二面角的求法

1、二面角的幾種求法1.引言在高中空間幾何的問(wèn)題中，如何去求解兩個(gè)平面的二面角的問(wèn)題對(duì)很多同學(xué)來(lái)說(shuō)十分棘手。許多同學(xué)一遇到這種問(wèn)題就比較頭疼，特別是針對(duì)那些所給已知條件比較少的問(wèn)題。例如：在求二面角的問(wèn)題中，許多都是沒(méi)有給出直觀的二面角的平面角，這就要求同學(xué)們會(huì)作輔助線，同時(shí)，一些問(wèn)題中還需要很高的計(jì)算能力。在歷年的高考題中，很多都出現(xiàn)了求二面角的題目，如2010年的安徽卷（第18題）、2010年的浙江卷（第20題）、2010年的陜西卷（第18題）、2009年的山東卷（第18題）、2009年的安徽卷（第18題）等等。這就說(shuō)明，二面角問(wèn)題在高考中是一個(gè)熱門(mén)的考點(diǎn)。因此，研究求解二面角問(wèn)題的方法，有很

2、大的研究?jī)r(jià)值。2.二面角及二面角的平面角的概念先來(lái)敘述一下中學(xué)教材中二面角的概念以及二面角的平面角的概念。（引）2.1二面角的概念從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。2.2二面角的平面角的概念如圖1所示，在二面角的棱上任意取一點(diǎn)，以點(diǎn)為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線和，則射線和構(gòu)成的叫做二面角的平面角。圖13.求解二面角問(wèn)題的幾個(gè)難點(diǎn)在求解空間幾何問(wèn)題的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)遇到求二面角的問(wèn)題，求此類(lèi)問(wèn)題的難點(diǎn)具體體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：3.1需要添加輔助線從二面角的定義來(lái)看，二面角的條件要求比較高，要求兩條射線分別在兩個(gè)半平面內(nèi)且都

3、垂直于這兩個(gè)半平面的交線，在一般的空間圖形中很難直接發(fā)現(xiàn)滿(mǎn)足這樣條件的角。在這樣的情況下只有借助添加輔助線等方法來(lái)解決問(wèn)題，而添加輔助線是一個(gè)很難掌握的技巧。同時(shí)新添加的輔助線的長(zhǎng)度以及它們與其余各條直線、各個(gè)平面所成的角度，還需要經(jīng)過(guò)進(jìn)一步計(jì)算才能夠得到。這無(wú)形中給二面角的求解過(guò)程帶來(lái)了很多困難。3.2線面關(guān)系隱藏的深在有些問(wèn)題中，沒(méi)有直接給出直線所成的角度，只給出了空間圖形中的部分線段長(zhǎng)度。這類(lèi)問(wèn)題，不僅要求答題者有很好的空間想象能力，還要求他們能根據(jù)長(zhǎng)度求角度。3.3計(jì)算量巨大一般是根據(jù)長(zhǎng)度求角度，這就會(huì)用到余弦公式，余弦公式是一個(gè)計(jì)算量十分大的公式。有些問(wèn)題還可以用空間坐標(biāo)系的向量間的

4、角度來(lái)解決，同樣也需要做很多很復(fù)雜的計(jì)算。4.二面角問(wèn)題的求解方法對(duì)不同的求二面角的問(wèn)題，可以用不同的方法來(lái)解決?？傮w上來(lái)講，可以分為四種方法，分別是：概念法、空間變換法、空間向量法、另類(lèi)方法。4.1概念法顧名思義，概念法指的是利用概念直接解答問(wèn)題。例1：如圖2所示，在四面體中，,。求二面角的大小。圖2分析：四面體的各個(gè)棱長(zhǎng)都已經(jīng)給出來(lái)了，這是一個(gè)典型的根據(jù)長(zhǎng)度求角度的問(wèn)題。解：設(shè)線段的中點(diǎn)是，接和。根據(jù)已知的條件，可以知道且。又是平面和平面的交線。根據(jù)定義，可以得出：即為二面角的平面角?？梢郧蟪觯⑶?。根據(jù)余弦定理知：即二面角的大小為。同樣，例2也是用概念法直接解決問(wèn)題的。例2：如圖3所示，

