二次函數(shù)與冪函數(shù)典型例題(含答案)

1、二次函數(shù)與冪函數(shù)1求二次函數(shù)的解析式2求二次函數(shù)的值域與最值3利用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)分析解決有關(guān)問題【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】本節(jié)復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度來把握二次函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，重點(diǎn)解決二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，此類問題經(jīng)常與其它知識結(jié)合命題，應(yīng)注重分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的綜合應(yīng)用基礎(chǔ)梳理1二次函數(shù)的基本知識(1)函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)叫做二次函數(shù)，它的定義域是R.(2)二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為x，頂點(diǎn)坐標(biāo)是.當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)x時(shí)，f(x)min；當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在

2、上遞減，當(dāng)x時(shí)，f(x)max.二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)當(dāng)b24ac0時(shí)，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|x1x2|.(3)二次函數(shù)的解析式的三種形式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)；頂點(diǎn)式：f(x)a(xm)2h(a0)；兩根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)2冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義形如yx (R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，為常數(shù)(2)冪函數(shù)的圖象(3) 冪函數(shù)的性質(zhì)第一象限一定有圖像且過點(diǎn)（1，1）；第四象限一定無圖像；當(dāng)冪函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)圖像分布第一二象限，奇函數(shù)時(shí)圖像分布第一三象限；第一象限圖像的變化趨勢；當(dāng)a<

3、;0時(shí)，遞減，a>0時(shí)，遞增，其中a>1時(shí)，遞增速度越來越快，0<a<1時(shí)，遞增速度越來越慢。yxyx2yx3yxyx1定義域RRR0，)x|xR且x0值域R 0，)R0，)y|yR且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x0，)時(shí)，增，x(，0時(shí)，減增增x(0，)時(shí)，減，x(，0)時(shí)，減定點(diǎn)(0,0)，(1,1)(1,1)一條主線二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式是一個(gè)有機(jī)的整體，要深刻理解它們之間的相互關(guān)系，能用函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合思想來研究與“三個(gè)二次”有關(guān)的問題，高考對“三個(gè)二次”知道的考查往往滲透在其他知識之中，并且大都出現(xiàn)在解答題中兩種方法二次函數(shù)

4、yf(x)對稱軸的判斷方法：(1)對于二次函數(shù)yf(x)對定義域內(nèi)x1，x2，都有f(x1)f(x2)，那么函數(shù)yf(x)圖象的對稱軸方程為x；(2)對于二次函數(shù)yf(x)對定義域內(nèi)所有x，都有f(ax)f(ax)成立，那么函數(shù)yf(x)圖象的對稱軸方程為xa(a為常數(shù))兩種問題與二次函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立問題：(1)ax2bxc0，a0恒成立的充要條件是(2)ax2bxc0，a0恒成立的充要條件是雙基自測1下列函數(shù)中是冪函數(shù)的是()Ay2x2 ByCyx2x Dy2(2011·九江模擬)已知函數(shù)f(x)4x2mx5在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，則f(1)的范圍是()Af(1)25 Bf(

5、1)25Cf(1)25 Df(1)253(2011·福建)若關(guān)于x的方程x2mx10，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(1,1) B(2,2)C(，2)(2，) D(，1)(1，)4 (2011·陜西)函數(shù) 的圖象是()5 二次函數(shù)yf(x)滿足f(3x)f(3x)(xR)且f(x)0有兩個(gè)實(shí)根x1，x2，則x1x2_.考向一求二次函數(shù)的解析式【例1】已知函數(shù)f(x)x2mxn的圖象過點(diǎn)(1,3)，且f(1x)f(1x)對任意實(shí)數(shù)都成立，函數(shù)yg(x)與yf(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱求f(x)與g(x)的解析式【訓(xùn)練1】 已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1，f

6、(1)1，且f(x)的最大值是8.試確定此二次函數(shù)的解析式考向二冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)【例2】冪函數(shù)yxm22m3(mZ)的圖象關(guān)于y軸對稱，且當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，則m的值為()A1m3 B0C1 D2【訓(xùn)練2】 已知點(diǎn)(，2)在冪函數(shù)yf(x)的圖象上，點(diǎn)在冪函數(shù)yg(x)的圖象上，若f(x)g(x)，則x_.考向三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)【例3】已知函數(shù)f(x)x22ax1，求f(x)在區(qū)間0,2上的最值【訓(xùn)練3】 已知f(x)1(xa)(xb)(ab)，m，n是f(x)的零點(diǎn)，且mn，則a，b，m，n從小到大的順序是_雙基自測1(人教A版教材習(xí)題改編)下列函數(shù)中是冪函數(shù)的是()Ay2x2 B

