值域求法--數(shù)形結(jié)合法等

1、函數(shù)值域求法小結(jié)一、觀察法（根據(jù)函數(shù)圖象、性質(zhì)能較容易得出值域(最值)的簡單函數(shù)）1、求的值域。由絕對值函數(shù)知識及二次函數(shù)值域的求法易得：2、求函數(shù)的值域。分析：首先由0，得+11，然后在求其倒數(shù)即得答案。解：0+11，函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ?、配方法（?dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時，可利用配方法求值域）1、求函數(shù)的值域。設(shè)：配方得：利用二次函數(shù)的相關(guān)知識得，從而得出：。說明：在求解值域(最值)時，遇到分式、根式、對數(shù)式等類型時要注意函數(shù)本身定義域的限制，本題為：。2、求函數(shù)的值域。解答：此題可以看作是和兩個函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，對配方可得：，得到函數(shù)的最大值，再根據(jù)得到為增函數(shù)且故

2、函數(shù)的值域?yàn)椋骸?、若，試求的最大值。本題可看成一象限動點(diǎn)在直線上滑動時函數(shù)的最大值。利用兩點(diǎn)(4，0)，(0，2)確定一條直線，作出圖象易得：，y=1時，取最大值。三、反函數(shù)法（分子、分母只含有一次項(xiàng)的函數(shù)，也可用于其它易反解出自變量的函數(shù)類型）對于存在反函數(shù)且易于求得其反函數(shù)的函數(shù)，可以利用“原函數(shù)的定義域和值域分別為其反函數(shù)的值域和定義域”這一性質(zhì)，先求出其反函數(shù)，進(jìn)而通過求其反函數(shù)的定義域的方法求原函數(shù)的值域。1、求函數(shù)的值域。由于本題中分子、分母均只含有自變量的一次型，易反解出x，從而便于求出反函數(shù)。反解得即故函數(shù)的值域?yàn)椋骸＃ǚ春瘮?shù)的定義域即是原函數(shù)的值域）2、求函數(shù)的值域。解答：

3、先證明有反函數(shù)，為此，設(shè)且，。所以為減函數(shù)，存在反函數(shù)。可以求得其反函數(shù)為：。此函數(shù)的定義域?yàn)?，故原函?shù)的值域?yàn)?。四、判別式法（分子、分母中含有二次項(xiàng)的函數(shù)類型，此函數(shù)經(jīng)過變形后可以化為的形式，再利用判別式加以判斷）1、求函數(shù)的值域。由于本題的分子、分母均為關(guān)于x的二次形式，因此可以考慮使用判別式法，將原函數(shù)變形為：整理得：當(dāng)時，上式可以看成關(guān)于的二次方程，該方程的范圍應(yīng)該滿足即此時方程有實(shí)根即，注意：判別式法解出值域后一定要將端點(diǎn)值（本題是）代回方程檢驗(yàn)。將分別代入檢驗(yàn)得不符合方程，所以。2、求函數(shù)的值域。解答：先將此函數(shù)化成隱函數(shù)的形式得：，(1)這是一個關(guān)于的一元二次方程，原函數(shù)有定義，

4、等價于此方程有解，即方程(1)的判別式，解得：。故原函數(shù)的值域?yàn)椋骸Ｎ?、換元法（通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是無理函數(shù)、三角函數(shù)（用三角代換）等）1、求函數(shù)的值域。由于題中含有不便于計算，但如果令：注意從而得：變形得即：注意：在使用換元法換元時一定要注意新變量的范圍，否則將會發(fā)生錯誤。2、已知是圓上的點(diǎn)，試求的值域。在三角函數(shù)章節(jié)中我們學(xué)過：注意到可變形為：令2p)則p)即故3、試求函數(shù)的值域。題中出現(xiàn)，而由此聯(lián)想到將視為一整體，令由上面的關(guān)系式易得故原函數(shù)可變形為：六、數(shù)形結(jié)合法（對于一些能夠準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖像的函數(shù)來說，可以先畫出其函數(shù)圖像，然后利用函數(shù)圖像求其值域）1、

