定積分在生活中的應(yīng)用

1、 PINGDINGSHAN UNIVERSITY院 系 : 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院 題 目 : 定積分在生活中的應(yīng)用 年級專業(yè) : 11級市場營銷班 學(xué)生姓名 : 孫 天 鵬 定積分在生活中的應(yīng)用定積分作為大學(xué)里很重要的一部分，在生活有廣泛的應(yīng)用。微積分是與應(yīng)用聯(lián)系發(fā)展起來的，最初牛頓應(yīng)用微積分是為了從萬有引力導(dǎo)出行星三定律，此后，微積分極大的推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)也極大的推動了天文學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)的發(fā)展，而且隨著人類知識的不斷發(fā)展，微積分正指引著人類走向認(rèn)知的殿堂。一、定積分的概述1、定積分的定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界.在中任意插入若干個(gè)分點(diǎn),把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間且各個(gè)小區(qū)間的

2、長度依次為， ，。在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作函數(shù)與小區(qū)間長度的乘積（），作出和 。記作極限如果不論對怎樣分法，也不論在小區(qū)間上點(diǎn)怎樣取法，只要當(dāng)時(shí)，和總趨于確定的極限，這時(shí)我們稱這個(gè)極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分（簡稱積分），記作，即=, 其中叫做被積函數(shù)，叫做被積表達(dá)式，叫做積分變量，叫做積分下限，叫做積分上限，叫做積分區(qū)間。2定積分的性質(zhì)設(shè)函數(shù)和在上都可積，是常數(shù)，則和+都可積，并且性質(zhì)1 =;性質(zhì)2 =+=-.性質(zhì)3 定積分對于積分區(qū)間的可加性設(shè)在區(qū)間上可積，且，和都是區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，則不論，和的相對位置如何，都有=+。性質(zhì) 4 如果在區(qū)間上1，則=。性質(zhì) 5 如果在區(qū)間上,則。性質(zhì) 6 如果在

3、上,則性質(zhì) 7（定積分中值定理）如果在上連續(xù)，則在上至少存一點(diǎn)使得 3定理定理1 微積分基本定理如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),則積分上限函數(shù)=在上可導(dǎo),并且它的導(dǎo)數(shù)是 =.定理 2 原函數(shù)存在定理如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),則函數(shù)=就是在上的一個(gè)原函數(shù).定理3 如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù),則 = 稱上面的公式為牛頓-萊布尼茨公式.二 、定積分的應(yīng)用1、定積分在幾何中的應(yīng)用（1）設(shè)連續(xù)函數(shù)和滿足條件，求曲線，及直線所圍成的平面圖形的面積（如圖1）解法步驟： 第一步：在區(qū)間上任取一小區(qū)間，并考慮它上面的圖形的面積，這塊面積可用以為高，以為底的矩形面積近似，于是第二步：在區(qū)間上將無限求和，得到.圖2

4、（2）上面所訴方法是以為積分變量進(jìn)行微元，再求得所圍成圖形的面積；我們還可以將作為積分變量進(jìn)行微元，再求圍成的面積。由連續(xù)曲線、其中與直線、所圍成的平面圖形（圖2）的面積為：例1 求由曲線，及直線，所圍成圖形的面積A解 （1）作出圖形，如圖所示 易知，在上，曲線與的交點(diǎn)為；（2）取為積分變量，積分區(qū)間為從圖中可以看出，所圍成的圖形可以分成兩部分；（3）區(qū)間上這一部分的面積和區(qū)間上這一部分的面積分別為， ，所以，所求圖形的面積為=+例2 求橢圓的面積.解橢圓關(guān)于軸,軸均對稱,故所求面積為第一象限部分的面積的4倍,即 利用橢圓的參數(shù)方程 應(yīng)用定積分的換元法,且當(dāng)時(shí),時(shí),于是2求旋轉(zhuǎn)體體積用類似求平

5、面圖形面積的思想我們也可以求一個(gè)立體圖形的體積，例如一個(gè)木塊的體積，我們可以將此木塊作分割劃分成許多基本的小塊，每一塊的厚度為，假設(shè)每一個(gè)基本的小塊橫切面積為，為上連續(xù)函數(shù)，則此小塊的體積大約是，將所有的小塊加起來，令，我們可以得到其體積： 。例2 求由曲線, 直線 ,繞軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的立體體積.解 先畫圖形，因?yàn)閳D形繞軸旋轉(zhuǎn)，所以取為積分變量，的變化區(qū)間為1,4，相應(yīng)于1，4上任取一子區(qū)間,+的小窄條，繞軸旋轉(zhuǎn)而形成的小旋轉(zhuǎn)體體積，可用高為，底面積為的小圓柱體體積近似代替，即體積微元為 =, 于是，體積 =1616=12.3.求曲線的弧長（1）設(shè)曲線在上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)（如下圖）,利用微元法