5、是正方形，求二面角的大小。圖3解：作輔助線于點(diǎn)，連接、。由于，所以。即。由于，所以即為所求的二面角的大小。通過(guò)計(jì)算可以得到：，又，在三角形中可以計(jì)算得到。由此可以得到：，又。由余弦定理： 即：。4.2空間變換法空間變換法指的是基本的空間方法，包括三垂線法、補(bǔ)角法、垂面法、切平面法等方法。下面用例3介紹三垂線法、補(bǔ)角法和垂面法。例3：如圖4所示，現(xiàn)有平面和平面，它們的交線是直線，點(diǎn)在平面內(nèi)，點(diǎn)在平面內(nèi)。求二面角的大小。圖4分析：過(guò)點(diǎn)作輔助線垂直于，作垂直于平面于點(diǎn)。4.2.1補(bǔ)角法直接求解二面角的大小是有些困難的，那么可以先求解二面角。因?yàn)槎娼桥c二面角是互補(bǔ)的關(guān)系，現(xiàn)在先求出二面角后，二面角的

6、大小就很容易計(jì)算了。4.2.2三垂線法由于，平面。那么根據(jù)三垂線定理可以得知：在平面內(nèi)的射影垂直于兩平面的交線。即且，根據(jù)定義可知，二面角的大小即為的大小。那么二面角的大小可以用補(bǔ)角法得到。4.2.3切平面法切面法的基本思想是做一個(gè)垂面，它垂直于兩個(gè)平面的交線，在所得的圖形中就可以很容易觀察與計(jì)算二面角。如圖4所示，可以作平面垂直于兩個(gè)平面的交線，平面與平面的交線是，平面與平面的交線是，根據(jù)二面角的定義知即為所求二面角的補(bǔ)角，根據(jù)補(bǔ)角法，可以求出二面角的大小。 下面用例4來(lái)詳細(xì)講解一下切平面法。例4： 在圖5中，。其中，。是的中點(diǎn)，。求二面角的大小。圖5解：由于是的中點(diǎn)，且是等腰三角形，那么。

7、又，可以推出：。所以：。又，則，所以。可以得出：是和的公共切平面。由此，根據(jù)切平面法知即為所求二面角的平面角。由于，那么：，。又：。在三角形中根據(jù)余弦定理可知：那么。即求二面角的大小是。4.2.4補(bǔ)形法以上講解了三垂線法、補(bǔ)角法和垂面法三種空間變換法，以下通過(guò)一個(gè)單獨(dú)的例子來(lái)講解第四種方法補(bǔ)形法。例5：在圖6中，四邊形是一個(gè)直角梯形，其中，。求平面與平面所成二面角的大小。圖6解：延長(zhǎng)直線與，它們相交于點(diǎn)，連接。由題意可知，平行于，的長(zhǎng)度是的一半，且，那么，。在三角形中，。那么根據(jù)勾股定理可知，即。，且是在平面內(nèi)的射影，根據(jù)三垂線定理知：。又，即即為所求的二面角。在中，。那么。即：所以平面與平面

8、所成二面角的大小是。在有些問(wèn)題中，所給的圖形不是能夠很好觀測(cè)到二面角的平面角，可以通過(guò)補(bǔ)形的方法來(lái)觀測(cè)二面角的平面角。在例5中，很好的運(yùn)用了補(bǔ)形法和三垂線法來(lái)解決問(wèn)題，這也告訴我們，可以在一個(gè)問(wèn)題中使用多種方法來(lái)達(dá)到解決問(wèn)題目的。4.3空間向量法4.3.1二面角和兩平面的夾角之間的關(guān)系兩平面的夾角有兩個(gè)，它們之間互補(bǔ)，取它們中角度較小的為，那么的取值范圍是。而二面角是指兩個(gè)特定的半平面所組成的圖形，二面角的取值范圍是。但是我們可以利用兩個(gè)平面的夾角來(lái)求二面角，它們之間的關(guān)系具體如下：如果，。（1）如果，。（2）因此，在用空間向量法求解二面角的時(shí)候，必須先判斷二面角的大小是銳角還是鈍角，然后由以

9、上發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來(lái)求解。當(dāng)然，前提是先求出兩平面的夾角。4.3.2平面法向量的求法兩平面間的夾角一般根據(jù)兩平面的法向量來(lái)求。如果平面方程已知，平面的法向量可以直接給出，如果平面方程未知，法向量可以根據(jù)平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求出來(lái)。如圖7所示：例6：如圖7所示在平面內(nèi)，已知三點(diǎn)，。圖7下面求解平面的一個(gè)法向量。解法一：求平面的法向量的大小，可以用該平面內(nèi)的兩個(gè)向量的矢性積來(lái)求，即：又，可以求出：解法二：設(shè)平面的方程為將點(diǎn)，的坐標(biāo)分別代入方程可以解出系數(shù)，。在此特別強(qiáng)調(diào)一下，三個(gè)點(diǎn)帶入方程后得到的應(yīng)該是一個(gè)四元三次方程，可能無(wú)解，如果有解，那么一定有無(wú)數(shù)多個(gè)解?？梢酝ㄟ^(guò)解方程，將，全部用表示，這樣就可以

