專題十七圓錐曲線有關(guān)

1、專題十七 與圓錐曲線有關(guān)的定點(diǎn)、定值、最值、范圍問題1. 已知直線I過拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對稱軸垂直，I與C交于A, B兩點(diǎn)，|AB|= 12, P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則 ABP的面積為().A. 18B . 24C. 36D. 482 設(shè)M(xo, yo)為拋物線C: x2= 8y上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，以F為圓心、|FM |為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則yo的取值范圍是().A . (0,2)B . 0,2C. (2,+ )D . 2 ,+ )x23 .若點(diǎn)O和點(diǎn)F( 2,0)分別為雙曲線a2y2= 1(a>0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn) P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，貝U O 下

2、FP的取值范圍為().A . 3 2 .3,+ )B . 3 + 2 .3,+ )c. 4,+ 丿D. l4,+m 丿4 .定義：曲線C上的點(diǎn)到直線I的距離的最小值稱為曲線 C到直線l的距離.已知曲線 C1： y= x2 + a到直線l: y= x的距離等于曲線C2： x2 + (y+ 4)2= 2到直線l: y= x的距離，則實(shí)數(shù)a= _I應(yīng)對策踣I復(fù)習(xí)時(shí)不能把目標(biāo)僅僅定位在知識的掌握上，要在解題方法、解題思想上深入下去.解 析幾何中基本的解題方法是使用代數(shù)方程的方法研究直線、曲線的某些幾何性質(zhì)，代數(shù)方程 是解題的橋梁，要掌握一些解方程(組)的方法，掌握一元二次方程的知識在解析幾何中的應(yīng)用,

3、 掌握使用韋達(dá)定理進(jìn)行整體代入的解題方法；其次注意分類討論思想、函數(shù)與方程思想、化 歸與轉(zhuǎn)化思想等的應(yīng)用，如解析幾何中的最值問題往往需建立求解目標(biāo)的函數(shù)，通過函數(shù)的 最值研究幾何中的最值.必備知識有關(guān)弦長問題有關(guān)弦長問題，應(yīng)注意運(yùn)用弦長公式及韋達(dá)定理，“設(shè)而不求”；有關(guān)焦點(diǎn)弦長問題，要重視圓錐曲線定義的運(yùn)用，以簡化運(yùn)算.(1)斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)P1(X1, %), P2(x2, y2)，則所得弦長|P1P2| =.1+ k2|X2 X1| 或 |P1P2|=1 + k2|y2 y1|,其中求|x2 x1|與|y2 y1|時(shí)通常使用韋達(dá)定理，即作如下變形：|X2 Xi|=錯誤!;|

4、y2 yi|=錯誤!.(2)弦的中點(diǎn)問題有關(guān)弦的中點(diǎn)問題，應(yīng)靈活運(yùn)用“點(diǎn)差法”，“設(shè)而不求法”來簡化運(yùn)算.圓錐曲線中的最值(1)橢圓中的最值Fi、F2為橢圓x2a2y2b2=1(a> b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓的任意一點(diǎn)，B為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有 0P| b, a; |PFi| a c, a + c;22 |PFi| |PF2| b , a ； / FiPF2</ F1BF2.x2y2a2b2雙曲線中的最值Fi、F2為雙曲線=i(a> 0, b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上的任一點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有 |0P|> a; |PF i|>

5、; c a.拋物線中的最值點(diǎn)P為拋物線y2= 2px(p> 0)上的任一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則有 |PF|> P ；A(m, n)為一定點(diǎn)，貝U |PA|+ |PF|有最小值.必備方法1 定點(diǎn)、定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示 問題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所 影響的一個(gè)點(diǎn)、一個(gè)值，就是要求的定點(diǎn)、定值化解這類問題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表 示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.2 .解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標(biāo)函數(shù)和建立不等關(guān)系，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)

6、和不等式求最值、范圍，因此這類問題的難點(diǎn)， 就是如何建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系.建立目標(biāo)函數(shù)或不等關(guān)系的關(guān)鍵是選用一個(gè)合適變量，其原則是這個(gè)變量能夠表達(dá)要解決的問 題，這個(gè)變量可以是直線的斜率、直線的截距、點(diǎn)的坐標(biāo)等，要根據(jù)問題的實(shí)際情況靈活處圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題該類問題多以直線與圓錐曲線為背景，常與函數(shù)與方程、向量等知識交匯，形成了過定點(diǎn)、定值等問題的證明.難度較大.5在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線6上的點(diǎn)均在圓C2： (x 5)2 + y2= 9外，且對0上任意一點(diǎn)M , M 到直線x = 2的距離等于該點(diǎn)與圓 C2上點(diǎn)的距離的最小值.(1) 求曲線Ci的方程；(2) 設(shè)P(xo, yo)(

7、y°M±3)為圓C2外一點(diǎn)，過P作圓C2的兩條切線，分別與曲線 Ci相交于點(diǎn)A ,B和C, D.證明：當(dāng)P在直線x= 4上運(yùn)動時(shí)，四點(diǎn) A, B, C, D的縱坐標(biāo)之積為定值.5 設(shè)拋物線C: y2= 4x, F為C的焦點(diǎn)，過F的直線L與C相交于A, B兩點(diǎn).(1) 設(shè)L的斜率為1,求|AB|的大??；(2) 求證：OAOB是一個(gè)定值.如圖，橢圓C :x2a2y2b21=1(a> b> 0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為10.不過原點(diǎn)O的直線I與C相交于A,B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分.(1)求橢圓C的方程;y23(2)求厶ABP面積取最大值時(shí)直

