任意角的正弦、余弦、正切

1、任意角的三角函數(shù)課 型：新授課課 時(shí)：1課時(shí)教材分析本節(jié)課是三角函數(shù)這一章里非常重要的一節(jié)課，它是本章的基礎(chǔ)，主要是從通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，從而很好理解任意角的三角函數(shù)的定義。三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用。我們要借助單位圓去理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，為后面的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。在本模塊中，學(xué)生將通過實(shí)例學(xué)習(xí)三角函數(shù)及其基本性質(zhì)，體會(huì)三角函數(shù)在解決具有變化規(guī)律的問題中的作用。教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能： 掌握任意角的三角函數(shù)的定義；已知角終邊上一點(diǎn)，會(huì)求角的各三角函數(shù)值；記住三角函數(shù)的定義域、值

2、域，誘導(dǎo)公式（一）。2、過程與方法： 理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義；樹立映射觀點(diǎn)，正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)；通過對(duì)定義域，三角函數(shù)值的符號(hào)，誘導(dǎo)公式一的推導(dǎo)，提高學(xué)生分析、探究、解決問題的能力。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物之間是有聯(lián)系的，三角函數(shù)就是角度（自變量）與比值（函數(shù)值）的一種聯(lián)系方式；學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、一絲不茍的科學(xué)精神。教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：三角函數(shù)的定義；三角函數(shù)的定義域及其確定方法；三角函數(shù)值在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)以及誘導(dǎo)公式一難點(diǎn)：任意角正弦、余弦、正切的定義教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入思考：我們已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比

3、值為函數(shù)值的函數(shù)，你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)嗎？結(jié)論：在RtABC中，設(shè)A對(duì)邊為a，B對(duì)邊為b，C對(duì)邊為c，銳角A的正弦，余弦，正切依次為： 。銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)。思考1:角推廣后，這樣的三角函數(shù)的定義不再適用，我們必須對(duì)三角函數(shù)重新定義。你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)嗎?如圖,設(shè)銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的正半軸重合,那么它的終邊在第一象限.在的終邊上任取一點(diǎn),它與原點(diǎn)的距離.過作軸的垂線,垂足為,則線段的長度為,線段的長度為.則 ; .思考2：對(duì)于確定的角，這三個(gè)比值是否會(huì)隨點(diǎn)在的終邊上的位置的改變而

4、改變呢？為什么?根據(jù)相似三角形的知識(shí)，對(duì)于確定的角，三個(gè)比值不以點(diǎn)P在的終邊上的位置的改變而改變大小.我們可以將點(diǎn)P取在使線段的長的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)：; ; .單位圓:在直角坐標(biāo)系中,我們稱以原點(diǎn)為圓心,以單位長度為半徑的圓稱為單位圓.上述P點(diǎn)就是的終邊與單位圓的交點(diǎn), 銳角的三角函數(shù)可以用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示.二、新課講授1.任意角的三角函數(shù)的定義結(jié)合上述銳角的三角函數(shù)值的求法,我們應(yīng)如何求解任意角的三角函數(shù)值呢? 顯然,我們可以利用單位圓來定義任意角的三角函數(shù).如圖,設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn),那么:(1)叫做的正弦,記做,即

5、；(2)叫做的余弦,記做,即；(3)叫做的正切,記做,即.思考3:在上述三角函數(shù)定義中,自變量是什么?對(duì)應(yīng)關(guān)系有什么特點(diǎn),函數(shù)值是什么?說明:(1)當(dāng)時(shí)，的終邊在軸上，終邊上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于，所以無意義,除此情況外，對(duì)于確定的值，上述三各值都是唯一確定的實(shí)數(shù).(2)當(dāng)是銳角時(shí)，此定義與初中定義相同；當(dāng)不是銳角時(shí)，也能夠找出三角函數(shù)，因?yàn)椋热挥薪?，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點(diǎn)，從而就必然能夠最終算出三角函數(shù)值.(3)正弦,余弦,正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將這種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).2.利用定義求角的三角函數(shù)值例1.求的正弦,余弦和正切

6、值.解：在直角坐標(biāo)系中，作, 的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以思考：如果將變?yōu)槟兀坷?已知角的終邊過點(diǎn)，求角的正弦,余弦和正切值.思考1：如何根據(jù)例題1解答思考2：一般的，設(shè)角終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）,它與原點(diǎn)的距離為r,則，你能自己給出證明嗎？思考3：如果將題目中的坐標(biāo)改為（-3a，-4a）,題目又應(yīng)該怎么做？3三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值符號(hào)探究：請(qǐng)根據(jù)上述任意角的三角函數(shù)定義，先將正弦，余弦和正切函數(shù)在弧度制下的定義域填入下表，再將這三種函數(shù)的值再各象限的符號(hào)填入下表函 數(shù)定義 域例3, 求證：當(dāng)下列不等式組成立時(shí)，角為第三象限角，反之也對(duì) 證明：如果成立，那么角的終邊可能位于第三或第四象限，也可能與軸的非負(fù)半軸重合;如果，所以角的終邊可能位于第一或第三象限所以，角的終邊只能位于第三象限，時(shí)第三象限角反過來，請(qǐng)同學(xué)們自己證明 變式訓(xùn)練判斷下列各式的符號(hào) 1. 2. ； 求函數(shù)的定義域4.誘導(dǎo)公式一由三角函數(shù)的定義，可以知道，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等，由此得到一組公式 利用公式一，可以把任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0到的三角函數(shù)值例4.確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)： （1） （2） （3） （4）變式訓(xùn)練：求下列各式的值 （1） ；（2） 三、課堂小結(jié)任意角的三角函數(shù)的定義；三角函數(shù)的定義域及三角函數(shù)值的符號(hào)；誘導(dǎo)公式（一）四、作業(yè) P106習(xí)題5.3