數(shù)理統(tǒng)計-數(shù)據(jù)來分析對象滿足的概率規(guī)律 教學(xué)課件

1、數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院分為分為兩大類兩大類： 一、一、如何科學(xué)地安排試驗如何科學(xué)地安排試驗, 以獲取有效的隨機數(shù)據(jù)以獲取有效的隨機數(shù)據(jù) -描述統(tǒng)計學(xué)描述統(tǒng)計學(xué), ,如：試驗設(shè)計、抽樣方法等。如：試驗設(shè)計、抽樣方法等。二、二、研究如何分析所獲得的隨機數(shù)據(jù)研究如何分析所獲得的隨機數(shù)據(jù), 對所研究的對所研究的問題進行科學(xué)的、合理的估計和推斷問題進行科學(xué)的、合理的估計和推斷, ,盡可能地為盡可能地為采取一定的決策提供依據(jù)采取一定的決策提供依據(jù), ,作出精確而可靠的結(jié)論作出精確而可靠的結(jié)論-推斷統(tǒng)計學(xué)推斷統(tǒng)計學(xué), ,如如: :參數(shù)估計、假設(shè)檢驗等。參數(shù)估計、假設(shè)檢驗等。

2、數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計-數(shù)據(jù)來分析對象滿足的概率規(guī)律數(shù)據(jù)來分析對象滿足的概率規(guī)律. .數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院100個樣品進行強度測試，于是面臨下列幾個問題：個樣品進行強度測試，于是面臨下列幾個問題： 例如例如, ,某廠生產(chǎn)一型號的合金材料某廠生產(chǎn)一型號的合金材料, ,用隨機的方法選取用隨機的方法選取1、估計這批合金材料的強度均值是多少、估計這批合金材料的強度均值是多少?(參數(shù)的點估計參數(shù)的點估計）2、強度均值在什么范圍內(nèi)？、強度均值在什么范圍內(nèi)？(參數(shù)的區(qū)間估計參數(shù)的區(qū)間估計）3、若規(guī)定強度均值不小于某個定值為合格，那么這、若規(guī)定強度均值不小于某個定值為合格，那么這

3、批材料是否合格？批材料是否合格？ (參數(shù)的假設(shè)檢驗參數(shù)的假設(shè)檢驗）4、這批合金的強度是否服從正態(tài)分布？、這批合金的強度是否服從正態(tài)分布？ (分布檢驗分布檢驗）數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院6、若這批合金、若這批合金由幾種原料用不同的比例合成，那么由幾種原料用不同的比例合成，那么如何表達這批合金的強度與原料比例之間的關(guān)系？如何表達這批合金的強度與原料比例之間的關(guān)系？(回歸分析回歸分析問題）問題）5、若這批材料是由兩種不同工藝生產(chǎn)的，那么不同、若這批材料是由兩種不同工藝生產(chǎn)的，那么不同的工藝對合金強度有否影響？的工藝對合金強度有否影響？ 若有影響，那一種若有影響，那一種工

4、藝工藝生產(chǎn)的強度較好？生產(chǎn)的強度較好？ (方差分析方差分析）數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院1.2 充分統(tǒng)計量與完備統(tǒng)計量充分統(tǒng)計量與完備統(tǒng)計量1.1 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念數(shù)理統(tǒng)計的基本概念 1.3 幾個常用的分布幾個常用的分布 1.4 次序統(tǒng)計量及其分布次序統(tǒng)計量及其分布 第第1章章 統(tǒng)計量與抽樣分布統(tǒng)計量與抽樣分布數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院一、總體與樣本一、總體與樣本1.總體總體 研究對象的某項數(shù)量指標值全體稱為總體研究對象的某項數(shù)量指標值全體稱為總體 或母體或母體, 總體中每個元素稱為總體中每個元素稱為個體個體。研究某批燈泡的質(zhì)量研究某

