三角函數(shù)、平面向量綜合題九種類型

1、三角函數(shù)與平面向量綜合題的九種類型題型一：三角函數(shù)與平面向量平行(共線)的綜合【例1】已知A、B、C為三個(gè)銳角，且ABC.若向量(22sinA，cosAsinA)與向量(sinAcosA，1sinA)是共線向量.（）求角A；（）求函數(shù)y2sin2Bcos的最大值.題型二.三角函數(shù)與平面向量垂直的綜合【例2】 已知向量(3sin,cos)，(2sin，5sin4cos)，(，2)，且（）求tan的值；（）求cos()的值題型三.三角函數(shù)與平面向量的模的綜合【例3】已知向量(cos,sin)，(cos,sin)，|.()求cos()的值；()若0，且sin，求sin的值.題型四：結(jié)合向量的數(shù)量積,

2、考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)或求值【例4】（2010年高考安徽卷）已知，為的最小正周期，求的值練習(xí)：設(shè)函數(shù)f(x)·.其中向量(m，cosx)，(1sinx，1)，xR，且f()2.（）求實(shí)數(shù)m的值；（）求函數(shù)f(x)的最小值. 題型五：結(jié)合向量的夾角公式，考查三角函數(shù)中的求角問題 【例5】 （浙江卷）如圖，函數(shù)（其中）的圖像與軸交于點(diǎn)（0，1）。（）求的值；（）設(shè)是圖像上的最高點(diǎn)，M、N是圖像與軸的交點(diǎn)，求與的夾角。題型六：結(jié)合三角形中的向量知識(shí)考查三角形的邊長(zhǎng)或角的運(yùn)算【例6】（山東卷）在中，角的對(duì)邊分別為，（1）求； （2）若，且，求題型七：結(jié)合三角函數(shù)的有界性，考查三角函數(shù)的最值與向量

3、運(yùn)算【例7】（陜西卷），其中向量，且函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（）求實(shí)數(shù)的值； （）求函數(shù)的最小值及此時(shí)值的集合。題型八：結(jié)合向量平移問題，考查三角函數(shù)解析式的求法【例8】（湖北卷）將的圖象向左平移/4,向下平移2個(gè)單位，則平移后所得圖象的解析式為題型九：結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查與三角不等式相關(guān)的問題【例9】（湖北卷）設(shè)向量，函數(shù).（）求函數(shù)的最大值與最小正周期；（）求使不等式成立的的取值集.【專題訓(xùn)練】一、選擇題1已知(cos40°，sin40°)，(cos20°，sin20°)，則·（ ）A1BCD2將函數(shù)y2sin2x的圖象按向量(，)平移后得到圖

4、象對(duì)應(yīng)的解析式是（ ）A2cos2xB2cos2xC2sin2xD2sin2x3已知ABC中，若·0，則ABC是（ ）A鈍角三角形B直角三角形C銳角三角形D任意三角形4設(shè)(,sina)，(cosa,)，且，則銳角a為（ ）A30°B45°C60°D75°5已知(sin，)，(1，)，其中(，)，則一定有（ ）ABC與夾角為45°D|6已知向量(6，4)，(0，2),l，若C點(diǎn)在函數(shù)ysinx的圖象上,實(shí)數(shù)lABCD7設(shè)02時(shí)，已知兩個(gè)向量(cos，sin)，(2sin，2cos)，則向量長(zhǎng)度的最大值是（ ）ABC3D28若向量(cos

5、a,sina)，(cosb,sinb)，則與一定滿足（ ）A與的夾角等于abBCD()()9已知向量(cos25°,sin25°)，(sin20°,cos20°)，若t是實(shí)數(shù)，且t，則|的最小值為（ ）AB1CD10O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是該平面上不共線的3個(gè)點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P滿足：l()，l(0,)，則直線AP一定通過ABC的（ ）A外心B內(nèi)心C重心D垂心二、填空題11已知向量(sinq，2cosq)，(,).若，則sin2q的值為_12已知在OAB(O為原點(diǎn))中，(2cosa，2sina)，(5cosb，5sinb)，若·5，則SAOB的值

6、為_.13已知向量(1，1)向量與向量夾角為，且·1.則向量_三、解答題14已知向量(sinA,cosA)，(,1)，·1，且為銳角.()求角A的大小；()求函數(shù)f(x)cos2x4cosAsinx(xR)的值域15在ABC中，A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c，已知向量(1，2sinA)，(sinA，1cosA)，滿足，bca.()求A的大?。?)求sin(B)的值16ABC的角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，(2bc，a)，(cosA，cosC)，且()求角A的大小；()當(dāng)y2sin2Bsin(2B)取最大值時(shí)，求角的大小.17已知(cosxsinx，sinx)，(

