二面角的求法

1、二面角的幾種求法1.引言在高中空間幾何的問題中，如何去求解兩個平面的二面角的問題對很多同學來說十分棘手。許多同學一遇到這種問題就比較頭疼，特別是針對那些所給已知條件比較少的問題。例如：在求二面角的問題中，許多都是沒有給出直觀的二面角的平面角，這就要求同學們會作輔助線，同時，一些問題中還需要很高的計算能力。在歷年的高考題中，很多都出現(xiàn)了求二面角的題目，如2010年的安徽卷（第18題）、2010年的浙江卷（第20題）、2010年的陜西卷（第18題）、2009年的山東卷（第18題）、2009年的安徽卷（第18題）等等。這就說明，二面角問題在高考中是一個熱門的考點。因此，研究求解二面角問題的方法，有很

2、大的研究價值。2.二面角及二面角的平面角的概念先來敘述一下中學教材中二面角的概念以及二面角的平面角的概念。（引）2.1二面角的概念從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。2.2二面角的平面角的概念如圖1所示，在二面角的棱上任意取一點，以點為垂足，在半平面和內分別作垂直于棱的射線和，則射線和構成的叫做二面角的平面角。圖13.求解二面角問題的幾個難點在求解空間幾何問題的時候，經常會遇到求二面角的問題，求此類問題的難點具體體現(xiàn)在以下三個方面：3.1需要添加輔助線從二面角的定義來看，二面角的條件要求比較高，要求兩條射線分別在兩個半平面內且都

3、垂直于這兩個半平面的交線，在一般的空間圖形中很難直接發(fā)現(xiàn)滿足這樣條件的角。在這樣的情況下只有借助添加輔助線等方法來解決問題，而添加輔助線是一個很難掌握的技巧。同時新添加的輔助線的長度以及它們與其余各條直線、各個平面所成的角度，還需要經過進一步計算才能夠得到。這無形中給二面角的求解過程帶來了很多困難。3.2線面關系隱藏的深在有些問題中，沒有直接給出直線所成的角度，只給出了空間圖形中的部分線段長度。這類問題，不僅要求答題者有很好的空間想象能力，還要求他們能根據(jù)長度求角度。3.3計算量巨大一般是根據(jù)長度求角度，這就會用到余弦公式，余弦公式是一個計算量十分大的公式。有些問題還可以用空間坐標系的向量間的

4、角度來解決，同樣也需要做很多很復雜的計算。4.二面角問題的求解方法對不同的求二面角的問題，可以用不同的方法來解決。總體上來講，可以分為四種方法，分別是：概念法、空間變換法、空間向量法、另類方法。4.1概念法顧名思義，概念法指的是利用概念直接解答問題。例1：如圖2所示，在四面體中，,。求二面角的大小。圖2分析：四面體的各個棱長都已經給出來了，這是一個典型的根據(jù)長度求角度的問題。解：設線段的中點是，接和。根據(jù)已知的條件，可以知道且。又是平面和平面的交線。根據(jù)定義，可以得出：即為二面角的平面角?？梢郧蟪?，并且。根據(jù)余弦定理知：即二面角的大小為。同樣，例2也是用概念法直接解決問題的。例2：如圖3所示，

5、是正方形，求二面角的大小。圖3解：作輔助線于點，連接、。由于，所以。即。由于，所以即為所求的二面角的大小。通過計算可以得到：，又，在三角形中可以計算得到。由此可以得到：，又。由余弦定理： 即：。4.2空間變換法空間變換法指的是基本的空間方法，包括三垂線法、補角法、垂面法、切平面法等方法。下面用例3介紹三垂線法、補角法和垂面法。例3：如圖4所示，現(xiàn)有平面和平面，它們的交線是直線，點在平面內，點在平面內。求二面角的大小。圖4分析：過點作輔助線垂直于，作垂直于平面于點。4.2.1補角法直接求解二面角的大小是有些困難的，那么可以先求解二面角。因為二面角與二面角是互補的關系，現(xiàn)在先求出二面角后，二面角的

6、大小就很容易計算了。4.2.2三垂線法由于，平面。那么根據(jù)三垂線定理可以得知：在平面內的射影垂直于兩平面的交線。即且，根據(jù)定義可知，二面角的大小即為的大小。那么二面角的大小可以用補角法得到。4.2.3切平面法切面法的基本思想是做一個垂面，它垂直于兩個平面的交線，在所得的圖形中就可以很容易觀察與計算二面角。如圖4所示，可以作平面垂直于兩個平面的交線，平面與平面的交線是，平面與平面的交線是，根據(jù)二面角的定義知即為所求二面角的補角，根據(jù)補角法，可以求出二面角的大小。 下面用例4來詳細講解一下切平面法。例4： 在圖5中，。其中，。是的中點，。求二面角的大小。圖5解：由于是的中點，且是等腰三角形，那么。

7、又，可以推出：。所以：。又，則，所以。可以得出：是和的公共切平面。由此，根據(jù)切平面法知即為所求二面角的平面角。由于，那么：，。又：。在三角形中根據(jù)余弦定理可知：那么。即求二面角的大小是。4.2.4補形法以上講解了三垂線法、補角法和垂面法三種空間變換法，以下通過一個單獨的例子來講解第四種方法補形法。例5：在圖6中，四邊形是一個直角梯形，其中，。求平面與平面所成二面角的大小。圖6解：延長直線與，它們相交于點，連接。由題意可知，平行于，的長度是的一半，且，那么，。在三角形中，。那么根據(jù)勾股定理可知，即。，且是在平面內的射影，根據(jù)三垂線定理知：。又，即即為所求的二面角。在中，。那么。即：所以平面與平面