5、批燈泡的質(zhì)量總體總體考察國產(chǎn)考察國產(chǎn) 轎車的質(zhì)量轎車的質(zhì)量總體總體1.1 基本概念基本概念數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院考察某工廠生產(chǎn)的燈泡壽命考察某工廠生產(chǎn)的燈泡壽命考察某型號手機的質(zhì)量考察某型號手機的質(zhì)量考察吸煙和患肺癌的關(guān)系考察吸煙和患肺癌的關(guān)系破壞性的試驗更是不允許對整個總體進行考察破壞性的試驗更是不允許對整個總體進行考察.在實際問題中在實際問題中,要考察整個總體往往是不可能的，要考察整個總體往往是不可能的，因為它需要耗費太多的資源和太多的時間因為它需要耗費太多的資源和太多的時間. 有些有些2. 樣本樣本數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

6、樣本中所包含的個體數(shù)目稱為樣本中所包含的個體數(shù)目稱為樣本容量樣本容量. .從國產(chǎn)轎車中從國產(chǎn)轎車中抽抽5 5輛進行輛進行耗油量試驗耗油量試驗樣本容量為樣本容量為5 5。為了推斷總體分布及各種特征，為了推斷總體分布及各種特征， 一個可行的辦法一個可行的辦法是從該總體中按一定的規(guī)則抽取若干個個體進行觀察是從該總體中按一定的規(guī)則抽取若干個個體進行觀察和試驗，和試驗，以獲得有關(guān)總體的信息以獲得有關(guān)總體的信息. . 這一抽取過程稱為這一抽取過程稱為 “ “抽樣抽樣”, , 所抽取的部分個體稱為所抽取的部分個體稱為樣本樣本. .數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院方法方法. 由于抽樣的

7、目的是為了對總體進行統(tǒng)計推斷，由于抽樣的目的是為了對總體進行統(tǒng)計推斷，為了使抽取的樣本能很好地反映總體，為了使抽取的樣本能很好地反映總體， 必須考慮抽樣必須考慮抽樣 統(tǒng)計中統(tǒng)計中, 采用的抽樣方法是隨機抽樣法采用的抽樣方法是隨機抽樣法, 即子樣即子樣中每個個體是從母體中隨意地取出來的。中每個個體是從母體中隨意地取出來的。數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院（1） 重復(fù)（返回）抽樣重復(fù)（返回）抽樣分量分量Xk與所考察的總體有相同的分布與所考察的總體有相同的分布,從總體中抽取個體檢查后放回，從總體中抽取個體檢查后放回， 母體成分不變（分布不變）母體成分不變（分布不變）1,2,

8、.kn 相互獨立的隨機變量相互獨立的隨機變量.12,nXXX12,nXXX數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院對無限母體而言做無返回抽取，并不改變母體的成分對無限母體而言做無返回抽取，并不改變母體的成分獨立且同分布于母體獨立且同分布于母體12,nX XX（2） 非重復(fù)（無返回）抽樣非重復(fù)（無返回）抽樣nXXX12,取出樣本后改變了母體的成分，所以取出樣本后改變了母體的成分，所以nXXX12, 對有限母體，對有限母體，不相互獨立，不相互獨立，最常用的抽樣方法叫做最常用的抽樣方法叫做 “簡單隨機抽樣簡單隨機抽樣”數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院(2) 獨

9、立同分布性獨立同分布性簡單隨機抽樣簡單隨機抽樣要求抽取的樣本滿足要求抽取的樣本滿足:(1) 代表性代表性（隨機性）：（隨機性）：其中每一個其中每一個每一個個體被抽到的可能性相同。每一個個體被抽到的可能性相同。從總體中抽取樣本的每一個從總體中抽取樣本的每一個分量分量Xk 是隨機的是隨機的,1,2, .kn 是相互獨立的隨機變量是相互獨立的隨機變量.12,nXXX今后當(dāng)說到今后當(dāng)說到“X1,X2,Xn是取自某總體的樣本是取自某總體的樣本”時時，若不特別說，若不特別說明，就指簡單隨機樣本明，就指簡單隨機樣本.簡單隨機樣本可以用與總體同分布的簡單隨機樣本可以用與總體同分布的n個相互獨立的個相互獨立的隨

