高等數(shù)學 極限的運算法則與性質(zhì)

1、上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁1主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：一、一、極限的運算法則極限的運算法則 二、二、極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限 第三節(jié)第三節(jié) 極限的運算法則與性質(zhì)極限的運算法則與性質(zhì)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁2一、極限運算法則定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設設上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁3推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為常數(shù)為常數(shù)而而存在存在如果如果常數(shù)因子可以提到極限記號外面常數(shù)因子可以提到極限記號外面.)

2、(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是正整數(shù)是正整數(shù)而而存在存在如果如果推論推論2 2上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁4二、求極限方法舉例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim)1(lim2232 xxxxx.37 3123 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁5小結(jié)小結(jié): :則有則有設設,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxa

3、xa 10100).(0 xf 則有則有且且設設, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0則商的法則不能應用則商的法則不能應用若若 xQ上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁6解解例例2 2.321lim221 xxxx求求.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時時x.后再求極限后再求極限先約去零因子先約去零因子1 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁7

4、例例3 3.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時時 x)(型型 .,再再求求極極限限去去除除分分子子分分母母先先用用3x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁8小結(jié)小結(jié): :為非負整數(shù)時有為非負整數(shù)時有和和當當nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當當當上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁9例例4 4).21(lim222nnnnn 求求解解是無限多個無窮小之和是無限多個無窮小之和時時, n222221lim)21(

5、limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先變形再求極限先變形再求極限.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁10例例5 5).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求設設yox1xy 112 xy解解兩兩個個單單側(cè)側(cè)極極限限為為是是函函數(shù)數(shù)的的分分段段點點 ,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右極限存在且相等左右極限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁11.)(lim)(lim)()(lim)()(lim)(00000AufxfxxxfAufaxxaxa

6、xxxuauxxauxx 時的極限也存在，且時的極限也存在，且當當則復合函數(shù)則復合函數(shù)，又，又的某去心鄰域內(nèi)的某去心鄰域內(nèi)但在點但在點，即，即時的極限存在且等于時的極限存在且等于當當運算法則）設函數(shù)運算法則）設函數(shù)定理（復合函數(shù)的極限定理（復合函數(shù)的極限)(lim0 xfxx )(limufau)(xu 令令)(lim0 xaxx 意義：意義：上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁12例例6 6.sinlnlim2xx 求求解解故原式故原式0 xusin 令令1sinlim2因為因為xx ulnlim1u 1ln上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁13求極限類型小結(jié)1、極限的四則運算法則及其推論、極限的四則運算法則及其推論

7、;2、極限求法、極限求法;a.多項式與分式函數(shù)代入法求極多項式與分式函數(shù)代入法求極限限;b.消去零因子法求極限消去零因子法求極限;c.同除最大者法求極限同除最大者法求極限;d.利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限.e.利用無窮小運算性質(zhì)求極限利用無窮小運算性質(zhì)求極限;3、復合函數(shù)的極限運算法則、復合函數(shù)的極限運算法則上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁14三、極限的性質(zhì)-P361. 函數(shù)極限的局部有界性函數(shù)極限的局部有界性2. 函數(shù)極限的唯一性函數(shù)極限的唯一性.)( 0 , 00 ,)(lim00MxfxxMAxfxx有有時，時，使得當使得當和和那么存在常數(shù)那么存在常數(shù)如果如果上頁下頁鈴結(jié)束

8、返回首頁153. 函數(shù)極限的局部保號性函數(shù)極限的局部保號性).0)(0)(0 , 0),0(0 ,)(lim 00 xfxfxxAAAxfxx或或時，有時，有使得當使得當存在常數(shù)存在常數(shù)那么那么或或且且如果如果上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁16思考題思考題 在某個過程中，若在某個過程中，若 有極限，有極限， 無極限，那么無極限，那么 是否有極限？為是否有極限？為什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 問題討論上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁17思考題解答思考題解答沒有極限沒有極限假設假設 有極限，有極限，)()(xgxf )(xf有極限，有極限，由極限運算法則可知：由極限運算法則可知： )()()()(x

9、fxgxfxg 必有極限，必有極限，與已知矛盾，與已知矛盾，故假設錯誤故假設錯誤上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁18內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)一、極限的運算法則一、極限的運算法則 1、極限的四則運算法則；、極限的四則運算法則； 2、復合函數(shù)的極限運算法則。、復合函數(shù)的極限運算法則。二、極限的性質(zhì)二、極限的性質(zhì) 1、唯一性；、唯一性； 2、局部有界性；、局部有界性； 3、局部保號性。、局部保號性。上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁19。和和求求、設、設)1()1(,)(1 ffxxf習題演練習題演練時的極限是否存在。時的極限是否存在。并說明它們在并說明它們在時的左右極限，時的左右極限，當當、求函數(shù)、求函數(shù)00)(,)(2 xxxxxgxxxf上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁20、求下列極限：、求下列極限：3;122lim)1(221 xxxx;112lim)2(221 xxxx;21lim)3(22xxxx ;1lim)4(42 xxxxx;)(lim)5(220hxhxh .11321211lim)6( nnn