8、線l的方程.2已知雙曲線x =1的左頂點(diǎn)為A1,右焦點(diǎn)為F2, P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則 PA1PF2的最小值為().81【例3】如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)O,離心率，且a2= 2 2.2 c v0M求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)動點(diǎn)P滿足：0P1+ 2 On,其中M、N是橢圓上的點(diǎn)，直線 OM與ON的斜率之積為一2 .問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn) Fl ,F2，使得|PF!|+ |PF2|為定值？若存在，求Fi, F2的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.廠x29 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)(0,2 )且斜率為k的直線I與橢圓 + y2= 1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.(1) 求k的取值范圍；(2) 設(shè)橢圓與x軸

9、正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為 A、B,是否存在常數(shù)k,使得向量0P+ 0與0共線？如果存在，求k的值；如果不存在，請說明理由.一、幾何法求最值10拋物線的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，過點(diǎn) M(0, 2)作直線I與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)，且滿足 0A+ Ob= ( 4, 12).(1) 求直線I和拋物線的方程；(2) 當(dāng)拋物線上一動點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B時(shí)，求 ABP面積的最大值.通過圖形來確定何時(shí)取得最大值，何時(shí)取得最小值.二、函數(shù)法求最值x2 y210 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:+= 1(a>b>0)的離心率e=a2 b22, 且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q(0,2)

10、的距離的最大值為3.(1) 求橢圓C的方程；(2) 在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M(m, n),使得直線l: mx+ ny= 1與圓O: x2 + /= 1相交于不同的兩點(diǎn)A、B,且 OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn) M的坐標(biāo)及對應(yīng)的OAB的面積；若不存在，請說明理由.11 拋物線y= x2上的點(diǎn)到直線4x+ 3y 8 = 0的距離的最小值是().478A.3 B.5 C.5 D. 3一、圓錐曲線的最值問題x2 y212 已知點(diǎn)F是雙曲線12= 1的左焦點(diǎn)，定點(diǎn) A的坐標(biāo)為(1,4) , P是雙曲線右支上的14求橢圓x2 2+y=i上的點(diǎn)到直線y = x+ 2 .3的距離的最大值和最小值，并求取得最

11、值時(shí)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo).15在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)P(x, y)是橢圓號+ y2= 1上的一個(gè)動點(diǎn)，則 S= x + y的最大值為.16設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2,0),巳0,1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線y= kx(k> 0)與橢圓相交于E, F兩點(diǎn)，求四邊形 AEBF面積的最大值.、圓錐曲線的范圍問題17x2已知雙曲線a2 -b|= 1(a>0, b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為b2F1, F2,點(diǎn)P在雙曲線的右支上,且| PF| = 4| P冋，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是 .18 (2011瀏陽一中月考)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，經(jīng)過點(diǎn)(0 ,2)且斜率為k的直線lx

12、2 2與橢圓1 + y = 1有兩個(gè)不同的交點(diǎn) P和Q(1)求k的取值范圍;設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為 A, B,是否存在常數(shù) m使得向量OP+ &與AB共線？如果存在，求 m值；如果不存在，請說明理由.三、圓錐曲線的定值、定點(diǎn)問題19已知雙曲線C：X2 詈=1,過圓Ox2 + y2 = 2上任意一點(diǎn)作圓的切線I，若I交雙曲線于A, B兩點(diǎn)，證明：/ AOB勺大小為定值.20如圖所示，曲線x2C： 6+y28=1,曲線C2: y2= 4x,過曲線C的右焦點(diǎn)F2作一條與x軸7'BF衛(wèi)K工I不垂直的直線，分別與曲線 C, C2依次交于B, C, D, E四點(diǎn)若G為C

13、D的中點(diǎn)、H為BE的中點(diǎn)，證明|BE| |GF2|CD| |HF2|為定值.21 .設(shè)P是曲線y2= 4x上的一個(gè)動點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A 1,1)的距離與點(diǎn)P到x = 1直線的距離之和的最小值為()A. 2 B. 3 C. 5 D. 622 橢圓b2x2+ a2y2= a2b2(a> b> 0)和圓x2 + y2= 2+ c 2有四個(gè)交點(diǎn)，其中c為橢圓的半焦距,則橢圓離心率e的范圍為()B. 0v evx2 y223. (2011 長郡中學(xué)1次月考)設(shè)F是橢圓學(xué)+辛=1的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)P(i = 1,2,3，)，使|FP| , |FR| , |FF3|，組成公差為d的等差數(shù)列，貝U d的取值范 圍為.24. 過拋物線 y2= 2px(p>0)上一定點(diǎn) F(xo, yo)( yo>0)作兩直線分別交拋物線于 A(X1, yj ,v1 + y2巳X2, y2)，當(dāng)FA與 PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，則y0 的值為.25 .橢圓b2x2+ a2y2= a2b2( a> b> 0)的左焦點(diǎn)為F,過F點(diǎn)