10、機變量隨機變量表示表示.12,nXXX分量分量Xk與所考察的總體有相同的分布與所考察的總體有相同的分布,數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院若總體若總體X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 ,xF聯(lián)合分布函數(shù)為聯(lián)合分布函數(shù)為121()()()()nnkkF x F xF xF x 若總體若總體X的分布密度函數(shù)為的分布密度函數(shù)為( ),f x則其簡單隨機樣本的則其簡單隨機樣本的則其簡單隨機樣本的則其簡單隨機樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為聯(lián)合密度函數(shù)為離散總體離散總體( )( )()()iiXP xP Xx則樣本的分布列則樣本的分布列 121() ()()nnkkP x P xP xP x = =

11、121() ()()()nniif xf xf xf x 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院111()(1)iinnxxiiiP xpp = =11(1)nniiiixnxpp 樣本的聯(lián)合分布為樣本的聯(lián)合分布為(1)總體總體X的分布律為的分布律為例例1 對下列總體分別求出樣本的聯(lián)合分布對下列總體分別求出樣本的聯(lián)合分布);, 1()1(pbX),()2(2 NX1()(1)iixxiiP xP Xxpp 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院22()21( ),2xf xe x1()niif x 2211212niinxe 樣本的聯(lián)合概率密度為樣本的聯(lián)合概

12、率密度為(2)總體總體X的概率密度為的概率密度為例例1 對下列總體分別求出樣本的聯(lián)合分布對下列總體分別求出樣本的聯(lián)合分布);, 1()1(pbX),()2(2 NX數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院我們只能觀察到隨機變量取的值我們只能觀察到隨機變量取的值,而見不到隨機變量而見不到隨機變量.我們抽樣后得到的資料都是具體的、確定的值我們抽樣后得到的資料都是具體的、確定的值.如我們從某班學(xué)生中抽取如我們從某班學(xué)生中抽取10人測量身高人測量身高,得到得到10個數(shù)個數(shù),它們是樣本取到的值而不是樣本它們是樣本取到的值而不是樣本.因而可以由樣本值去推斷總體因而可以由樣本值去推斷總體.

13、總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本也就是樣本取到樣本值的規(guī)律，取到樣本值的規(guī)律，去推斷總體的情況去推斷總體的情況-總體分布總體分布F(x)的性質(zhì)的性質(zhì).樣本是聯(lián)系二者的橋梁樣本是聯(lián)系二者的橋梁統(tǒng)計是從手中已有的資料統(tǒng)計是從手中已有的資料-樣本值，樣本值，3. 總體、樣本、樣本值的關(guān)系總體、樣本、樣本值的關(guān)系數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院4. 樣本的分布樣本的分布1）樣本的頻數(shù)分布）樣本的頻數(shù)分布將將n個樣本值個樣本值nxxx,21按從小到大排列按從小到大排列,把相同把相同的數(shù)合并的數(shù)合并,并指出其頻數(shù)（樣本中各數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)）

14、并指出其頻數(shù)（樣本中各數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)） x頻數(shù)頻數(shù)頻率頻率*1x*2x*lx1m2mlmnm1nm2nmlnmlii1*21lxxx數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院1）樣本的經(jīng)驗分布函數(shù)）樣本的經(jīng)驗分布函數(shù)樣本值樣本值Rxxxxn，對,21)(xm 樣本值小于或等于樣本值小于或等于x的個數(shù)的個數(shù),作作nxmxFn)()( 樣本的經(jīng)驗分布函數(shù)樣本的經(jīng)驗分布函數(shù)給出了在給出了在n次獨立重復(fù)試驗中，事件次獨立重復(fù)試驗中，事件xX 出現(xiàn)的頻率，具有分布函數(shù)的一切性質(zhì)。如：出現(xiàn)的頻率，具有分布函數(shù)的一切性質(zhì)。如：非降，右連續(xù)；非降，右連續(xù)；, 1)(, 0)(nnFF數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)

15、計太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院由頻數(shù)分布知由頻數(shù)分布知1*112*1223*121*0 */ * ()/ *( )()/ *1 nkkklxxmnxxxmmnxxxFxmmmnxxxxx數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院若樣本為若樣本為n維維r.vr.v, ,那么對于每一樣本值那么對于每一樣本值12(,)nxxx就可作一個經(jīng)驗分布函數(shù)，故就可作一個經(jīng)驗分布函數(shù)，故( )nFx是隨機變量是隨機變量-n次獨立重復(fù)試驗中，事件次獨立重復(fù)試驗中，事件xX 發(fā)生的頻率。發(fā)生的頻率。的概率的分布函數(shù)，表示事件是總體xXXxF)(由伯努利大數(shù)定律，由伯努利大數(shù)定律，0 li