7、cosxsinx，2cosx)，（）求證：向量與向量不可能平行；（）若f(x)·，且x,時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值及最小值18設(shè)函數(shù)，其中向量， （）求函數(shù)的最大值和最小正周期； （）將函數(shù)的圖像按向量平移，使平移后得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱，求長(zhǎng)度最小的19已知向量（）若，求；（）求的最大值【參考答案】三角函數(shù)與平面向量綜合題的九種類型【例1】【解】（）、共線，(22sinA)(1sinA)(cosAsinA)(cosAsinA)，則sin2A，又A為銳角，所以sinA，則A.（）y2sin2Bcos2sin2Bcos2sin2Bcos(2B)1cos2Bcos2Bsin2B

8、sin2Bcos2B1sin(2B)1.B(0，)，2B(，)，2B，解得B，ymax2.2、【解】（），·0而（3sin，cos），(2sin, 5sin4cos)，故·6sin25sincos4cos20 由于cos0，6tan25tan40解之，得tan，或tan（，2），tan0，故tan（舍去）tan（）（，2），（，）由tan，求得tan，tan2（舍去）sin，cos，cos()coscossinsin××3、【解】()|，22·2，將向量(cos,sin)，(cos,sin)代入上式得122(coscossinsin)12，co

9、s().()0，0，由cos()，得sin()，又sin，cos，sinsin()sin()coscos()sin.4、【解答】因?yàn)闉榈淖钚≌芷冢室驗(yàn)?，又，故由于，所以練?xí)解：（）f(x)·m(1sinx)cosx，由f()2，得m(1sin)cos2，解得m1.()由（）得f(x)sinxcosx1sin(x)1，當(dāng)sin(x)1時(shí)，f(x)的最小值為1.5、【解答】（I）因?yàn)楹瘮?shù)圖像過點(diǎn)，所以即因?yàn)?，所?（II）由函數(shù)及其圖像，得所以從而，故.6、【解答】（1），,又，解得：，是銳角，（2），又，7、【解答】（）由已知，得（）由（）得當(dāng)時(shí)，的最小值為，由，得值的集合為 8、

10、【解答】，平移后的解析式為，選9、【解答】（）的最大值為，最小正周期是（）要使成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即,即成立的的取值集合是【專題訓(xùn)練】參考答案一、選擇題1B解析：由數(shù)量積的坐標(biāo)表示知·cos40°sin20°sin40°cos20°sin60°.2D 【解析】y2sin2xy2sin2（x），即y2sin2x.3A 【解析】因?yàn)閏osBAC0，BAC為鈍角.4B 【解析】由平行的充要條件得×sinacosa0，sin2a1，2a90°，a45°.5B 【解析】·sin|sin|，(，)，|sin|s

11、in，·0，6A l(6，42l)，代入ysinx得，42lsin1，解得l.7C 【解析】|3.8D 【解析】(cosacosb,sinasinb)，(cosacosb,sinasinb)，()·()cos2acos2bsin2asin2b0，()()9C 【解析】|2|2t2|22t·1t22t(sin20°cos25°cos20°sin25°)t2t1(t)2，|，|min.10C 【解析】設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則2，又由l()，2l，所以與共線，即有直線AP與直線AD重合，即直線AP一定通過ABC的重心二、填空題11 【

12、解析】由，得sinq2cosq,tanq4，sin2q12 【解析】·5Þ10cosacobs10sinasinb5Þ10cos(ab)5Þcos(ab)，sinAOB，又|2，|5，SAOB×2×5×13(1，0)或(0，1) 【解析】設(shè)(x，y)，由·1，有xy1 ，由與夾角為，有·|·|cos，|1，則x2y21 ，由解得或 即(1，0)或(0，1) 三、解答題14【解】()由題意得·sinAcosA1，2sin(A)1，sin(A)，由A為銳角得A，A.()由（）知cosA，所

13、以f(x)cos2x2sinx12sin2x2sinx2(sinx)2，因?yàn)閤R，所以sinx1,1，因此，當(dāng)sinx時(shí)，f(x)有最大值當(dāng)sinx1時(shí)，f(x)有最小值3，所以所求函數(shù)f(x)的值域是3，15【解】()由，得2sin2A1cosA0，即2cos2AcosA10，cosA或cosA1.A是ABC內(nèi)角，cosA1舍去，A.()bca，由正弦定理，sinBsinCsinA，BC，sinBsin(B)，cosBsinB，即sin(B)16【解】()由，得·0，從而(2bc)cosAacosC0，由正弦定理得2sinBcosAsinCcosAsinAcosC02sinBcosAsin(AC)0，2sinBcosAsinB0，A、B(0，)，sinB0，cosA，故A.()y2sin2B2sin(2B)(1cos2B)sin2Bcoscos2Bsin1sin2B cos2B1sin(2B).由()得，0B，2B，當(dāng)2B，即B時(shí)，y取最大值2.17【解】（）假設(shè)，則2cosx(cosxsinx)sinx(cosxsinx)0，2cos2xsinxcosxsin2x0，2·sin2x0，即sin2xcos2x3，(sin2x)3，與|(sin2x)|矛盾，故向量與向量不可能平行（）f(x)·(cosxsinx)&