高等數(shù)學(xué)上期末復(fù)習(xí)資料大全

1、 高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)一、極限取對(duì)數(shù)，得令解,)arctan2( xxy取極限得 , )arctan2ln( lnxxy)arctan2ln(lim lnlimxxyxx)1 ()arctan2(lim 1xxx例)0(xxxxxx1arctanln2lnlim1arctan2lnlim)00( 2-arctan1lim1arctan11lim2222xxxxxxxx.)arctan2(lim 2x exx故例例2xxxdttdtttan0sin00sintanlim)00()(tan)sin(tan)(sin)tan(sinlim0 xxxxxxxxx30cos)sin(tan)tan(

2、sinlimxxxtansinlim0 xxx0lim.1).0(11x1(7)0)(x x)(1 (6) 0)(x x21cosx-1 (3)0)(x ln1a (5) 0)(x )2(0)(xx x)ln(1 (4) 0)(xx sinx (1)n2xxxnxaxxtgx窮小熟記幾個(gè)重要的等價(jià)無(wú)要 例例 3xxdttxtfxxsin)(lim30220=utx22-2tdt=duxxduufxxsin)(21lim30024002)(lim21xduufxx32042)(lim21xxxfx220)(lim41xxfx)00(設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù),且f(0)=0,求, 1)0(

3、f解解xxdttxtfxxsin)(lim302204)0(f 0)0()(lim41220 xfxfx.4100 如果如果f(x)在在a,b 上連續(xù)上連續(xù),則積分上限的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)則積分上限的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)).()()(xfdttfdxdxxa推廣推廣:當(dāng)積分上、下限都是的函數(shù)時(shí)，有以下的求導(dǎo)公式當(dāng)積分上、下限都是的函數(shù)時(shí)，有以下的求導(dǎo)公式)()()()()()()(xxfxxfdttfdxdxx)()()(xfdttfdxddttfdxdxbbx)()()()(xxfdttfdxdxa).()()()(xtfdttfdxdbx22122)0, 0(),()1 (limyxyxyx解解,u22yx

4、 令0.u0, 0時(shí)，當(dāng)yx則22122)0, 0(),()1 (limyxyxyxuuu10)1 (lim. e例例4 求極限求極限 .)(2tan)1ln(lim00yxxyyx例例5 求極限求極限 ,uxy令解解0.u0, 0時(shí)，當(dāng)yx則)(2tan)1ln(lim00yxxyyxuuu2tan)1ln(lim0uuu2lim0.21二、導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)二、導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)例例 6 解解yeyx求),cos(ln.,cos,ln)cos(lnxxevvuuyeydxdvdvdududydxdyxevu)sin(1xxxeee)cos()sin().tan(xxee (不寫(xiě)出中間變量不寫(xiě)出中間變量

5、) )cos(lnxedxdy )cos()cos(1xxee)()cos()sin(xxxeee).tan(xxeedy及例例 7 計(jì)算由擺線的參數(shù)方程 )cos1 (),sin(tayttax所確定的函數(shù)y=y(x)的導(dǎo)數(shù)解解為整數(shù)）nntttatadtdxdtdydxdy,2( 2cot)cos1 (sin 例例 8.)(),(),(2dxdytftfytfx存在且不為零，求設(shè)設(shè)解解dtdxdtdydxdy )()()(2 tftftf2f(t). .sincos)(dxdyxeytexxyytt給出，求由參數(shù)方程練習(xí)：設(shè)函數(shù)例例9. 設(shè))(xyy 由方程確定 , .y 求解法解法1方程

6、兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得利用隱函數(shù)求導(dǎo),).(:xyyxy的函數(shù)視作將01sinyxeyx中，在方程01sinyxeyx0cosyxyeyyx xy cosyexy利用公式.令令解法解法21sin),(yxeyyxFx, yeFxx.cosxyFyyxFFy xy cosyex說(shuō)明：利用公式法說(shuō)明：利用公式法求導(dǎo)時(shí)，將方程求導(dǎo)時(shí)，將方程F(x,y,)=0中中x,y,視作視作獨(dú)立變量；利用隱獨(dú)立變量；利用隱函數(shù)求偏導(dǎo)時(shí)，將函數(shù)求偏導(dǎo)時(shí)，將y視作視作x,的函數(shù)：的函數(shù)：y=y(x,).例例10確定的隱函數(shù)求方程3xzeyzxy.,),(yxzzyxzz的偏導(dǎo)數(shù)解法解法1利用公式. 令令. 3),(x

