固體顆粒的群體沉降速度分析

1、固體顆粒的群體沉降速度分析鄭邦民1，夏軍強(qiáng)2(1.武漢大學(xué) 河流系，湖北 武漢430072; 2.清華大學(xué) 水利系，北京100084)摘要：從流體力學(xué)原理出發(fā)，數(shù)值模擬非均勻沙隨機(jī)分布對(duì)流場的影響，推導(dǎo)出固體顆粒群體沉速的理論解。該公式不僅量綱和諧，濃度變化不超過極限濃度值，能反映含沙量與非均勻沙級(jí)配變化對(duì)群體沉速的影響，而且可避免其它公式量綱不和諧，計(jì)算中出現(xiàn)負(fù)值或降得過快的缺點(diǎn)。采用黃河實(shí)測資料對(duì)該公式進(jìn)行了驗(yàn)證，計(jì)算結(jié)果與實(shí)測資料基本符合。關(guān)鍵詞：固體顆粒; 群體沉速; 干擾流核；極限濃度1 引言泥沙在靜止的清水中等速下沉?xí)r的速度，稱為泥沙的沉降速度。在多沙河流的渾水中，泥沙顆粒的沉降特

2、性比清水中與低含沙水流中復(fù)雜。此時(shí)泥沙顆粒下沉相互干擾，部分顆?；蛉款w粒成群下沉，其下沉速度稱為群體沉速1,2。群體顆粒沉降特性的研究具有十分重要的意義，它在多沙河流的河床演變分析和泥沙數(shù)學(xué)模型計(jì)算中廣泛應(yīng)用。單個(gè)顆粒的沉速與群體沉降可以相差10倍，故50年前有人說泥沙運(yùn)動(dòng)嚴(yán)格地講只有一個(gè)半理論。為此應(yīng)進(jìn)一步分析顆粒群體沉降規(guī)律，使其在實(shí)際應(yīng)用中不致有太大的誤差。    本文在研究流體力學(xué)粘性流中圓球繞流規(guī)律的基礎(chǔ)上，得出固體顆粒群體沉速的理論解，它可反映泥沙濃度與組成對(duì)群體沉速的影響。然后將該公式與現(xiàn)有的群體沉速公式進(jìn)行比較，并用黃河實(shí)測資料進(jìn)行驗(yàn)證。 2 理

3、論前提Navier_Stokes方程是流體力學(xué)的基本控制方程，它是求解流體力學(xué)諸多問題中普遍應(yīng)用的方程。對(duì)不可壓縮粘性流體，在有勢外力作用下，可得Helmholtz渦量方程(1)上式中為流速矢量：為哈密頓算子(Hamilton Operator)； 為流體的運(yùn)動(dòng)粘滯系數(shù);t為時(shí)間。一般情況下，三維流函數(shù)為向量，它與流速有如下關(guān)系。而流速與渦量，亦呈旋度關(guān)系，即。為了便于數(shù)值計(jì)算，它可寫作一般曲線坐標(biāo)系的張量形式：。其中。式中ui為逆變分量，j為協(xié)變導(dǎo)數(shù)，為協(xié)變基向量，它不一定是正交基，也不一定為單位基。對(duì)正交曲線坐標(biāo)，則有其中uk為單位正交(局部)基上的物理分量；Hk為Lami系數(shù)或標(biāo)量因子，

4、它反映微元弧長ddi與坐標(biāo)微元di之間的比，即dsi=H(i)di。根據(jù)上述關(guān)系，我們可以將渦量方程寫作一般曲線坐標(biāo)形式或正交曲線坐標(biāo)形式，以便于數(shù)值計(jì)算。它可以用來計(jì)算形體繞流等外部流動(dòng)。對(duì)于二維流或在柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)下的球?qū)ΨQ，軸對(duì)稱流動(dòng)，式(2)可以簡化。例如，在球坐標(biāo)下有H1=1、H2=R、H3=Rsin，可得ds1=dR、ds2=d、ds3=Rsind。上式中R、為球坐標(biāo)系下的三個(gè)坐標(biāo)線。因軸對(duì)稱時(shí)，且物理量只在R、方向上有變化，故有3=。同時(shí)可得R、坐標(biāo)線上的速度分量 (3)這對(duì)小雷諾數(shù)下的圓球繞流，上述沉降分析是合適的。恒定流情況有慣性項(xiàng)均可忽略。對(duì)于外部繞流，流函數(shù)是無源場，則有