8、所成二面角的大小是。在有些問題中，所給的圖形不是能夠很好觀測到二面角的平面角，可以通過補形的方法來觀測二面角的平面角。在例5中，很好的運用了補形法和三垂線法來解決問題，這也告訴我們，可以在一個問題中使用多種方法來達到解決問題目的。4.3空間向量法4.3.1二面角和兩平面的夾角之間的關系兩平面的夾角有兩個，它們之間互補，取它們中角度較小的為，那么的取值范圍是。而二面角是指兩個特定的半平面所組成的圖形，二面角的取值范圍是。但是我們可以利用兩個平面的夾角來求二面角，它們之間的關系具體如下：如果，。（1）如果，。（2）因此，在用空間向量法求解二面角的時候，必須先判斷二面角的大小是銳角還是鈍角，然后由以

9、上發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來求解。當然，前提是先求出兩平面的夾角。4.3.2平面法向量的求法兩平面間的夾角一般根據(jù)兩平面的法向量來求。如果平面方程已知，平面的法向量可以直接給出，如果平面方程未知，法向量可以根據(jù)平面內的三個點的坐標求出來。如圖7所示：例6：如圖7所示在平面內，已知三點，。圖7下面求解平面的一個法向量。解法一：求平面的法向量的大小，可以用該平面內的兩個向量的矢性積來求，即：又，可以求出：解法二：設平面的方程為將點，的坐標分別代入方程可以解出系數(shù)，。在此特別強調一下，三個點帶入方程后得到的應該是一個四元三次方程，可能無解，如果有解，那么一定有無數(shù)多個解。可以通過解方程，將，全部用表示，這樣就可以

10、得到一個形如的方程，可以將新得到的方程兩邊同時除以（，否則，方程無意義），那么就可以得到平面的方程。得到了平面的一般方程，即得平面的法向量坐標。解法三：在圖7中，由所給的信息，可以求出向量、的大小。設平面的一個法向量。若，。由，可以得到：可以求解出，的關系。此方程一定有無數(shù)多個解，可以將，用表示。如，由此可知向量是平面的一個法向量。4.3.3兩平面夾角的公式兩平面相交時，定義它們之間的夾角為它們法向量的夾角為，其中。于是：4.3.4兩平面的夾角轉化成二面角利用上述方法，先求出兩平面的法向量，再求兩平面的夾角，最后可以根據(jù)（1）、（2）求出二面角的大小。例7：如圖8所示，四邊形是一個矩形，點和點

11、分別在邊和邊上，其中，?，F(xiàn)在以直線為折痕，將三角形折起，得到三角形，同時使得平面與底面垂直。求二面角的大小。圖8解：以點為坐標原點，建立如圖8所示的直角坐標系，設點是線段的中點，連接?？梢缘玫剑?，。由于，所以。又平面與底面垂直。所以：。即是底面的一個法向量。設是平面的一個法向量。那么：，即：那么：，即。即二面角的大小為4.4另類方法比較常用的另類方法是四面體體積法、角度法和面積攝影法。4.4.1四面體體積法例8：如圖9所示，在空間四面體中，四面體的所有棱長都是1，求二面角的大小。圖9分析：過點作輔助線平面于點，過點作輔助線于點，連接直線，。由于四面體是一個正四面體,即為所求二面角。（也可以推導

12、出當四面體不是正四面體時同樣是所求的二面角）正四面體的棱長是1，可以求出正四面體的體積是根據(jù)已知條件可知：， 可以求出：，即：。當四面體不是正四面體時也可以用這種方法求解，只需要知道體積、兩個面的面積、公共邊的長度就可以解出二面角的大小了。4.4.2角度法例9：如圖10所示，以點為頂點的三條射線分別是、，其中、的夾角是，、的夾角是，、的夾角是?，F(xiàn)在要求二面角的大小。圖10分析：現(xiàn)在設，并且（由于、的長度沒有給出，這樣的假設是合理可行的），那么即為所求二面角的大小。根據(jù)已知條件可以得到：， ， 又將、帶入得到：在三角形中, 即：通過這種方法，可以在沒有任何長度條件的情況下求解出二面角的大小，因此

13、，該方法是一個比較特殊實用的方法。4.4.3面積射影法例10：如圖11所示，在空間直角坐標系中，點、分別在、軸上，現(xiàn)在要求二面角的大小。圖11分析：作并且與相交于點。連接。根據(jù)三垂線定理可知：。即：即為所求二面角。在中，。在中，。并且。是在平面內的射影。由以上的條件可以得到：即：（其中是在平面內的射影。）用另外一種簡便語言表示就是：5.小結首先要指出的是給出的3種另類方法，如果給出的問題條件特殊，可以用四面體體積法、角度法或者面積射影法來解決，使用3種另類方法無疑是最簡單的方法，直接套用公式即可解出結果。如果遇到的問題不能用另類方法解決，則盡量運用概念法和幾何法來解決，因為這兩種方法的計算量小，不容易出錯。但是很多問題所給的條件不夠的，很多圖形都只給出了部分條件，其他條件需要推導計算出來，因此，要靈活運用概念法、三垂線法、割補法以及切平面法，有時甚至需要幾種方