一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系—知識(shí)講解(基礎(chǔ))(共6頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系知識(shí)講解（基礎(chǔ)）責(zé)編：常春芳 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程根的情況，由方程根的情況能確定方程中待定系數(shù)的取值范圍；2. 掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及在各類問(wèn)題中的運(yùn)用.【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、一元二次方程根的判別式1.一元二次方程根的判別式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來(lái)表示，即（1）當(dāng)>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)<0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.要點(diǎn)詮釋：利用根的判別式判定一元二次方程根的情況

2、的步驟：把一元二次方程化為一般形式；確定的值；計(jì)算的值；根據(jù)的符號(hào)判定方程根的情況.2. 一元二次方程根的判別式的逆用 在方程中，（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根0；（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根=0；（3）方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根0.要點(diǎn)詮釋：（1）逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一條件；（2）若一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根則 0.知識(shí)點(diǎn)二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 1.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a0， 0.也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的

3、商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用 (1)驗(yàn)根不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗(yàn)兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根； (2)已知方程的一個(gè)根，求方程的另一根及未知系數(shù)； (3)不解方程，可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于x1、x2的對(duì)稱式的值此時(shí)，常常涉及代數(shù)式的一些重要變形；如：；(4)已知方程的兩根，求作一個(gè)一元二次方程；以兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程兩根滿足某種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；（6）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以進(jìn)一步討論根的符號(hào).設(shè)一元二次方程的兩根為、，則當(dāng)0且時(shí)，兩根同號(hào)當(dāng)0且，時(shí)

4、，兩根同為正數(shù)；當(dāng)0且，時(shí)，兩根同為負(fù)數(shù)當(dāng)0且時(shí)，兩根異號(hào) 當(dāng)0且，時(shí)，兩根異號(hào)且正根的絕對(duì)值較大；當(dāng)0且，時(shí)，兩根異號(hào)且負(fù)根的絕對(duì)值較大要點(diǎn)詮釋：（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗(yàn)證方程的一些考試中，往往利用這一點(diǎn)設(shè)置陷阱；（2）若有理系數(shù)一元二次方程有一根，則必有一根（，為有理數(shù)）【典型例題】類型一、一元二次方程根的判別式的應(yīng)用1不解方程，判斷下列方程的根的情況：(1)   2x2+3x-4=0 (2)ax2+bx=0(a0)【答案與解析】(1) 2x2+3x-4=0a=2, b=3, c=-4,  =b2-4ac=32-

5、4×2×(-4)=41>0  方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)a0, 方程是一元二次方程，此方程是缺少常數(shù)項(xiàng)的不完全的一元二次方程，將常數(shù)項(xiàng)視為零，  =b2-4·a·0=b2,  無(wú)論b取任何關(guān)數(shù)，b2均為非負(fù)數(shù)， 0，故方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根. 【總結(jié)升華】根據(jù)的符號(hào)判定方程根的情況.舉一反三：【高清ID號(hào)： 關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：判別含字母系數(shù)的方程根的情況-例2（1）】【變式】不解方程，判別方程根的情況： . 【答案】無(wú)實(shí)根. 2（2015本溪）關(guān)于x的一元二次方程（k1）x22x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

6、，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 【思路點(diǎn)撥】此題要考慮兩方面：判別式要大于0，二次項(xiàng)系數(shù)不等于0.【答案】k2且k1； 【解析】解：關(guān)于x的一元二次方程（k1）x22x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，k10且=（2）24（k1）0，解得：k2且k1故答案為：k2且k1【總結(jié)升華】不能忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一條件.舉一反三：【高清ID號(hào)： 關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：證明根的情況-例3】【變式】m為任意實(shí)數(shù)，試說(shuō)明關(guān)于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.【答案】=-(m-1)2-4×-3(m+3）=m2+10m+37=(m+5)2+120， 關(guān)于x的方程x2-

7、（m-1）x-3（m+3）= 0恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.類型二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用3已知方程的一個(gè)根是2，求另一個(gè)根及k的值【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)方程解的意義，將x2代入原方程，可求k的值，再由根與系數(shù)的關(guān)系求出方程的另外一個(gè)根【答案與解析】方法一：設(shè)方程另外一個(gè)根為x1，則由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得，從而解得：，k-7 方法二：將x2代入方程，得5×22+2k-60，從而k-7設(shè)另外一根為x1，則由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得，從而，故方程的另一根為，k的值為-7【總結(jié)升華】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，易得另一根及k的值 舉一反三：【高清課堂：一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系（二）-例2】【變式】已知方程的一個(gè)根是3，求它的另一根及的值【答案】另一根為-1；的值為-34（2015咸寧）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2（m+2）x+2=0（1）證明：不論m為何值時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）m為何整數(shù)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根【答案與解析】解：（1）=（m+2）28m=m24m+4=（m2）2，不論m為何值時(shí)，（m2）20，0，方程總