5、，因此可得。此時(shí)流函數(shù)與渦量的關(guān)系方程。如果是軸對(duì)稱流動(dòng)，則渦量只有3=為標(biāo)量，流函數(shù)亦只有3=也為標(biāo)量 ，而有+2=0              (4)    即在小雷諾數(shù)時(shí)，對(duì)軸對(duì)稱的圓球繞流，解Navier-Stokes方程，可變?yōu)榻饬骱瘮?shù)滿足的重調(diào)和方程220。3 單個(gè)球形顆粒在粘性流中勻速沉降解單個(gè)球形細(xì)顆粒在粘性流中勻速沉降的速度0，可從流體力學(xué)分析得到。單個(gè)球形顆粒在粘性流中繞流時(shí)，其Stokes流函數(shù)為=1/4Vsin2

6、（3/R3R+2R2）。如將球坐標(biāo)原點(diǎn)放在球心，利用(3)式，可得圓球繞流時(shí)R、坐標(biāo)線上的流速分量分別為(5-1)(5-2)通過對(duì)作用于球面上的壓力積分，可求得圓球所受阻力為3dV，其中V為球與流體的相對(duì)速度，當(dāng)球體均勻沉降時(shí)，有效重力(s-)d3/6與阻力相平衡。其中球體半徑為，直徑為d。一個(gè)球體直徑為d所占的距離為d+l，N個(gè)均勻顆粒占的距離當(dāng)N(d+l)。一個(gè)球體體積為d3/6，N個(gè)d3/6，所占空間為N3(d+l)3，體積比濃度(6)當(dāng)ld時(shí)，則Sv0；當(dāng)l0，均勻沙排列均勻，得Sv=0.5236。此為極限濃度Svm的下界，隨機(jī)緊密填充可達(dá)Sv=0.5612，如果為非均勻沙隨機(jī)排列，該

7、值還可以再取高一些。如Svm0.65，但只要達(dá)到這種情況，流體將很難在顆粒間流動(dòng)，因此，此下極限濃度值也是可用的，隨著l/d的改變，濃度值變化如表1所示。表1 濃度Sv隨l/d變化Table 1 Concentration Sv change with the variable l/d l/d 1005010752.710.50.30.2Sv0.5×10-50.4×10-54×10-40.0010.0240.010.06550.1550.23830.303不論如何，只要我們隨機(jī)地給出粒徑大小d與它所在位置，我們可以求得其它函數(shù)及阻力值。因?yàn)閷?duì)于Stoke

8、s解，可以按奇異子線性疊加而得，可數(shù)值求解。而對(duì)于過渡區(qū)及紊流區(qū)，則非理論可解，而由實(shí)驗(yàn)決定。隨著濃度v的增加，顆粒沉速有由過渡區(qū)趨向滯流區(qū)，紊流區(qū)趨向過渡區(qū)的趨勢，因此重點(diǎn)放在理論分析滯流區(qū)沉降是合適的。 4 現(xiàn)有的群體沉速公式目前，對(duì)單顆粒泥沙在靜水中的沉降規(guī)律己基本掌握，但對(duì)群體顆粒的沉降規(guī)律還有待于深入研究。前人對(duì)顆粒群體沉速公式的研究，可大致劃分為兩類：一是粗顆粒均勻沙的沉速，二是含較多細(xì)顆粒的非均勻沙沉速1。(1)Batchelor(1972)認(rèn)為球體在低含沙水體中沉降時(shí)，顆粒間及顆粒與周圍水體的相互影響，其沉速與其在無限清水中沉速的差異，是平均值不為0的隨機(jī)變量3。他從統(tǒng)計(jì)理論出

