)較低的數(shù)字行列式和一些較特殊的程序化明顯，對階數(shù)較低的數(shù)字行列式和一些較特殊的 字母行列式適用。字母行列式適用。3.降階法降階法利用性質(zhì)，將某行利用性質(zhì)，將某行(列列)的元盡可能化為的元盡可能化為0，然后，然后按行按行(列列)展開展開.階階n階階1 n 階階2此法靈活多變，易于操作，是最常用的手法。此法靈活多變，易于操作，是最常用的手法。一一.方法方法*4. 遞推公式法遞推公式法 (見附錄見附錄1)*5、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)學(xué)歸納法 (見附錄見附錄2)*6. 加邊法（升階）加邊法（升階）(見附錄

3、見附錄3)二、特征二、特征 . 階數(shù)不算高的數(shù)字行列式，可化為三角形行階數(shù)不算高的數(shù)字行列式，可化為三角形行列式或結(jié)合展開定理計算列式或結(jié)合展開定理計算. 非零元素很少的行列式，可直接用定義或降階法。非零元素很少的行列式，可直接用定義或降階法。一些特殊行列式的計算（包括一些重要結(jié)果）一些特殊行列式的計算（包括一些重要結(jié)果）例例), 2 , 1, 0(000000000221112101niaacacacbbbbaDinnnnn 11llaciii nnnniiiiaaabbbbbaca0000000000002112110 nniiiiaabaca110)( 1. “箭形箭形”行列式行列式 化

4、成三角形行列式化成三角形行列式如如:練習(xí)冊練習(xí)冊P.2 6(2)題題axxxxxaxxxxxaxxxxxx 4321432143214321例例)1( aaaxxxx 00000000043212. 除對角線以外各行元素對應(yīng)相同除對角線以外各行元素對應(yīng)相同,可化成三角形行可化成三角形行列式或箭形行列式列式或箭形行列式13xa axxxxaxxxxaxxxxxD 43243243243211111另另aaax 001001001000114 , 3 , 21 illxiib 可化箭形行列式可化箭形行列式如如 P.20 例例8例例 P.41 33題題abbababaD000000000000 n階

5、按按第第一一列列展展開開abababaa0000000000000n-1階bababbn0000000)1(1 n-1階nnnba1)1( 3. 某行（列）至多有兩個非零元素的行列式，可某行（列）至多有兩個非零元素的行列式，可用用降降 階法階法或定義或遞推公式法或歸納法或定義或遞推公式法或歸納法4. 各行各行(列列)總和相等的行列式總和相等的行列式 (趕鴨子法趕鴨子法)例例 計算行列式計算行列式(P.18 a 換為換為y)xyyyyyxyyyyxDn xyyynxyyxynxyyyynx)1()1()1( ), 3 , 2(1nilli ),.,3 , 2(1nirri xyyyyxyyyyn

6、x111)1( yxyxyyyynx 0000001)1(1)(1)1( nyxynx1)()1( nyxynx*或或 y 乘第乘第1列加到后面各列：列加到后面各列： yxyxynx 0010010001)1(*例如例如 (P.37 13(4) ，P.38 17(3), 21, P.39 25(2)題題如：如：P.39 22題題, 25(3)題題1列列(行行)“1”的巧妙利用的巧妙利用5 范德蒙范德蒙(Vandermonde)行列式行列式（重要結(jié)果）（重要結(jié)果）).2( n113121122322213211111 nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxV nijjixx1)()()()(1

7、11141312xxxxxxxxxxnn )()(2212423xxxxxxxxnn )()(33134xxxxxxnn )(221 nnnnxxxx)(1 nnxx121323312222112111111 nnnnnnnTnxxxxxxxxxxxxV3142281232 D將一不含將一不含的非零元化成零，某行的非零元化成零，某行可能可能會會出現(xiàn)公因子，提公因子，可降次。出現(xiàn)公因子，提公因子，可降次。322rr 1220281232 6. 部分對角線上含參數(shù)的行列式部分對角線上含參數(shù)的行列式例例 為何值時為何值時,D=0? 120281232)1( 2)3)(1( . 031 D時時或或即得

8、即得 *附錄附錄1. 遞推公式法遞推公式法特征：特征：某行（列）至多有兩個非零元素某行（列）至多有兩個非零元素。方法：方法：按此行（列）展開，按此行（列）展開，可能可能會導(dǎo)出遞推公式。會導(dǎo)出遞推公式。qpDDnn 11 ）：）：形式（形式（212 nnnqDpDD）：）：形式（形式（例例112210100000100001 nnnaxaaaaxxxD按按第一行第一行展開好，還展開好，還是按是按第一列第一列展開好？展開好？按第一列展開按第一列展開1221100000001 nnaxaaaxxxx1000010001)1(10 xxann-1階1101)1()1( nnnaxD01axDn 01a

9、xDDnn 由此得遞推公式：由此得遞推公式：因此有因此有：12211100000001 nnnaxaaaxxxD01201)(aaxDxaxDDnnn 0122axaDxn 01232axaaxDxn 012233axaaxDxn 013322axaaxDxnnn 2121221 nnnnaxaxaxaxD而而D2=?012211axaaxaxxDnnnnnn 于是得：于是得：解法解法2：從最后一列開始每列乘以從最后一列開始每列乘以x加到前一列，再按第一列展開。加到前一列，再按第一列展開。例例2 210000121000012000000210000121000012 nD按第一行展開按第一行

