向量公式匯總

1、向量公式匯總平面向量1、向量的加法 向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的運(yùn)算律： 交換律：a+b=b+a； 結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的減法 如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0 AB-AC=CB. 即“共同起點(diǎn)，指向被減” a=(x,y) b=(x',y') 則 a-b=(x-x',y-y'). 3、數(shù)乘向量 實(shí)數(shù)和向量a的乘積是一個(gè)向量，記作a，且a=a。 當(dāng)0時(shí)，a與a同方向； 當(dāng)

2、0時(shí)，a與a反方向； 當(dāng)=0時(shí)，a=0，方向任意。 當(dāng)a=0時(shí)，對于任意實(shí)數(shù)，都有a=0。 注：按定義知，如果a=0，那么=0或a=0。 實(shí)數(shù)叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量a的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。 當(dāng)1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向（0）或反方向（0）上伸長為原來的倍； 當(dāng)1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向（0）或反方向（0）上縮短為原來的倍。 數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律 結(jié)合律：(a)b=(ab)=(ab)。 向量對于數(shù)的分配律（第一分配律）：(+)a=a+a. 數(shù)對于向量的分配律（第二分配律）：(a+b)=a+b. 數(shù)乘向量的消去律： 如果實(shí)數(shù)0且a=b，那么a

3、=b。 如果a0且a=a，那么=。 4、向量的的數(shù)量積 定義：已知兩個(gè)非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作a,b并規(guī)定0a,b 定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積（內(nèi)積、點(diǎn)積）是一個(gè)數(shù)量，記作ab。若a、b不共線，則ab=|a|b|cosa，b；若a、b共線，則ab=+-ab。 向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：ab=xx'+yy'。 向量的數(shù)量積的運(yùn)算律 ab=ba（交換律）； (a)b=(ab)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律)； （a+b)c=ac+bc（分配律）； 向量的數(shù)量積的性質(zhì) aa=|a|的平方。 ab =ab=0。 |ab|a|b|。 向量的數(shù)量積與實(shí)

4、數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn) 1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：(ab)ca(bc)；例如：(ab)2a2b2。 2、向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由 ab=ac (a0)，推不出 b=c。 3、|ab|a|b| 4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。 5、向量的向量積 定義：兩個(gè)向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個(gè)向量，記作a×b。若a、b不共線，則a×b的模是：a×b=|a|b|sina，b；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個(gè)次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則a×b=0。 向量的向量積性質(zhì)： a×b

5、是以a和b為邊的平行四邊形面積。 a×a=0。 ab=a×b=0。 向量的向量積運(yùn)算律 a×b=-b×a； （a）×b=（a×b）=a×（b）； （a+b）×c=a×c+b×c. 注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。 向量的三角形不等式 1、a-ba+ba+b； 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，左邊取等號； 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，右邊取等號。 2、a-ba-ba+b。 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，左邊取等號； 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，右邊取等號。 6.定比分點(diǎn) 定比分點(diǎn)公式（向量P1P=向量PP

6、2） 設(shè)P1、P2是直線上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)。則存在一個(gè)實(shí)數(shù) ，使 向量P1P=向量PP2，叫做點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比。 若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有 OP=(OP1+OP2)(1+)；（定比分點(diǎn)向量公式） x=(x1+x2)/(1+), y=(y1+y2)/(1+)。（定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式） 我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點(diǎn)公式 三點(diǎn)共線定理 若OC=OA +OB ,且+=1 ,則A、B、C三點(diǎn)共線 三角形重心判斷式 在ABC中，若GA +GB +GC=O,則G為ABC的重心 編輯本段向量共線的重要條件 若b0，則a/

7、b的重要條件是存在唯一實(shí)數(shù)，使a=b。 a/b的重要條件是 xy'-x'y=0。 零向量0平行于任何向量。 編輯本段向量垂直的充要條件 ab的充要條件是 ab=0。 ab的充要條件是 xx'+yy'=0。 零向量0垂直于任何向量.空間向量令=(a1,a2,a3),，則共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.如果三個(gè)向量不共面：那么對空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使.推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P, 都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z使 (這里隱含x+y+z1).向量垂直 。 空間兩個(gè)向量的夾角公式（a，b）?？臻g兩點(diǎn)的距離公式：.利用法向量求點(diǎn)到面的距離：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點(diǎn)B到平面的距