9、發(fā)，最后推導(dǎo)出低含沙量情況下群體沉速的理論公式s/0=16.55Sv         (7)上式中當(dāng)Sv0.05時(shí)，計(jì)算結(jié)果能與實(shí)驗(yàn)值基本符合；當(dāng)Sv較大則偏差大。(2)Richardson和Zaki采用量綱分析與試驗(yàn)結(jié)果，建立如下群體沉速公式4 s/0=(1-Sv)m        (8)上式中指數(shù)m與沙粒雷諾數(shù)(Red=0d/)有關(guān)。夏震寰和汪崗對(duì)細(xì)沙取m=7時(shí)，上式與試驗(yàn)資料符合較好5。(3)王尚毅認(rèn)為式(8)中當(dāng)Sv=1時(shí)s=0，這種計(jì)算

10、結(jié)果不對(duì)6。因此將上式修改為s/0=(1-Sv)m    (9)上式中m=2.5；與泥沙特性有關(guān)，對(duì)塘沽淤泥可取=5.0。(4)錢意穎等人認(rèn)為群體沉速的減小主要由于渾水的容重與粘度變化所致，得出了適用于層流區(qū)的群體沉速公式7(10)上式中、s、m分別為清水、泥沙及渾水的容重。(5)萬兆惠等人認(rèn)為細(xì)的單顆粒泥沙在清水中下沉?xí)r有(s-)d3/6=3d00。當(dāng)為渾水時(shí)，上式仍成立，不過應(yīng)以m代替0,m代替，s/(1-Sv)代替0。如渾水粘度采用日本森氏公式m/0=1+3Sv/(1-Sv/0.52)，代入上式可得群體沉速公式8s/0=(1-Sv)2/1+3Sv/(1-Sv

11、/0.52)            (11)(6)沙玉清認(rèn)為在層流區(qū)，主要是渾水的粘度影響泥沙沉速，因此可得如下群體沉速公9(12)上式中d50取mm，且對(duì)d50在0.010mm附近的非均勻沙適用。(7)費(fèi)祥俊認(rèn)為用非均勻沙的中值粒徑或平均粒徑作為代表粒徑，按均勻沙方法計(jì)算非均勻沙的平均沉速，將會(huì)導(dǎo)致較大的誤差。因此應(yīng)按各粒徑組泥沙所占的比例，加權(quán)平均后得到非均勻沙的平均沉速公式10(13)式中Pi為第di粒徑組泥沙所占的比例。渾水粘度m與含沙量大小和極限含沙量有關(guān)11。(8)張紅武在

12、沙玉清公式基礎(chǔ)上，考慮到沉降過程中一部分清水將依附沙粒同時(shí)下沉，結(jié)合試驗(yàn)結(jié)果，經(jīng)推導(dǎo)得出如下群體沉速公式(14)上式中d50同樣取mm。但該式適用范圍比沙玉清公式大，近些年多用之于黃河泥沙數(shù)學(xué)模型計(jì)算。經(jīng)數(shù)值計(jì)算我們發(fā)現(xiàn)，用式(14)計(jì)算群體沉速，必須使。5 本文的研究結(jié)果我們認(rèn)為群體沉降公式在理論上要盡量合理，盡可能地有嚴(yán)格的兩相流體力學(xué)的依據(jù)，量綱上要和諧，同時(shí)計(jì)算結(jié)果要與實(shí)測資料基本符合，才可用于實(shí)際計(jì)算。對(duì)于本文提出的群體沉速公式，作以下分析與論證。5.1 顆粒表面流速的分析從泥沙顆粒在渾水中受力情況進(jìn)行分析：細(xì)顆粒泥沙沉降時(shí)阻力符合Stokes公式的單個(gè)顆粒沉降規(guī)律，為此多個(gè)顆粒的阻