6、，取為積分變量，在上任取小區(qū)間，切線上相應(yīng)小區(qū)間的小段的長度近似代替一段小弧的長度，即.得弧長微元為：,再對其積分，則曲線的弧長為：（2）參數(shù)方程表示的函數(shù)的弧長計(jì)算，設(shè)曲線上一段的弧長.這時(shí)弧長微元為：即則曲線的弧長為 例3 (1)求曲線 上從0到3一段弧的長度解 由公式 = （ ）知,弧長為=.(2)求擺線 在上的一段弧的長度（）解 取為積分變量，積分區(qū)間為由擺線的參數(shù)方程，得， 于是，由公式（16-13），在上的一段弧的長度為 2、定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用（1）、由經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際，求經(jīng)濟(jì)函數(shù)在區(qū)間上的增量根據(jù)邊際成本，邊際收入，邊際利潤以及產(chǎn)量的變動區(qū)間上的改變量（增量）就等于它們各自邊際在

7、區(qū)間上的定積分： （1） （2） （3）例1 已知某商品邊際收入為（萬元/t），邊際成本為5（萬元/t），求產(chǎn)量從250t增加到300t時(shí)銷售收入，總成本C，利潤的改變量（增量）。解 首先求邊際利潤所以根據(jù)式（1）、式（2）、式（3），依次求出：=150萬元=250萬元=100萬元（2）、由經(jīng)濟(jì)函數(shù)的變化率，求經(jīng)濟(jì)函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率設(shè)某經(jīng)濟(jì)函數(shù)的變化率為，則稱 為該經(jīng)濟(jì)函數(shù)在時(shí)間間隔內(nèi)的平均變化率。例2 某銀行的利息連續(xù)計(jì)算，利息率是時(shí)間（單位：年）的函數(shù)：求它在開始2年，即時(shí)間間隔0，2內(nèi)的平均利息率。解 由于所以開始2年的平均利息率為 例3 某公司運(yùn)行（年）所獲利潤為（元）利潤的年變

8、化率為（元/年）求利潤從第4年初到第8年末，即時(shí)間間隔3，8內(nèi)年平均變化率解 由于所以從第4年初到第8年末，利潤的年平均變化率為（元/年）即在這5年內(nèi)公司平均每年平均獲利元。（3）、由貼現(xiàn)率求總貼現(xiàn)值在時(shí)間區(qū)間上的增量設(shè)某個(gè)項(xiàng)目在（年）時(shí)的收入為（萬元），年利率為，即貼現(xiàn)率是，則應(yīng)用定積分計(jì)算，該項(xiàng)目在時(shí)間區(qū)間上總貼現(xiàn)值的增量為。設(shè)某工程總投資在竣工時(shí)的貼現(xiàn)值為A（萬元），竣工后的年收入預(yù)計(jì)為（萬元）年利率為，銀行利息連續(xù)計(jì)算。在進(jìn)行動態(tài)經(jīng)濟(jì)分析時(shí)，把竣工后收入的總貼現(xiàn)值達(dá)到A，即使關(guān)系式成立的時(shí)間T（年）稱為該項(xiàng)工程的投資回收期。例4 某工程總投資在竣工時(shí)的貼現(xiàn)值為1000萬元，竣工后的年收

9、入預(yù)計(jì)為200萬元，年利息率為0.08，求該工程的投資回收期。解 這里，則該工程竣工后T年內(nèi)收入的總貼現(xiàn)值為 令 =1000，即得該工程回收期為 =6.39（年）3、定積分在物理中的應(yīng)用1、求變速直線運(yùn)動的路程我們知道，作變速直線運(yùn)動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v=v (t) ( v(t) 0) 在時(shí)間區(qū)間a,b上的定積分，即 例 1、一輛汽車的速度一時(shí)間曲線如圖所示求汽車在這1 min 行駛的路程解：由速度一時(shí)間曲線可知：因此汽車在這 1 min 行駛的路程是：答：汽車在這 1 min 行駛的路程是 1350m .總結(jié)：從上面的論述中可以看出，定積分的應(yīng)用十分的廣泛，利用定積分來解決其他學(xué)科中的