7、yCyx2x Dy解析A，C，D均不符合冪函數(shù)的定義答案B2(2011·九江模擬)已知函數(shù)f(x)4x2mx5在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，則f(1)的范圍是()Af(1)25 Bf(1)25Cf(1)25 Df(1)25解析對稱軸x2，m16，f(1)9m25.答案A3(2011·福建)若關(guān)于x的方程x2mx10，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(1,1) B(2,2)C(，2)(2，) D(，1)(1，)解析依題意判別式m240，解得m2或m2.答案C4(2011·陜西)函數(shù) 的圖象是()解析由冪函數(shù)的性質(zhì)知：圖象過(1,1)點(diǎn)，可排除A，D；當(dāng)指數(shù)

8、01時(shí)為增速較緩的增函數(shù)，故可排除C.答案B5二次函數(shù)yf(x)滿足f(3x)f(3x)(xR)且f(x)0有兩個(gè)實(shí)根x1，x2，則x1x2_.解析由f(3x)f(3x)，知函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x3對稱，應(yīng)有3x1x26.答案6考向一求二次函數(shù)的解析式【例1】已知函數(shù)f(x)x2mxn的圖象過點(diǎn)(1,3)，且f(1x)f(1x)對任意實(shí)數(shù)都成立，函數(shù)yg(x)與yf(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱求f(x)與g(x)的解析式審題視點(diǎn) 采用待定系數(shù)法求f(x)，再由f(x)與g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，求g(x)解依題意得解得：f(x)x22x.設(shè)函數(shù)yf(x)圖象上的任意一點(diǎn)A(x0，y0)，

9、該點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B(x，y)，則x0x，y0y.點(diǎn)A(x0，y0)在函數(shù)yf(x)的圖象上，y0x2x0，yx22x，yx22x，即g(x)x22x. 二次函數(shù)解析式的確定，應(yīng)視具體問題，靈活地選用其形式，再根據(jù)題設(shè)條件列方程組，即運(yùn)用待定系數(shù)法來求解在具體問題中，常常會(huì)與圖象的平移、對稱，函數(shù)的周期性、奇偶性等知識有機(jī)地結(jié)合在一起【訓(xùn)練1】 已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8.試確定此二次函數(shù)的解析式解法一利用二次函數(shù)的一般式設(shè)f(x)ax2bxc(a0)由題意得解之得所求二次函數(shù)的解析式為y4x24x7.法二利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式設(shè)f(x)a(xm)

10、2n(a0)，f(2)f(1)此二次函數(shù)的對稱軸為x.m，又根據(jù)題意，函數(shù)有最大值8，即n8.yf(x)a28，f(2)1，a281，解之得a4.f(x)4284x24x7.考向二冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)【例2】冪函數(shù)yxm22m3(mZ)的圖象關(guān)于y軸對稱，且當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，則m的值為()A1m3 B0C1 D2審題視點(diǎn) 由冪函數(shù)的性質(zhì)可得到冪指數(shù)m22m30，再結(jié)合m是整數(shù)，及冪函數(shù)是偶函數(shù)可得m的值解析由m22m30，得1m3，又mZ，m0,1,2.m22m3為偶數(shù)，經(jīng)驗(yàn)證m1符合題意答案C 根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性先確定指數(shù)的取值范圍，當(dāng)0時(shí)，冪函數(shù)在(0，)上為增函數(shù)，當(dāng)0時(shí)，冪函數(shù)在(

11、0，)上為減函數(shù)，然后驗(yàn)證函數(shù)的奇偶性【訓(xùn)練2】 已知點(diǎn)(，2)在冪函數(shù)yf(x)的圖象上，點(diǎn)在冪函數(shù)yg(x)的圖象上，若f(x)g(x)，則x_.解析由題意，設(shè)yf(x)x，則2()，得2，設(shè)yg(x)x，則()，得2，由f(x)g(x)，即x2x2，解得x±1.答案±1考向三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)【例3】已知函數(shù)f(x)x22ax1，求f(x)在區(qū)間0,2上的最值審題視點(diǎn) 先確定對稱軸，再將對稱軸分四種情況討論解函數(shù)f(x)x22ax1(xa)21a2的對稱軸是直線xa，(1)若a0，f(x)在區(qū)間0,2上單調(diào)遞增，當(dāng)x0時(shí)，f(x)minf(0)1；當(dāng)x2時(shí)，f(x)