13、力解是可以疊加的，只要是散粒體。我們可以在計(jì)算機(jī)上，做出隨機(jī)變化的有限多個(gè)(10121015個(gè))泥沙顆粒，粒徑為0.100.01mm不均勻隨機(jī)分布的泥沙顆粒受流體力的作用，從而得到由于泥沙下沉對(duì)周圍流場的影響，這一影響并非簡單地打一個(gè)(1-Sv)的折扣，而是對(duì)于周圍流場的干擾，改變流函數(shù)、流線疏密形狀的結(jié)果。    由流速u公式(5)中，可以看出：當(dāng)R=a處，u=0，當(dāng)R時(shí)，=90°時(shí)，u=V，這說明顆粒對(duì)流場有干擾，顆粒擾動(dòng)形成流核，遠(yuǎn)處R>10時(shí)，u=V=0，流速等于沉速，球體勻速沉降，而當(dāng)l不太大時(shí)，對(duì)u有一定影響。例如：當(dāng)l=2,R+l=3

14、時(shí)，即s/0=0.74；當(dāng)l=時(shí)，R+l=2時(shí)，即s/0=0.577；當(dāng)l=0.1,R+l=1.1a時(shí)，則s/0=0.131。這些都說明濃度Sv的影響實(shí)質(zhì)是對(duì)流場的影響。流體被干擾的流核，使其在一定柱狀范圍，要帶動(dòng)一定量的流體運(yùn)動(dòng)，其相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度(沉速)降低了。這一結(jié)果反映于(15)式中。5.2濃度對(duì)群體沉降的影響  濃度對(duì)顆粒沉降影響的研究，最早是1906年A.Einstein從Brown運(yùn)動(dòng)得到一階近似的理論結(jié)果，即m/=1+2.5Sv12。1972年Batchelor等人得到濃度影響的二階近似理論結(jié)果(球體散顆粒)，相對(duì)粘性r=m/0=1+2.5Sv+7.6S2v。本文認(rèn)為低濃

15、度 時(shí)的粘度改正應(yīng)小些，高濃度時(shí)的粘度改正大些，非線性二階式優(yōu)于指數(shù)關(guān)系。圖1給出了各家相對(duì)粘度公式的對(duì)比結(jié)果，可以看出Batchelor的二階式居中。     考慮到群體沉降的極限濃度Svm及非均勻沙的顆粒組成的影響，本文給出的泥沙顆粒的群體沉降公式有如下形式(15)  圖1相對(duì)粘度r與體積比濃度Sv關(guān)系(牛頓體)Fig.1Relationship between relative viscosity r and volumetric concentration Sv上式中為一修正系數(shù)，與混合沙的非均勻程度有關(guān)，對(duì)均勻沙，可取=1。

16、當(dāng)Sv較小時(shí)，s對(duì)0改正不大，這是合理的，且s/0值大些。在中等濃度Sv下，則s/0偏差大些，在高濃度Sv時(shí)，各家差別更大，如(12)式、(14)式很快降為零。細(xì)粒泥沙的0本來就很小，取s/0=0在實(shí)用上是不方便的。上式中的極限濃度Svm，可采用方紅衛(wèi)確定的黃河干支流各站的結(jié)果13，也可用費(fèi)祥俊提出的公式計(jì)算11。圖2各家公式s/0的計(jì)算結(jié)果Fig.2Calculated s/0 from different formulas5.3各家公式比較與分析    圖2給出了式(15)、式(10)、式(12)、式(14)在不同濃度下均勻沙(d=0.030mm)的群體 沉速

17、的變化規(guī)律。由圖可知，沙玉清公式(式12)與張紅武公式(式14)的計(jì)算結(jié)果較為接近。而本文提出的計(jì)算公式(式15)與錢意穎等人(式10)的計(jì)算結(jié)果相差不多，但式(15)考慮了極限濃度的影響，這比較符合實(shí)際情況。若采用式(15)計(jì)算非均勻沙的群體沉速，取d25=0.018mm、d50=0.030mm、d75=0.042mm，計(jì)算結(jié)果見圖2。在相同的中值粒徑和濃度下，泥沙組成偏細(xì)，采用式(15)計(jì)算的群體沉速可比式(10)小。這是因?yàn)榧?xì)顆粒增多，導(dǎo)致懸浮液體粘性增大，從而使群體沉速降低。因此式(15)也可反映懸沙組成對(duì)群體沉速的影響。從公式形式上看，沙玉清公式(12)及類似公式(14)存在量綱不和