5、求函數(shù)的值域。分析與解：看到該函數(shù)的形式，我們可聯(lián)想到直線中已知兩點(diǎn)求直線的斜率的公式，將原函數(shù)視為定點(diǎn)(2，3)到動點(diǎn)的斜率，又知動點(diǎn)滿足單位圓的方程，從而問題就轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)（2，3）到單位圓連線的斜率問題，作出圖形觀察易得的最值在直線和圓上點(diǎn)的連線和圓相切時取得，從而解得：2、求函數(shù)的值域。分析：此題首先是如何去掉絕對值，將其做成一個分段函數(shù)。在對應(yīng)的區(qū)間內(nèi)，畫出此函數(shù)的圖像，如圖1所示，易得出函數(shù)的值域?yàn)?。七、不等式法（能利用幾個重要不等式及推論來求得最值。（如：），利用此法求函數(shù)的值域，要合理地添項(xiàng)和拆項(xiàng)，添項(xiàng)和拆項(xiàng)的原則是要使最終的乘積結(jié)果中不含自變量，同時，利用此法時應(yīng)注意取成立的條

6、件。）1、當(dāng)時，求函數(shù)的最值，并指出取最值時的值。因?yàn)榭衫貌坏仁郊矗核援?dāng)且僅當(dāng)即時取“=”當(dāng)時取得最小值12。2、雙曲線的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值是（）。A B4 C2 D根據(jù)雙曲線的離心率公式易得：，我們知道所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）而故（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）。說明：利用均值不等式解題時一定要注意“一正，二定，三等”三個條件缺一不可。3、求函數(shù)的值域。解答：，當(dāng)且僅當(dāng)時成立。故函數(shù)的值域?yàn)?。此法可以靈活運(yùn)用，對于分母為一次多項(xiàng)式的二次分式，當(dāng)然可以運(yùn)用判別式法求得其值域，但是若能變通地運(yùn)用此法，可以省去判別式法中介二次不等式的過程。4、求函數(shù)的值域。解答：此題可以利用判別式

7、法求解，這里考慮運(yùn)用基本不等式法求解此題，此時關(guān)鍵是在分子中分解出項(xiàng)來，可以一般的運(yùn)用待定系數(shù)法完成這一工作，辦法是設(shè)：，將上面等式的左邊展開，有：，故而，。解得，。從而原函數(shù)；)當(dāng)時，此時，等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)。)當(dāng)時，此時有，等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)。綜上，原函數(shù)的值域?yàn)椋?。八、部分分式法（分離常數(shù)法）（分式且分子、分母中有相似的項(xiàng)，通過該方法可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為為(常數(shù))的形式）1、求函數(shù)的值域。觀察分子、分母中均含有項(xiàng)，可利用部分分式法；則有不妨令：從而注意：在本題中應(yīng)排除，因?yàn)樽鳛榉帜?。所以?、如對于函數(shù)，利用恒等變形，得到：，容易觀察得出此函數(shù)的值域?yàn)?。注意到分時的分子、分母的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，分離出一個常數(shù)后，再通過觀察或配方等其他方法易得函數(shù)值域。九、單調(diào)性法（利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域）1、求函數(shù)的值域。由于函數(shù)本身是由一個對數(shù)函數(shù)（外層函數(shù)）和二次函數(shù)（內(nèi)層函數(shù)）復(fù)合而成，故可令：配方得：由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（同增異減）知：。當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)，譬如在上遞增時，自然有函數(shù)在上的值域?yàn)?其中，當(dāng)時，也稱其存在，記為);若在上遞減，函數(shù)在上的值域?yàn)椤Ｔ陂]區(qū)間上也有相應(yīng)的結(jié)論。2、求函數(shù)的值域。此題可以看作和，的復(fù)合函數(shù)，顯然函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，易驗(yàn)證亦是單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)也是單調(diào)遞增函數(shù)。而此函數(shù)的定義域?yàn)?。?dāng)時，取得最小值。當(dāng)時