放縮法證明數(shù)列不等式中的運應(yīng)用

1、11（2011 年廣東理科第 20 題）設(shè)0b ，數(shù)列na滿足1ab，1122nnnnbaaan(2)n （1）求數(shù)列na的通項公式；（2）證明：對于一切正整數(shù)n，1112nnnba2（2012 年廣東理科第 19 題）設(shè)數(shù)列na的前n項和為nS，滿足1*1221()nnnSanN，且123,5,a aa成等差數(shù)列。（1）求1a的值；（2）求數(shù)列na的通項公式。（3）證明：對一切正整數(shù)n，有1211132naaa3（2013 年廣東理科第 19 題）設(shè)數(shù)列 na的前n項和為nS，已知11a ，2121233nnSannn，*nN.（1）求2a的值；（2）求數(shù)列 na的通項公式；（3）證明：對一

2、切正整數(shù)n，有1211174naaa.此類不等式的證明常用的方法：(1)比較法；(2)分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法分析；(3)放縮法，主要是通過分母分子的擴大或縮小、項數(shù)的增加與減少等手段達到證明的目的高考中利用放縮方法證明不等式，文科涉及較少，但理科卻常常出現(xiàn)，且多是在壓軸題中出現(xiàn)放縮法證明不等式有法可依，但具體到題，又常常沒有定法，它綜合性強，形式復(fù)雜，運算要求高，往往能考查考生思維的嚴(yán)密性，深刻性以及提取和處理信息的能力， 較好地體現(xiàn)高考的甄別功能 本文旨在歸納幾種常見的放縮法證明不等式的方法，以冀起到舉一反三，拋磚引玉的作用2證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造

3、性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性， 能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力， 因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。 這類問題的求解策略往往是： 通過多角度觀察所給數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：一、裂項放縮一、裂項放縮(1)2221441124412121nnnnn(2)1211211(1) (1)(1)(1)nnCCnn nn nn n(3)2(111) 1(1!11)!( !11rrrrrrnrnrnnCTrrrnr(4)25) 1(123112111)11 (nnnn(5)nnnn21121) 12(2

4、1(6)nnn221(7)1(21)1(2nnnnn(8)nnnnnnn2) 32(12) 12(1213211221 (9)knnkknnnkknknk11111)1(1,11111)1(1(10)!) 1(1!1!) 1(nnnn(11)21212121222)1212(21nnnnnnn3(12)2(121121) 12)(12(2)22)(12(2) 12)(12(2) 12(21112nnnnnnnnnnnnnn(13)111) 1(1) 1(1) 1)(1(11123nnnnnnnnnnnn11112111111 nnnnnnn(14)3212132122) 12( 332) 13

5、(2221nnnnnnnnn(15)!)2(1!) 1(1)!2()!1(!2kkkkkk(16)2(1) 1(1nnnnn(17)111)11)(1122222222jijijijijijiji二、基本技巧二、基本技巧1.1.“添舍添舍”放縮放縮通過對不等式的一邊進行添項或減項以達到解題目的，這是常規(guī)思路。2.2. 分式放縮分式放縮一個分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個真分式，分子、分母同時加上同一個正數(shù)則分式值變大，利用這些性質(zhì)，可達到證題目的。3.3. 裂項放縮裂項放縮若欲證不等式含有與自然數(shù) n 有關(guān)的 n 項和，可采用數(shù)列中裂項求和等方法來解題。4.4.單調(diào)函數(shù)

6、放縮單調(diào)函數(shù)放縮根據(jù)題目特征，通過構(gòu)造特殊的單調(diào)函數(shù)，利用其單調(diào)性質(zhì)進行放縮求解。5.固定一部分項，放縮另外的項；固定一部分項，放縮另外的項；三、放縮法綜合問題三、放縮法綜合問題（一）、先求和后放縮（一）、先求和后放縮（二）、（二）、先放縮再求和（或先求和再放縮）先放縮再求和（或先求和再放縮）1放縮后成等差數(shù)列，再求和放縮后成等差數(shù)列，再求和2放縮后成等比數(shù)列，再求和放縮后成等比數(shù)列，再求和3放縮后為差比數(shù)列，再求和放縮后為差比數(shù)列，再求和4放縮后為裂項相消，再求和放縮后為裂項相消，再求和4一、一、放縮后轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列放縮后轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列例 1 nb滿足：2111,(2)3nnnbbbnb（1

7、）用數(shù)學(xué)歸納法證明：nbn；（2）1231111.3333nnTbbbb，求證：12nT 點評：把握“3nb ”這一特征對“21(2)3nnnbbnb”進行變形，然后去掉一個正項，這是不等式證明放縮的常用手法這道題如果放縮后裂項或者用數(shù)學(xué)歸納法，似乎是不可能的,為什么？值得體味！二、放縮后裂項迭加二、放縮后裂項迭加例 2數(shù)列na，11( 1)nnan ，其前n項和為ns，求證：222ns點評： 本題是放縮后迭加 放縮的方法是加上或減去一個常數(shù)， 也是常用的放縮手法 值得注意的是若從第二項開始放大，得不到證題結(jié)論，前三項不變，從第四項開始放大，命題才得證，這就需要嘗試和創(chuàng)新的精神例 3（2013