7、zeyzxyzyxF則則,xzxzeyF, zxFy,xzzxeyFzxFFxz,xzxzxeyzeyzyFFyz.xzxeyzx利用公式法求偏利用公式法求偏導(dǎo)時(shí)，將方程導(dǎo)時(shí)，將方程F(x,y,z)=0中中x,y,z視作獨(dú)立變量視作獨(dú)立變量.解法解法2 利用隱函數(shù)求導(dǎo)中，在方程03xzeyzxy).,(:,yxzzyxz的函數(shù)視作將方程兩端關(guān)于方程兩端關(guān)于x求偏導(dǎo)，得求偏導(dǎo)，得, 0)(xxzxxzzeyzyxz,xzxzxeyzey方程兩端關(guān)于方程兩端關(guān)于y求偏導(dǎo)，得求偏導(dǎo)，得, 0)(yxzyxzeyzzxyz.xzxeyzx說(shuō)明：利用公式法求偏導(dǎo)時(shí)，將方程說(shuō)明：利用公式法求偏導(dǎo)時(shí)，將方程

8、F(x,y,z)=0中中x,y,z視作獨(dú)立變量；利用隱函數(shù)求偏導(dǎo)時(shí)，將視作獨(dú)立變量；利用隱函數(shù)求偏導(dǎo)時(shí)，將z視作視作x,y的的函數(shù)：函數(shù)：z=z(x,y).2zxuzffyfxu 3210)(2xuzzxu例例 12 設(shè) u=f(xy,yz,zx,),其中f是具有二階偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，求解解.31f zf y13122fxyfy )0(333231xfyffz 3f 3332fzxfzy )0(131211xfyffy 例例11 求.)ln21 (dxxx三、積分xln21xlnd解解: 原式 =xln2121)ln21 (dxCx ln21ln21xbx2222cossinatgxdx 12 例

9、xdxbxtg2222secatgx dtgxbxtg222atgx 2222222)(21bxtgabxtgada.|ln212222Cbxtgaa)0, 0(ba常用的幾種配元形式常用的幾種配元形式: xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1萬(wàn)能湊冪法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosdxxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(

10、ln)8()(ln xfxlnddxxxx22sin2cos2sin例例12 求解解dxxxx22sin2cos2sinxxd22sin1)(sindxxxxx22sin2coscossin2xxd22sin1)sin1 (.)sin1ln(2Cx 例13 求不定積分解：解：利用湊微分法 ,xx22sin2sin1原式 =)sin1 (d2x令xt2sin1tttd1222ttd)111 (22t 2Ct arctan2Cxx22sin1arctansin12得.dsin2sin1cossin222xxxxx例例14 求dxex10（換元和分布積分法結(jié)合使用）（換元和分布積分法結(jié)合使用）解解:

11、 令, tx則,2tx ttxd2d . 1100txtx時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)dxex10dttet102102ttde)1(2ee. 2| )(21010dtetett22331xxy 例例14 求函數(shù) 的極值點(diǎn)，拐點(diǎn)，單調(diào)區(qū)間，凹凸區(qū)間.解解),2(22xxxxy).1(222 xxy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得xyy y012)0,() 1 ,0()2, 1 (),2(00234(極大)(拐點(diǎn)）32(極小)0極大值；極小值：; 2)0(f,32)2(f拐點(diǎn)：).34, 1 (四、應(yīng)用題四、應(yīng)用題例例15 計(jì)算兩條拋物線22,xyxy在第一象限所圍所圍圖形的面積 . xxy 2oy2xy

12、 xxxd解解: 由xy 22xy 得交點(diǎn)) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110A平面圖形的面積平面圖形的面積平面直角坐標(biāo)下圖形的面積平面直角坐標(biāo)下圖形的面積(1)由曲線)0()(xfy與直線)(,babxax及 x 軸所圍曲xbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(邊梯形面積為 A .,)(dxxfdA 其中被積表達(dá)式f(x)dx就是直角坐標(biāo)下的面積元素,它表示高為f(x)、底為dx的一個(gè)矩形面積. (2)由曲線由曲線 ,直線直線y=c,y=d(c0,)(1)()(baxdttfdttfxFxbxa證明證明;2)()1 ( xF

13、(2) 方程F(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且有一個(gè)根.6. 求函數(shù) 在點(diǎn) P(1, 1, 1) 沿向量zyxu2 的方向?qū)?shù) .)3 , 1,2(lPlu146證明證明,2)(1)(2xfxf)(1)()()1 (xfxfxFabaadttfdttfaF)(1)()()2(,0)(1badttfbbbadttfdttfbF)(1)()(,0)(badttf因?yàn)榉e分上限的函數(shù)可導(dǎo),知F(x)在a,b上連續(xù),又由零點(diǎn)定理可知:方程F(x)=0在(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)根; 又因 所以F(x)在上單調(diào)遞增,從而方程F(x)=0 在(a,b內(nèi)僅有有一個(gè)根.,02)( xF. 0)(),(. 3)()()(,),(, 1)(),(,)(. 72121cfbacxfxfafxxbabfbabaxf使得求證：滿(mǎn)足中兩點(diǎn)又有內(nèi)可導(dǎo)，上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間在閉區(qū)間設(shè)函數(shù)證明證明 由于f(x)在a,b上連續(xù),故f(x)在a,b上存在