16、m( )( )1.nnPFxF x )(xFn數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院這就是我們可以由樣本推斷總體的基本理論依據(jù)這就是我們可以由樣本推斷總體的基本理論依據(jù). .格列汶科進一步證明了：當(dāng)格列汶科進一步證明了：當(dāng)n時，時，F(xiàn)n(x)以概率以概率1 1關(guān)于關(guān)于x一致收斂于一致收斂于F(x)，即，即這就是著名的格列汶科定理這就是著名的格列汶科定理. . 10| )()(|suplimxFxFPnxn定理告訴我們，當(dāng)樣本容量定理告訴我們，當(dāng)樣本容量n足夠大時，對所有足夠大時，對所有的的x, , Fn(x)與與F(x)之差的絕對值都很小，這件事之差的絕對值都很小，這件事發(fā)生

17、的概率為發(fā)生的概率為1. 1. 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院5 5、直方圖、直方圖(1)(1)離散情況離散情況Xkp1x2x1p2pkxkp(2)(2)連續(xù)情況連續(xù)情況其中其中 為未知。如何估計為未知。如何估計 ？ ipip 設(shè)總體設(shè)總體X為連續(xù)型隨機變量，如何估計未為連續(xù)型隨機變量，如何估計未知的密度函數(shù)知的密度函數(shù)f (x) ?數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院定義定義1 設(shè)設(shè) ),(21nXXXgnXXX,21是來自總體是來自總體X的一個樣本，的一個樣本，為一實值連續(xù)函數(shù)，為一實值連續(xù)函數(shù)， 其不包含任何其不包含任何未知參數(shù)，則稱未知參數(shù)

18、，則稱),(21nXXXg為一個為一個統(tǒng)計量統(tǒng)計量。),(21nxxxg為為),(21nXXXg的觀測值。的觀測值。注：注：),(21nXXXg是隨機變量的函數(shù)仍為隨機變量。是隨機變量的函數(shù)仍為隨機變量。),(21nxxxg便是一個數(shù)。便是一個數(shù)。 注：統(tǒng)計量是隨機變量。注：統(tǒng)計量是隨機變量。二、二、 統(tǒng)計量統(tǒng)計量1. 統(tǒng)計量統(tǒng)計量數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院例例121( ,),nXNXX 121111,max(,)nniiniiXXXXXnn為來自總體的樣本為來自總體的樣本 未知，未知， 已知，判斷下列函數(shù)哪些是統(tǒng)計量。已知，判斷下列函數(shù)哪些是統(tǒng)計量。 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)

19、理統(tǒng)計太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 2. 幾個常見的統(tǒng)計量幾個常見的統(tǒng)計量樣本均值樣本均值樣本方差樣本方差niiXnX11 niinXXnS1221)(它反映了總體它反映了總體 均值的信息均值的信息nXX,1是來自總體是來自總體X的一個樣本，的一個樣本，它反映了總體它反映了總體 方差的信息方差的信息 niinnXXnSS1221)(樣本標準差樣本標準差數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院修正樣本方差修正樣本方差212211SXXnSniin :)(*221*)(nnSnnS 樣本樣本k 階原點矩階原點矩nikikXnA11 它反映了總體它反映了總體k階矩階矩的信

20、息的信息數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院樣本樣本k 階原點矩階原點矩樣本樣本k 階中心矩階中心矩nikikXnA11nikikXXnB1)(1 它反映了總體它反映了總體k 階階中心矩的信息中心矩的信息, 2 , 1 k.,221BSAXn 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院21)( niiXX niiXnX122證證 左邊左邊2212niiiXX XX niniiiXnXXX121222212niiXX nXnX niiXnX122重要公式重要公式 niiXnX11數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院常見統(tǒng)計量的性質(zhì)常見統(tǒng)計量的性質(zhì))()()1(XEXE )1()(1 niiXnEXE)(11 niiXEn)(XE nXDXD)()()2( )1()(1 niiXnDXD)(112 niiXDn21()nD Xn ()D X