8、 廣東理 19）（本小題滿分 14 分）5設(shè)數(shù)列 na的前n項和為nS已知11a ,2121233nnSannn,*nN() 求2a的值；() 求數(shù)列 na的通項公式；() 證明：對一切正整數(shù)n,有1211174naaa來三、放縮后迭乘放縮后迭乘例 4*1111,(14124)()16nnnaaaanN.a)求23,a ab)令124nnba，求數(shù)列 nb的通項公式c)已知1( )63nnf naa，求證：1(1) (2) (3). ( )2ffff n 解：（1）（2）略6由（2）得2 111( )( )3 423nnna 13231( )21142424nnnnnf n 121111111

9、211(1)(1)11144444411114111444nnnnnnnnnn1114( )114nnf n211111111114444(1) (2). ( ).111 1221144nnnfff n點評：裂項迭加，是項項相互抵消，而迭乘是項項約分，其原理是一樣的，都似多米諾骨牌效應(yīng)。只是求n項和時用迭加，求n項乘時用迭乘。點評：本題主要考查數(shù)列的前 n 項和與第 n 項之間的關(guān)系，通項公式，不等式的證明由數(shù)列的前 n 項和求數(shù)列的通項公式時，要注意 n=1 時的驗證，有關(guān)數(shù)列不等式的證明一般是先求和在用放縮法，求和時注意裂項法、錯位相減法的應(yīng)用1. (2012 年高考廣東卷)設(shè)數(shù)列an的前

10、 n 項和為 Sn，滿足 2Snan12n11，nN*，且 a1，a25，a3成等差數(shù)列(1)求 a1的值；(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)證明：對一切正整數(shù) n，有1a11a21an12n2(n2n)12n22n22n(n1)，1an13n2n12n（n1）121n（n1），1a11a21an1121121231n（n1）112(11212131n11n)112(11n)3212n32，即1a11a21an32.2.已知數(shù)列an滿足 a114，anan1（1）nan12(n2，nN)(1)試判斷數(shù)列1an(1)n是否為等比數(shù)列，并說明理由；(2)設(shè) cnansin（2n1）2，數(shù)列cn的前

11、 n 項和為 Tn.求證：對任意的 nN*，8Tn23.解析：(1)由 anan1（1）nan12得1an（1）nan12an1(1)n2an1，所以1an(1)n2(1)n2an121an1(1)n1又1a1130，故數(shù)列1an(1)n是首項為 3，公比為2 的等比數(shù)列(2)證明：由(1)得1an(1)n3(2)n1.所以1an3(2)n1(1)n，an13（2）n1（1）n，所以 cnansin（2n1）213（2）n1（1）n(1)n1132n11132n1.所以 Tn131（12）n112231(12)n23.3.已知21( )4f xx ,點11(,)nnnP aa在曲線( )yf

12、x上*nN,11,0.naa且（）求數(shù)列na的通項公式；（） 設(shè)數(shù)列212nnaa的前 n 項和為nS,若對于任意的*nN,使得212nStt 恒成立,求最小正整數(shù) t 的值94【廣東省中山市一中 2014 屆高三第二次統(tǒng)測】已知214)(xxf，數(shù)列na的前n項和為nS，點11(,)nnnP aa在曲線)(xfy 上)(*Nn，且11a ，0na （1）求數(shù)列na的通項公式；（2）數(shù)列nb的前n項和為nT，且滿足212211683nnnnTTnnaa，11b，求數(shù)列nb的通項公式；（3）求證：*, 11421NnnSn10111114141 1222nn 5【廣東省中山市實驗中學(xué) 2014

13、屆高三 11 月階段考試】已知數(shù)列 na， nb，11a，112nnnaa，111nnnnaaab，nS為數(shù)列 nb的前n項和，nT為數(shù)列 nS的前n項和（1）求數(shù)列 na的通項公式；（2）求數(shù)列 nb的前n項和nS；（3）求證：312nTn126(2013江西高考)正項數(shù)列an的前 n 項和 Sn滿足：S2n(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求數(shù)列an的通項公式 an；(2)令 bnn1n22a2n，數(shù)列bn的前 n 項和為 Tn，證明：對于任意的 nN*，都有Tn0，Snn2n.于是 a1S12，當(dāng) n2 時，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.綜上可知，數(shù)列an的通項 an2n

14、(nN*)(2)證明：由于 an2n，bnn1n22a2n，則 bnn14n2n221161n21n22.Tn11611321221421321521n121n121n21n2211611221n121n221161122564.137(2013湛江模擬)設(shè)數(shù)列an滿足：a15，an14an5(nN*)，(1)是否存在實數(shù) t，使ant是等比數(shù)列？(2)設(shè)數(shù)列 bn|an|，求bn的前 2 013 項和 S2 013.【解】(1)由 an14an5 得 an14an5，令 an1t4(ant)，得 an14an5t，則5t5，t1，從而 an114(an1)又 a114，所以an1是首項為 4，公比為4 的等比數(shù)列，所以存在這樣的實數(shù) t1，使ant是等比數(shù)列(2)由(1)得 an14(4)n1，所以 an1(4)n.所以 bn|an|14n，n 為奇數(shù)，4n1，n 為偶數(shù)，所以 S2 013b1b2b2 013(141)(421)(143)(441)(142 013)41424342 0131442 01414142 01413.數(shù)列與不等式交匯主要以壓軸題的形式出現(xiàn)，試題還可能涉及到與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)等知識綜合一起考查主要考查知識重點和熱點是數(shù)列的通項公式、前n項和公式以及二者之間的關(guān)系、等差數(shù)列和等比數(shù)列、歸納與猜想、數(shù)學(xué)歸納法、比較大小、不等式證明、參數(shù)取值范圍的