初一奧數(shù)專題講義完全平方公式與平方差公式

1、完全平方公式與平方差公式一.知識要點1 .乘法公式就是把一些特殊的多項式相乘的結(jié)果加以總結(jié)，直接應(yīng)用。公式中的每一個字母，一般可以表示數(shù)字、單項式、多項式，有的還可以推廣到分式、根式。公式的應(yīng)用不僅可從左到右的順用(乘法展開) ，還可以由右到左逆用(因式分解)，還要記住一些重要的變形及其逆運算一一除法等。2 .基本公式完全平方公式：(a ± b) 2=a2 ± 2ab+b2平方差公式：(a+b) (a - b)=a2- b2立方和(差)公式：(a ± b)(a 2Rab+b2)=a3± b33 .公式的推廣(1)多項式平方公式：(a+b+c) 2=a2+

2、b2+c2+2ab+2ac+2bc即：多項式平方等于各項平方和加上每兩項積的2倍。(2)二項式定理：(a ±b) 3=a3±3a2b+3ab2±b3(a ± b) 4=a4 ± 4a3b+6a2b2 ± 4ab3+b4(a± b) 5=a5±5a4b+10a3b2 ± 10a2b3+ 5ab4± b5注意觀察右邊展開式的項數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、符號的規(guī)律4 .公式的變形及其逆運算由(a+b) 2=a2+2ab+b2得 a2+b2=(a+b) 2 2ab由(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3=

3、a3+b3+3ab(a+b) 得 a 3+b3=(a+b) 3 3ab(a+b)5 .由平方差、立方和(差)公式引伸的公式(a+b) (a3 a2b+ab2 bj=a4 b4(a+b)(a 4 a3b+a2b2 ab3+b4)=a 5+b5(a+b)(a 5 a4b+a3b2 a2b3+ab4 b5)=a6 b6注意觀察左邊第二個因式的項數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、符號的規(guī)律在正整數(shù)指數(shù)的條件下，可歸納如下：設(shè) n為正整數(shù)(a+b)(a 2n 1 a2n 2b+a2n 3b2 十 ab2n 2b2n 1)=a2n b2n(a+b)(a 2n a2n 1b+a2n 2b2 一ab2n 1+b2n)=a2n+

4、1+b2n+1類似地：(a b) (a n 1+an 2b+an 3b2+ abn 2+bn 1)=anbn由公式的推廣可知：當 n為正整數(shù)時anbn能被a b整除，a 2n+1+b2n+1 能被 a+b 整除,a2n b2n能被a+b及ab整除。二.例題精選例1.已知x、y滿足x2+y2+5 =2x+y,求代數(shù)式一y-的值。例2.整數(shù)x,y滿足不等式x2+y2+1<2x+2y,求x+y的值。例3.同一價格的一種商品在三個商場都進行了兩次價格調(diào)整甲商場:？第一次提價的百分率為 a,第二次提價的百分率為b;乙商場：兩次提價的百分率都是貸(a>0,?b>0);丙商場：第一次提價的

5、百分率為 b,第二次提價的百分率為 a,?則哪個商場提價最多說明理由例4 .計算:(1)6(7+1)(7 2+1)(7 4+1)(7 8+1)+1 ;2 2) XX 例 5 .已知 a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,則 多項式a2+b2+c2-ab-bc-ca 的值為().1 C例6.已知P=2m1,Q = m2 §m (m為任意實數(shù))，則P、Q的大小關(guān)系為()1515A. P >Q B. P=Q C. P<Q D.不能確定例7 .若x2-13x+1=0,則x4+4的個位數(shù)字是() x.3 C例8.有10位乒乓球選手進行單循環(huán)賽

6、（每兩人間均賽一場）,用xi,y 1?順次表示第 一號選手勝與負的場數(shù) ；用x2,y 2順次表示第二號選手勝與負的場數(shù)，；用x10,y 10?順次表不十號選手勝與負的場數(shù) .求證:x 1 +x2 + +x10 =y1 +y2 + +y10 。2.一 一一 1111乘積(1- T)(1- T)(1- 2)(1- -2319992000A 1999 B 2001 C 1999 .2000.2000.4000已知 a、b 滿足等式 x=a2+b2+20,y=4(2b-a),2）等于（）D 20014000則x、y的大小關(guān)系是（）< y >y <y >y3 .已知a-b=1,則

7、a2b22b的值為()A. 4B . 3 C . 1D. 04 .已知 x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0 ,貝U x+y+z=5 .計算:(1)+ x=； _2(2)+ +1999 =o6 .已知 a+1=5,貝ka4+j2 +1=。 aa7 .已知兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差為？2000,?則這兩個連續(xù)奇數(shù)可以是8 .已知 a2+b2+4a-2b+5=0，則 沙=. a - b9 .若代數(shù)式x2 _6x+b可化為(x_a)2 _1,則ba的值是.10 .已知a、b、c均為正整數(shù)，且滿足a2+b2=c2,又a為質(zhì)數(shù).證明：(1)b與c兩數(shù)必為一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方數(shù).參

8、考答案：一.例題精選例1.提示：由已知得(x-1) 2+(y- b 2=0，得x=1,y= 1,原式=1 223例2.原不等式可化為(x-1) 2+(y-1) 201,且x、y為整數(shù)，(x-1) 2>0,(y-1) 2>0,?x 1 =0x 1 =1 x 1 = 0所以可能有的結(jié)果是? 1 0或產(chǎn)1或產(chǎn)1 0 ,y-1 =0y-1 =0 y-1 = 1解得!x-1 或 0-2 或 « -1 或1x -1 ,x+y=1 或 2或 3y =1 y =1 y = 2 y=0例3.甲、乙、丙三個商場兩次提價后，價格分別為(1+a)(1+b)=1+a+b+ab;(1+噂)(1+b)

9、=1+(a+b)+(貸)2； 222(1+b)(1+a)=1+a+b+ab;因(坐)2-ab>0,所以("b)2>ab, 22故乙商場兩次提價后，價格最高.例 4. (1)原式=(7-1)(7+1)(7 2+1)(7 4+1)(7 8+1)+1=716(2) 設(shè)=x,則原式=x(x-1) 2x-x 3-x(x-1) 2=-x=例5.例6.【分析】可用特殊值法或差值法.特殊值法：取m=15,分別代入得P=6, Q=217,-.，r 2故 Pv Q;差值法：P- Q=1 m -1 I - 1 m2 - m l'=-m2 + m -1 = - 1 m- I - - &l

10、t; 0,故 P 151524<Q【答案】C例7.例 8.提示：由題意知：x i+yi=9(i=1,2,，10)且 x+x2+x10=yI+y2+y1o因(x 12+x22+ - +x102)-(y 12+y22+y102)=(x 12-y 12)+(x 22-y 22)+ +(x 102-y 102)=(x1+y1)(x 1-y i)+(x 2+y2)(x 2-y 2)+(x0+y10)(x 10-y 10)=9(xi+X2+x10)-(y 1+y1+y10)=0二.同步練習9 . (xa)2 1=x2 2ax+a2 1,這個代數(shù)式于x26x+b相等，因此對應(yīng)的系數(shù)相等，即一2a= - 6,解得 a= 3, a2 一1 =b ,將 a= 3 代入得 b= 8,因止匕 b a= 5.10 .解:(1)因