10、得到一個(gè)形如的方程，可以將新得到的方程兩邊同時(shí)除以（，否則，方程無(wú)意義），那么就可以得到平面的方程。得到了平面的一般方程，即得平面的法向量坐標(biāo)。解法三：在圖7中，由所給的信息，可以求出向量、的大小。設(shè)平面的一個(gè)法向量。若，。由，可以得到：可以求解出，的關(guān)系。此方程一定有無(wú)數(shù)多個(gè)解，可以將，用表示。如，由此可知向量是平面的一個(gè)法向量。4.3.3兩平面夾角的公式兩平面相交時(shí)，定義它們之間的夾角為它們法向量的夾角為，其中。于是：4.3.4兩平面的夾角轉(zhuǎn)化成二面角利用上述方法，先求出兩平面的法向量，再求兩平面的夾角，最后可以根據(jù)（1）、（2）求出二面角的大小。例7：如圖8所示，四邊形是一個(gè)矩形，點(diǎn)和點(diǎn)

11、分別在邊和邊上，其中，?，F(xiàn)在以直線為折痕，將三角形折起，得到三角形，同時(shí)使得平面與底面垂直。求二面角的大小。圖8解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖8所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接。可以得到：，。由于，所以。又平面與底面垂直。所以：。即是底面的一個(gè)法向量。設(shè)是平面的一個(gè)法向量。那么：，即：那么：，即。即二面角的大小為4.4另類(lèi)方法比較常用的另類(lèi)方法是四面體體積法、角度法和面積攝影法。4.4.1四面體體積法例8：如圖9所示，在空間四面體中，四面體的所有棱長(zhǎng)都是1，求二面角的大小。圖9分析：過(guò)點(diǎn)作輔助線平面于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作輔助線于點(diǎn)，連接直線，。由于四面體是一個(gè)正四面體,即為所求二面角。（也可以推導(dǎo)

12、出當(dāng)四面體不是正四面體時(shí)同樣是所求的二面角）正四面體的棱長(zhǎng)是1，可以求出正四面體的體積是根據(jù)已知條件可知：， 可以求出：，即：。當(dāng)四面體不是正四面體時(shí)也可以用這種方法求解，只需要知道體積、兩個(gè)面的面積、公共邊的長(zhǎng)度就可以解出二面角的大小了。4.4.2角度法例9：如圖10所示，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三條射線分別是、，其中、的夾角是，、的夾角是，、的夾角是?，F(xiàn)在要求二面角的大小。圖10分析：現(xiàn)在設(shè)，并且（由于、的長(zhǎng)度沒(méi)有給出，這樣的假設(shè)是合理可行的），那么即為所求二面角的大小。根據(jù)已知條件可以得到：， ， 又將、帶入得到：在三角形中, 即：通過(guò)這種方法，可以在沒(méi)有任何長(zhǎng)度條件的情況下求解出二面角的大小，因此

13、，該方法是一個(gè)比較特殊實(shí)用的方法。4.4.3面積射影法例10：如圖11所示，在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、分別在、軸上，現(xiàn)在要求二面角的大小。圖11分析：作并且與相交于點(diǎn)。連接。根據(jù)三垂線定理可知：。即：即為所求二面角。在中，。在中，。并且。是在平面內(nèi)的射影。由以上的條件可以得到：即：（其中是在平面內(nèi)的射影。）用另外一種簡(jiǎn)便語(yǔ)言表示就是：5.小結(jié)首先要指出的是給出的3種另類(lèi)方法，如果給出的問(wèn)題條件特殊，可以用四面體體積法、角度法或者面積射影法來(lái)解決，使用3種另類(lèi)方法無(wú)疑是最簡(jiǎn)單的方法，直接套用公式即可解出結(jié)果。如果遇到的問(wèn)題不能用另類(lèi)方法解決，則盡量運(yùn)用概念法和幾何法來(lái)解決，因?yàn)檫@兩種方法的計(jì)算量小，不容易出錯(cuò)。但是很多問(wèn)題所給的條件不夠的，很多圖形都只給出了部分條件，其他條件需要推導(dǎo)計(jì)算出來(lái)，因此，要靈活運(yùn)用概念法、三垂線法、割補(bǔ)法以及切平面法，有時(shí)甚至需要幾種方