曲線與方程優(yōu)秀教案

1、人教版選修2-1公開課教案2.1.2 曲線與方程江玉海 安徽師范大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校二00九年十二月二十四日2.1.2 曲線與方程安師大附外 江玉海 一 教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)目標(biāo)：（1）理解曲線上的點(diǎn)與方程的解之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；（2）初步領(lǐng)會(huì)“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念；（3）學(xué)會(huì)根據(jù)已有的資料找規(guī)律，進(jìn)而分析、判斷、歸納結(jié)論；（4）強(qiáng)化“形”與“數(shù)”一致并相互轉(zhuǎn)化的思想方法。2、能力目標(biāo)：（1）通過(guò)直線方程的引入，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)方程的解和曲線上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的認(rèn)識(shí)；（2）在形成曲線和方程的概念的教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、討論等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，探索出結(jié)論，并能有條理的闡述自己的觀點(diǎn)；（3）

2、在構(gòu)建曲線和方程概念的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生分析、判斷、歸納的邏輯思維能力、知識(shí)遷移能力、合情推理能力，同時(shí)強(qiáng)化“形”與“數(shù)”結(jié)合并相互轉(zhuǎn)化的思想方法。3、情感目標(biāo)：（1）通過(guò)概念的引入，讓學(xué)生感受從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律；（2）通過(guò)反例辨析和問(wèn)題解決，培養(yǎng)合作交流、獨(dú)立思考等良好的個(gè)性品質(zhì)，以及勇于批判、敢于創(chuàng)新的科學(xué)精神。二 教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn) 曲線和方程的概念教學(xué)難點(diǎn) 曲線和方程概念的理解三 教學(xué)方法 問(wèn)題探究和啟發(fā)、引導(dǎo)式相結(jié)合四 教學(xué)用具：多媒體課件五 教學(xué)過(guò)程：知識(shí)回顧1、在什么條件下，方程f(x，y)0是曲線C的方程，同時(shí)曲線C是該方程的曲線？ （1）曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程 f(x，

3、y)0的解； （2）以方程f(x，y)0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上. 2、平面解析幾何研究的主要問(wèn)題是：（1）求曲線的方程;（2）通過(guò)方程研究曲線的性質(zhì).在平面上建立直角坐標(biāo)系: 點(diǎn) 坐標(biāo)(x,y) 曲線 曲線的方程例題講解例1、設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是 (-1,-1)、(3,7),求線段AB的垂直平分線的方程.解法一：,所求直線的斜率=-0.5又線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是，即(1,3)線段AB的垂直平分線的方程為.即x+2y-7=0解法二:若沒(méi)有現(xiàn)成的結(jié)論怎么辦?需要掌握一般性的方法問(wèn)題1.設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是 (-1,-1)、(3,7),求線段AB的垂直平分線的方程.解:設(shè)M(x,y)是線段AB的垂

4、直平分線上的任一點(diǎn),則 |MA|=|MB|()由上面過(guò)程可知,垂直平分線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解;設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是方程()的解,即 上面變形過(guò)程步步可逆, 綜上所述,線段AB的垂直平分線的方程是.第一種方法運(yùn)用現(xiàn)成的結(jié)論當(dāng)然快,但它需要你對(duì)研究的曲線要有一定的了解;第二種方法雖然有些走彎路,但這種方法有一般性.求曲線的方程(軌跡方程),一般有下面幾個(gè)步驟:1.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,設(shè)曲線上任一點(diǎn)M的坐標(biāo);2.列出適合條件P的幾何點(diǎn)集:;3.用坐標(biāo)表示條件,列出方程;4.化簡(jiǎn)方程為最簡(jiǎn)形式;5.證明(查漏除雜).例2、已知一條直線和它上方的一個(gè)點(diǎn)F,點(diǎn)F到的距離是2.一條曲線也在的上方,它上面的每一點(diǎn)

5、到F的距離減去到的距離的差都是2,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求這條曲線的方程.解:取直線l為x軸,過(guò)點(diǎn)F且垂直于直線l的直線為y軸,建立坐標(biāo)系xOy,設(shè)點(diǎn)M(x,y)是曲線上任意一點(diǎn)，MBx軸，垂足是B，那么MF-MB=2，把M點(diǎn)坐標(biāo)代入上式得：，平方得：，化簡(jiǎn)得：。因?yàn)榍€在x軸的上方，所以y0, 所以曲線的方程是 練習(xí)1.已知點(diǎn)M與軸的距離和點(diǎn)M與點(diǎn)F(0,4)的距離相等,求點(diǎn)M的軌跡方程。解:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)點(diǎn)M與軸的距離為,=這就是所求的軌跡方程.2. 長(zhǎng)為2的線段AB的兩端點(diǎn)分別在兩條互相垂直的直線上滑動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程. （x2y21 ）例3、已知線段AB, B點(diǎn)的坐

6、標(biāo)（6,0），A點(diǎn)在曲線y=x2+3上運(yùn)動(dòng)，求AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.解；設(shè)AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），又設(shè)A（X1，Y1），則點(diǎn)A（x1，y1）在曲線y=x2+3上，則y1=x12+3代入，得：2y=（2x-6）2+3變式練習(xí)：若三角形ABC的兩頂點(diǎn)C，B的坐標(biāo)分別是C（0，0），B（6，0），頂點(diǎn)A在曲線y=x2+3上運(yùn)動(dòng)，求三角形ABC重心G的軌跡方程.例4、經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l與圓相交于兩個(gè)不同點(diǎn)A、B，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.解法一:設(shè)M,A,B且由得即(易知)化簡(jiǎn)得所求軌跡方程為(在已知圓內(nèi)部一段弧對(duì)應(yīng)的方程)相關(guān)點(diǎn)法:動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)P(x,

7、y)卻隨另一動(dòng)點(diǎn)Q(x，y)的運(yùn)動(dòng)而有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x,y表示為x,y的式子，再代入Q的軌跡方程，然而整理得P的軌跡方程，也稱代入法。 簡(jiǎn)單地說(shuō)：利用所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)與某一已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，把所求動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足的曲線的方程，由此即可求得動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x,y之間的坐標(biāo)。解法二:設(shè)M,A,B則設(shè)直線l的方程為由方程組消去y得消去參數(shù)得小結(jié)：1.求曲線方程的常用方法:（1）直接法：如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡(jiǎn)單明確，易于表述成含x,y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法。用直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡一般有建系,設(shè)點(diǎn)，列式，化簡(jiǎn)，證

8、明五個(gè)步驟，最后的證明可以省略，但要注意“挖”與“補(bǔ)”。（2）定義法：運(yùn)用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線的定義），可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程。（3）代入法：動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)卻隨另一動(dòng)點(diǎn)Q(x，y)的運(yùn)動(dòng)而有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x,y表示為x,y的式子，再代入Q的軌跡方程，然而整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點(diǎn)法。（4）參數(shù)法：求軌跡方程有時(shí)很難直接找到動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借助中間變量（參數(shù)），使x,y之間建立起聯(lián)系，然而再?gòu)乃笫阶又邢?shù)，得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。（5）交軌法：求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)軌跡時(shí)，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動(dòng)直線的交點(diǎn)時(shí)常用此法，也可以引入?yún)?shù)來(lái)建立這些動(dòng)曲線的聯(lián)系，然而消去參數(shù)得到軌跡方程?？梢哉f(shuō)是參數(shù)法的一種變種。2.軌跡與軌跡方程是兩個(gè)不同的概念，軌跡是指曲線，軌跡方程是指曲線的方程.求軌跡方程的本質(zhì)，就是在給定的坐標(biāo)