10、展開12 nD212 nnDD按第一列展開按第一列展開210000121000012000000210000120000011 由此可得遞推公式：由此可得遞推公式：212 nnnDDD211 nnnnDDDD因此有因此有 12DD 又因為又因為321122 D221 D故故11 nnDD則則.1 nDn遞推公式法的遞推公式法的 步驟：步驟：1. 降階，得到遞推公式；降階，得到遞推公式；2. 利用高中有關(guān)數(shù)列的知識，求出行列式利用高中有關(guān)數(shù)列的知識，求出行列式 。nD技巧！附錄附錄2、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)學(xué)歸納法例例 證明范德蒙證明范德蒙(Vandermonde)行列式行列式).2( n1131211

11、22322213211111 nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxV nijjixx1)()()()(111141312xxxxxxxxxxnn )()(2212423xxxxxxxxnn )()(33134xxxxxxnn )(221 nnnnxxxx)(1 nnxx證明證明(數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法)時時，有有當(dāng)當(dāng)2 .1 n2111xx12xx ，結(jié)論成立。，結(jié)論成立。立立。階階范范德德蒙蒙行行列列式式結(jié)結(jié)論論成成假假設(shè)設(shè)對對于于1 . 2 n成成立立。階階范范德德蒙蒙行行列列式式結(jié)結(jié)論論也也下下證證對對 n倍倍，則則行行的的行行開開始始，逐逐行行減減去去上上一一中中從從第第在在1xnV

12、n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxVnnnnnnnnn 按第按第1列展開列展開)()()()()()(1213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn )()(11312xxxxxxn 223222232232111 nnnnnnxxxxxxxxx根據(jù)歸納假設(shè)有：根據(jù)歸納假設(shè)有：)()(11312xxxxxxVnn nijjixx2)( nijjixx1)(綜上所述，結(jié)論成立綜上所述，結(jié)論成立 。)2( n階階1 n附錄附錄3. 加邊法（

13、升階）加邊法（升階）要點：要點：將行列式加一行一列，利用所加的一行將行列式加一行一列，利用所加的一行（列）元素（列）元素 ，將行列式化成三角形行列式。，將行列式化成三角形行列式。mxxxxmxxxxmxDnnnn 212121例例 用加邊法計算用加邊法計算mxxxxmxxxxmxxxxnnnn 212121210001n+1階還可用趕鴨子法！還可用趕鴨子法！將第將第1行的行的(-1)倍分別加到第倍分別加到第2行，第行，第3行，行，.，第，第n+1行得：行得：mmmxxxDnn 001001001121(1) 若若m=0，則，則 1011nnxDn，若若0 )2( m列列：后后加加到到第第列列都

14、都乘乘以以、列列、列列、中中第第將將11132mnDn n+1階“箭形箭形”行列式行列式從加邊前的從加邊前的Dn 得出得出mmmxxxmxDnniin 0000000001211)1()(1 niinmxm)()1(11 niinnxmm 綜合練習(xí)題2. 用多種方法計算下列行列式用多種方法計算下列行列式155164102098474050 D(2).1112222bbaababaD (3). (1).111132322332xxxxxxxxxxxxD _,. 11121的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為則則的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為已知排列已知排列iiiaii innn 3. 計算行列式計算行列式nnnnmmmm

15、bbbbaaaaC11111111 設(shè)設(shè)m階行列式階行列式|A|=a, n階行列式階行列式|B|=b, CBA則,00*4. 計算行列式計算行列式,347534453542333322212223212)( xxxxxxxxxxxxxxxxxf設(shè)設(shè)的根的個數(shù)。的根的個數(shù)。求方程求方程0)( xf 綜合練習(xí)題解答_,. 11121的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為則則的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為已知排列已知排列iiiaii innn ann 2)1(因此因此,2)1()()(1121 nniiiNii iNnnn)(2)1()(2111nnnii iNnniiiN 因為因為: 對于任何兩個數(shù)碼對于任何兩個數(shù)碼 ,在一

16、排列中要么構(gòu)在一排列中要么構(gòu)成逆序成逆序,要么不構(gòu)成逆序要么不構(gòu)成逆序.kjii ,如如:2)13(321)231()132( NN2. (1)解法一：解法一：化成三角形行列式化成三角形行列式155164102098474050 D15516410204050984721 rr15516410204050932361214 rr解法二解法二：把：把 化成化成0, 再按第三行展開再按第三行展開32a45161500217849005441 ll解法三：解法三：94578215445161578490021005432 rr155164102098474050 D(2).計算行列式計算行列式111

17、2222bbaababaD 解法一：解法一：解法二：解法二：112)(2bbaba 3)(ba )(ab 按第一列展開，各行提按第一列展開，各行提3)(ba 注意：注意：若按圖示法計算不易化簡。若按圖示法計算不易化簡。11020)(,2221312bbababballll D111)(20)()(0,213223abababababarrarra D111132322332xxxxxxxxxxxxD (3). 解法一解法一)(3x )(2x )( x 4546254321000100101xxxxxxxxxxxx 34)1(x 111132322332xxxxxxxxxxxx解法二解法二:用趕

18、鴨子法用趕鴨子法,提公因子提公因子1111111)1(32323232xxxxxxxxxxxx )1( )1)(1 ()1 ()1 (0)1 (1)1 (0)1 ()1 (101)1 (2222223232xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 2222232111)1)(1)(1(xxxxxxxxxxxxx 化三角化三角形行列形行列式或降式或降成二階成二階3. 計算行列式計算行列式nnnnmmmmbbbbaaaaC11111111 設(shè)設(shè)m階行列式階行列式|A|=a, n階行列式階行列式|B|=b, CBA則,00解解將第將第n+1列作列作n次相鄰交換，到第次相鄰交換，到第1列，列，將第，將第n+m列作列作n次相鄰交換，到第次相鄰交換，到第m列列,共作了共作了mn次列次列交換，得：交換，得：BACmn00)1( abBAmnmn)1(| |)1( *4.