廣東深圳中學(xué)高中數(shù)學(xué)必修二導(dǎo)學(xué)案5空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、.word格式,5.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系陳麗萍學(xué)習(xí)目標(biāo)1 .會(huì)判斷兩條直線的位置關(guān)系。2 .理解公理四，并能運(yùn)用公理四證明線平行。3 .掌握等角定理，并能運(yùn)用它解決有關(guān)問題。4 .掌握空間兩直線的位置關(guān)系，掌握異面直線的概念，會(huì)用反證法和異面直線的判定定理證明兩直線異面。6 .掌握異面直線所成角的概念及異面直線垂直的概念，能求出一些較特殊的異面直線所成的角。一、夯實(shí)基礎(chǔ)基礎(chǔ)梳理1 .直線與直線的位置關(guān)系異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)2 .異面直線的判定方法：(1)定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi).(2)反證法：用此方法可以證明兩直線是異面直線.(3)利用結(jié)論即過平面外一點(diǎn)

2、與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線，如圖。3 .公理4(平行公理)：平行于的兩條直線互相平行。4 .等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角。5 .異面直線所成的角(1)定義：設(shè)a、b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線a'a,b'/b,把a(bǔ)'與b'所成的叫做異面直線a與b所成的角。(2)范圍：。6 .求異面直線所成的角一般用平移法，步驟如下：(1) 一作：即找或作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求

3、出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角。6 .直線與平面的位置關(guān)系有、三種情況。7 .平面與平面的位置關(guān)系有、兩種情況?；A(chǔ)達(dá)標(biāo)i.設(shè)兩條異面直線所成的角為e,則角e的范圍是()。A.o0<6<B（fB.00<0<C.0°<e<90°D.2 .若a,b為異面直線，直線c/a,則c與b的位置關(guān)系是（）A.相交 B.異面C.平行D.異面或相交專業(yè).專注3 .給出下列四個(gè)命題：(1)若a不平彳T于b,則a與b一定相交;(2)若a與b不相交，則ab;(3)若a, b為異面直線，則(4)若a , b為異面直線，則其中正確命題的個(gè)數(shù)為(A. 1個(gè)B.

4、2個(gè)a不平彳T于b;a與b一定不相交。)C.3個(gè)D.4個(gè)4 .以下四個(gè)命題中:(1) ZABC=0,直線aAB,bBC,則a與b所成角為0;(2)若直線a,b與直線c所成角相等，則a/b;(3)若直線a/b,且b與c所成的角為0,則a與c所成的角也是日；(4)若直線a,b與直線c所成的角不相等，則a與b不平行。正確命題的個(gè)數(shù)為()A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)5 .如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中:BM與ED平行；CN與BE是異面直線；CN與BM成行角；DM與BN垂直。以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是()A.B.C.D.二、學(xué)習(xí)指引自主探究1 .關(guān)于兩條異面直線的理解，下

5、列哪些說法是正確的？(1)兩條異面直線是指兩條不相交的直線(2)兩條異面直線是指兩條不平行的直線(3)兩條異面直線是指不同在某個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(4)不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線2 .關(guān)于兩條直線平行或垂直，下列哪些說法是正確的？(1) 垂直于同一直線的兩直線平行；(2) 一條直線垂直兩條平行線中的一條，必垂直于另一條；(3) 一條直線與兩條平行線中的一條不垂直，必與另一條直線也不垂直：(4) 若a_Lb,a不平彳T于c,則c一定不垂直于b;(5) 若a,b是異面直線，直線c平行于直線a,那么c與b不可能平行.3 .正方體中面對(duì)角線所成的角我們把正方體中的表面正方形的對(duì)角形稱為面對(duì)角形，如圖

6、，線段BD即為面對(duì)角線.在正方體ABCDApCD中，異面直線Bp與BD所成的角為多少?正方體中異面的兩條面對(duì)角形所成的角的大小有哪些？案例分析1.在圖中，G,N,M,H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)， 是異面直線的圖形有。（填上所有正確答案的序號(hào)）則表示直線GH , MN【解析】圖中，直線GH/MN圖中，G,H,N三點(diǎn)共面，但M正面GHN,因此直線GH與MN異面；圖中，連接MG,GM/HN,因此GH與MN共面；圖中，G,M,N共面，但H正面GMN,因此GH與MN異面.所以圖中GH與MN異面，所以選.2 .已知不共面直線a,b,c相交于點(diǎn)P,AWa,BWb,EWC。求證：BD與AE是異面直【