12、maxf(2)54a；(2)若0a1，則當(dāng)xa時(shí)，f(x)minf(a)1a2；當(dāng)x2時(shí)，f(x)maxf(2)54a；(3)若1a2，則當(dāng)xa時(shí)，f(x)minf(a)1a2；當(dāng)x0時(shí)，f(x)maxf(0)1；(4)若a2，則f(x)在區(qū)間0,2上單調(diào)遞減，當(dāng)x0時(shí)，f(x)maxf(0)1；當(dāng)x2時(shí)，f(x)minf(2)54a. 解二次函數(shù)求最值問題，首先采用配方法，將二次函數(shù)化為ya(xm)2n(a0)的形式，得頂點(diǎn)(m，n)或?qū)ΨQ軸方程xm，分三個(gè)類型：頂點(diǎn)固定，區(qū)間固定；頂點(diǎn)含參數(shù)，區(qū)間固定；頂點(diǎn)固定，區(qū)間變動(dòng)【訓(xùn)練3】 已知f(x)1(xa)(xb)(ab)，m，n是f(x)的

13、零點(diǎn)，且mn，則a，b，m，n從小到大的順序是_解析由于f(x)1(xa)(xb)(ab)的圖象是開口向下的拋物線，因?yàn)閒(a)f(b)10，f(m)f(n)0，可得a(m，n)，b(m，n)，所以mabn.答案mabn考向四有關(guān)二次函數(shù)的綜合問題【例4】設(shè)函數(shù)f(x)ax22x2，對于滿足1x4的一切x值都有f(x)0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍審題視點(diǎn) 通過討論開口方向和對稱軸位置求解解當(dāng)a0時(shí)，f(x)a2.或或或或a1或a1或，即a；當(dāng)a0時(shí)，解得a；當(dāng)a0時(shí)，f(x)2x2，f(1)0，f(4)6，不合題意綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a. 含有參數(shù)的二次函數(shù)與不等式的結(jié)合問題是高考的熱點(diǎn)，通

14、過圍繞二次函數(shù)的開口方向、對稱軸，不等式的恒成立等基本問題展開，重點(diǎn)考查學(xué)生分類討論的思想、函數(shù)與方程的思想，以及分析、解決問題的能力【訓(xùn)練4】 已知二次函數(shù)f(x)ax2bx1(a0)，F(xiàn)(x)若f(1)0，且對任意實(shí)數(shù)x均有f(x)0成立(1)求F(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)x2,2時(shí)，g(x)f(x)kx是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍解(1)f(1)0，ab10，ba1，f(x)ax2(a1)x1.f(x)0恒成立，a1，從而b2，f(x)x22x1，F(xiàn)(x)(2)g(x)x22x1kxx2(2k)x1.g(x)在2,2上是單調(diào)函數(shù)，2，或2，解得k2，或k6.所以k的取值范圍為k2，或k6.規(guī)

15、范解答3如何求解二次函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上的最值【問題研究】 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，一定要根據(jù)對稱軸與區(qū)間的相對位置關(guān)系確定最值，當(dāng)函數(shù)解析式中含有參數(shù)時(shí)，要根據(jù)參數(shù)的取值情況進(jìn)行分類討論，避免漏解【解決方案】 對于二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)而言，首先確定對稱軸，然后與所給區(qū)間的位置關(guān)系分三類進(jìn)行討論【示例】(本題滿分12分)(2011·濟(jì)南模擬)已知f(x)4x24ax4aa2在區(qū)間0,1內(nèi)有最大值5，求a的值及函數(shù)表達(dá)式f(x) 求二次函數(shù)f(x)的對稱軸，分對稱軸在區(qū)間的左側(cè)、中間、右側(cè)討論解答示范 f(x)424a，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為.(1分)當(dāng)1，即a2時(shí)，f(x)取最大值4a2.令4a25，得a21，a±12(舍去)；(4分)當(dāng)01，即0a2時(shí)，x時(shí)，f(x)取最大值為4a.令4a5，得a(0,2)；(7分)當(dāng)0，即a0時(shí)，f(x)在0,1內(nèi)遞減，x0時(shí)，f(x)取最大值為4aa2，令4aa25，得a24a50，解得a5或a1，其中5(，0(10分)綜上所述，a或a5時(shí)，f(x)在0,1