反函數(shù)典型例題

1、反函數(shù)求值例1、設(shè) 有反函數(shù) ，且函數(shù) 與 互為反函數(shù)，求 的值分析：本題對(duì)概念要求較強(qiáng)，而且函數(shù)不具體，無法通過算出反函數(shù)求解，所以不妨試試“賦值法”，即給變量一些適當(dāng)?shù)闹悼纯茨艿玫绞裁春蠊猓涸O(shè) ，則點(diǎn) 在函數(shù) 的圖象上，從而點(diǎn) 在函數(shù) 的圖象上，即 由反函數(shù)定義有 ，這樣即有 ，從而 小結(jié)：利用反函數(shù)的概念，在不同式子間建立聯(lián)系，此題考查對(duì)反函數(shù)概念的理解，符號(hào)間關(guān)系的理解兩函數(shù)互為反函數(shù),確定兩函數(shù)的解析式例2 若函數(shù) 與函數(shù) 互為反函數(shù)，求 的值.分析：常規(guī)思路是根據(jù)已知條件布列關(guān)于 的三元方程組，關(guān)鍵是如何布列？如果注意到g(x)的定義域、值域已知，又 與g(x)互為反函數(shù)，其定義

2、域與值域互換，有如下解法：解： g(x)的定義域?yàn)?且 ， 的值域?yàn)?. 又g(x) 的定義域就是 的值域, . g(x) 的值域?yàn)?, 由條件可知 的定義域是 , , . . 令 , 則 即點(diǎn)(3,1) 在 的圖象上. 又 與g(x) 互為反函數(shù), (3,1) 關(guān)于 的對(duì)稱點(diǎn)(1,3) 必在g(x)的圖象上. 3=1+ , . 故 .判斷是否存在反函數(shù)例3、給出下列函數(shù): (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) .其中不存在反函數(shù)的是_.分析:判斷一個(gè)函數(shù)是否有反函數(shù),從概念上講即看對(duì)函數(shù)值域內(nèi)任意一個(gè) ,依照這函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則,自變量 總有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng),由于這種判斷難

3、度較大,故通常對(duì)給 出的函數(shù)的圖象進(jìn)行觀察,斷定是否具有反函數(shù).解: (1) ,(2)都沒有問題,對(duì)于(3)當(dāng) 時(shí), 和 ,且 .對(duì)于(4) 時(shí), 和 .對(duì)于(5)當(dāng) 時(shí), 和 .故(3),(4),(5)均不存在反函數(shù).小結(jié):從圖象上觀察,只要看在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)是否單調(diào)即可.求復(fù)合函數(shù)的反函數(shù)例4、已知函數(shù) , ,求 的反函數(shù).分析: 由于已知是 ,所求是 的反函數(shù),因此應(yīng)首先由 找到 ,再由 求出 的表達(dá)式,再求反函數(shù).解:令 ,則 , , , .于是有 . 由 得 ,由于 , . 又 , 的值域是 , 的反函數(shù)是 .小結(jié):此題涉及對(duì)抽象函數(shù)符號(hào)的認(rèn)識(shí)與理解,特別是在換元過程中,相應(yīng)變量的取值

4、范圍也要隨之發(fā)生改變,這一點(diǎn)是學(xué)生經(jīng)常忽略的問題.原來的函數(shù)與反函數(shù)解析式相同求系數(shù)例5、已知函數(shù) 與其反函數(shù) 是同一個(gè)一次函數(shù) ,試指出 的所有取值可能.分析:此題可以有兩種求解思路:一是求解 的反函數(shù)的解析式,與 比較, 讓對(duì)應(yīng)系數(shù)相等,列出關(guān)于 的方程,二是利用兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性,找對(duì)稱點(diǎn),利用點(diǎn)的坐標(biāo)滿足解析式來列方程.解：由 知點(diǎn) 在圖象上,則點(diǎn) 定在 的圖象上,于是 (1)又 過點(diǎn) ,則點(diǎn) 也在 的圖象上,于是 (2)由(1)得 或 ,當(dāng) 時(shí),代入(2),此時(shí)(2)恒成立即 ;當(dāng) 代入(2)解得 .綜上, 的所有取值可能有 或 .小結(jié):此題是反函數(shù)概念與方程思想的綜合.在這個(gè)題目中特殊點(diǎn)的選取一般是考慮計(jì)算簡(jiǎn)單方便,而且這種取特殊點(diǎn)列方程的方法在其他地方也有應(yīng)用,故對(duì)此種方法要引起重 視.另外此題在最后作答時(shí),要求寫出 的所有取值可能即要把 的取值與 的取值 搭配在一起,所以解方程組時(shí)要特別小心這一點(diǎn).選題角度：反函數(shù)圖象關(guān)系、將反函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為原函數(shù)、利用性質(zhì)求解析式、兩函數(shù)