7、解析】證明：假設(shè)BD、AE共面于尸，即點(diǎn)A、E、B、D都在平面尸內(nèi)。+Aa,DEa,二a二工P亡a,二Pw?PWb,BWb,PWc,EWC.bjC這與a、b、c為共面矛盾。.BD、AE是異面直線。說明：證明兩直線異面的一般方法是“反證法”或“判定定理”。3 .在正方體ABCD-ABCP1中，AA=a,E,F分別是BC,DC的中點(diǎn)，求:AiADiCBCi(1) EF與BB所成的角的大小；EF與BD所成的角的余弦；(3)ADjWEF所成角的大小?！窘馕觥?1)連接BD,易知BD/EF,，:BD與BB所成的角£0-,EF與BB所成的角為£0臺(tái)。(2) /DBD1即為EF與BD所成

8、的角。在RtABDD1中，BD=Va,BD=益,.cos/DBD=，即EF與BD而成的角的余弦為 三。(3)連接BCi，易知BCJ/ADi，J.BD與B5所成角即為AD】與EF所成角。DC1，ABDC1為等邊三角形,.-.ZDBCfiO0,所以AD盧EF所成角的大小為鏟。三、能力提升能力闖關(guān)1 .空間四邊形的兩條對(duì)角線相等，順次連接四邊形中點(diǎn)所成的我四邊形一定是A.矩形B.菱形2.已知m , n , l為不同的直線,C.正方形D.空間四邊形P為不同的平面，有下面四個(gè)命題：m,n這異面直線，過空間任一點(diǎn)P,一定能作一條直線l與m,n都相交。m,n這異面直線，過空間任一點(diǎn)P,一定存在一個(gè)與直線m,

9、n都平行的平面。ot_LP,c（r|P=l,meet,nuP,m,n與l都斜交，則m與n一定不垂直；m,n是ct內(nèi)兩相交直線，則ot與P相交的充要條件是m,n至少有一條與B相交。則四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.43.在空間四邊形ABCD中，AC=6,BD=S,E為AB中點(diǎn)，E為CD中點(diǎn)，EF=5.求AC與BD所成的角。AD拓展遷移4.如圖所示，在三棱錐 C-ABD中, EF_LAB,求EF與CD所成的角。E , F分別是AC和BD的中點(diǎn)，若CD = 2AB=4 ,5. （2009年四川）如圖，已知正三棱柱ABC -ABC：的各條棱長(zhǎng)都相等,M是側(cè)棱CCi的中點(diǎn)，求異面直線AB

10、和BM所成的角的大小。挑戰(zhàn)極限6.在正四面體ABCD中，M、N分別為BC、AD的中點(diǎn)，求AM與CN所成的角的余弦b-c-a-值。（提不：在4ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c,則cosA=c）一bc課程小結(jié)1 .異面直線的判定常用的是反證法，先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)肯定兩條直線異面.此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到.2 .求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過平行移動(dòng)直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決.可以借助三角形的中位線，平行四邊形等，學(xué)生易忘記異面直線所成角的范圍.5.空間點(diǎn)、直線、平面之間

11、的位置關(guān)系一、夯實(shí)基礎(chǔ)基礎(chǔ)梳理1.平行，相交.3.同一條直線.4.相等會(huì)互補(bǔ)5 .(1)銳角或直角；(2)0=<a<90°.6 .平行，相交，在平面內(nèi).7.平行，相交.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1 .C.2.D.3.B.4.B.5.C.二、學(xué)習(xí)指引2 .根據(jù)異面直線的定義，(4)的說法是正確的.3 .分析可知(2)(3)(5)正確.4 .線BQ與BD所成的角為60t異面的兩條面對(duì)角形所成的角為60口或90n.三、能力提升1.B.2.B.錯(cuò)誤，因?yàn)檫^直線m存在一個(gè)與直線n平行的平面，當(dāng)點(diǎn)p在這個(gè)平面內(nèi)且不在直線m上時(shí)，就不滿足結(jié)論；錯(cuò)誤，因?yàn)檫^直線m存在一個(gè)與直線n平行的平面，當(dāng)點(diǎn)P在這個(gè)平

12、面內(nèi)時(shí)，就不滿足結(jié)論；正確，否則，若m_Ln,在直線m上取一點(diǎn)作直線a_Ll,由u_lP,#a±n,從而有n_La，則n_Ll;正確.3.取BC中點(diǎn)M,連接EM,FM.E,F,M分別為所在邊的中點(diǎn)，11，EM/AC,EM=AC=3,FM=BD=4.22又EF=5,ZEMF=90°.則AC與BD所成的角為90°.4 ,取CB的中點(diǎn)G ,連接EG , FG ,EG/AB, FG/ /CD .EF與CD所成角即為NEFG .又 EF _LAB,EF _L EG .11在 RtEFG 中，EG=AB=1, FG=CD=2, 22EF與CD所成的角為30°.1sin/EFG = ,/EFG =30，25.延長(zhǎng)ABi至D,使A1B1=BQ,則ABi/BD,/MBD就是直線A0和BM所成的角.設(shè)三棱柱的各條棱長(zhǎng)為2,則BM=卮BD=2應(yīng)（下面設(shè)法求DM）,在人a中，BQ