18、諧的問題。式(12)中，如要量綱合理，應(yīng)當(dāng)是，其中為無量綱系數(shù)；V為流速，可用沉速0代替，g為重力加速度。沙玉清利用明茲及趙乃熊試驗(yàn)結(jié)果分析了d50=0.10mm10mm時(shí)均勻顆粒的群體沉速與非均勻沙對(duì)比。結(jié)果表明當(dāng)d50小時(shí)s/0改正多些；d50大時(shí)s/0變化小些。 當(dāng)d50=0.1mm到10mm變化時(shí)，系數(shù)在301.33間變動(dòng)。這樣大的變化是難以選用的。公式(14)亦有此問題。關(guān)于粒徑d的影響，一般已考慮在0中。對(duì)于均勻沙而言，滯流區(qū)有0d2，紊流區(qū)有，過渡區(qū)則介于兩者之間變化。如濃度Sv之改變，使s與0在同一區(qū)內(nèi)，則無d之影響。如Sv之改變使s由紊流區(qū)變?yōu)檫^渡區(qū)或滯流區(qū)，則s/0中出現(xiàn)d

19、的因素。但也不能認(rèn)為其因子就是。早年 沙玉清提出的公式(12)及后人在“沙”的基礎(chǔ)上提出的公式(14)都沒有給出理論證明。式(7)(14)反映出均勻沙在同流區(qū)s/0的變化，無d之影響。不同區(qū)則s/0=dr，指數(shù)r=1.50之間，有了沙式(12)與張式(14)，不難用曲線擬合方式，給定系數(shù)與指數(shù)。因此，不一定需要在s/0式中采用如這種形式，因?yàn)椴灰欢ㄊ俏ㄒ坏?，只是近似的?jīng)驗(yàn)表述(擬合)。它們都可能表示，隨著d50之變細(xì)，s/0減小這一定性的變化規(guī)律。天然河道或水庫中的泥沙，多為非均勻沙，其級(jí)配影響于之中，d25或d75越小，則s/0降得越多，反之亦然。5.4本文公式與實(shí)測資料的比較本文采用黃河支

20、流水文站60年代的群體沉速實(shí)測資料，對(duì)式(15)的計(jì)算精度作進(jìn)一步的分析。選用的水文站分別為渭河的咸陽站、華縣站，涇河的張家山站，北洛河的NFDA4頭站。四站共有882組有效的實(shí)測數(shù)據(jù)，各站的懸移質(zhì)含沙量大小及組成變化，如表2所示。表2各站的懸沙特征變化Table 2Characteristics changes of suspended load at different hydrological stations水文站有效數(shù)據(jù)(組)含沙量S/kg5m-3中值粒徑d50/mm華縣站 4110.14040.0030.0590.701.51咸陽站2250.14670.0030.0370.791.

21、50張家山站590.15180.0070.0730.821.18頭站 1870.08810.0040.0520.761.18    在此采用費(fèi)祥俊提出的方法，按各粒徑組泥沙所占的比例，加權(quán)平均后得到非均勻沙的平均沉速公式。根據(jù)實(shí)測資料的率定，取式(15)中的參數(shù)=1.76。圖3給出了實(shí)測與計(jì)算群體沉速的對(duì)比結(jié)果。由圖可知，式(15)的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測值基本符合。由圖可知，在泥沙組成較細(xì)，含沙量較大時(shí)，群體沉速較小，計(jì)算值與實(shí)測值符合較好。當(dāng)泥沙組成較粗時(shí)，計(jì)算值與實(shí)測值存在一定的誤差。6結(jié)論本文從流體力學(xué)的基本原理出發(fā)，得出非均勻沙的群體沉速公式，該公式具有如下特點(diǎn)：反映了濃度(或含沙量)的影響；濃度不超過極限濃度值；引入反映非均勻沙組成對(duì)群體沉速的影響，它具有幾何平均之意，既反映粒徑的不均勻性，又具 有平均的代表性；計(jì)算結(jié)果能與黃河實(shí)測資料基本一致。圖3實(shí)測與計(jì)算群體沉速的對(duì)比結(jié)果Fig.3Comparison between observed and c