必修一數(shù)學(xué)(初等函數(shù)--指數(shù)函數(shù))

1、（數(shù)學(xué)必修一） 指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算總結(jié)及練習(xí)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1 理解次方根的意義，會進(jìn)行簡單的求次方根的運(yùn)算。2 理解根式符號的含義，能利用根式的性質(zhì)化簡根式。3 理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，通過具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義。4 掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化。5 掌握冪的運(yùn)算。相關(guān)知識：1 整數(shù)指數(shù)冪初中已學(xué)過了正整數(shù)指數(shù)冪的概念及運(yùn)算法則，并在正整數(shù)指數(shù)冪的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)冪，具體內(nèi)容如下：（1） 正整數(shù)指數(shù)冪：一個數(shù)的次冪等于個的連乘積，即（個）（2） 正整數(shù)冪的運(yùn)算法則：為保證這些法則可從定義直接推出，故限定均為正整數(shù)，且同底數(shù)冪相除的法則中限定。（3） 整數(shù)指數(shù)冪：為了解除的限制，故定義了零

2、指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪： 2 平方根與立方根（1） 平方根：如果，那么叫做的平方根。一個正數(shù)的平方根有兩個，且互為相反數(shù)，分別記為。其中叫的算術(shù)平方根；0的平方根只有一個，即本身；負(fù)數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有平方根。（2） 立方根：如果，那么叫做的立方根。的立方根只有一個，用表示，即教材全解：要點(diǎn)一 次方根重點(diǎn)1次方根的定義一般地，若，那么叫做的次方根（其中且）。次方根的定義及性質(zhì)是平方根、立方根記號的推廣，對比平方根、立方根的概念，以大量具體例子為載體，可以得到下列結(jié)論：（1） 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的奇次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次方根是一個奇數(shù)，零的奇次方根零。設(shè)是大于是的奇數(shù)，則的次方根記作；（2）

3、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的偶次方根是兩個絕對值相等且符號相反的數(shù)，零的偶次方根是零，負(fù)數(shù)沒有偶次方根。設(shè)是大于是的偶數(shù)，則的閽人方根記作。2開方與乘方求的次方根的運(yùn)算稱為開方運(yùn)算，開方運(yùn)算與乘方運(yùn)算是互逆的運(yùn)算，兩者不能混淆。拓展根據(jù)次方根的定義，已知求，則有三種情況進(jìn)行分辨當(dāng)為奇數(shù)，時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)，時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，時(shí)，例1已知，則等于（ ） 要點(diǎn)二 根式1根式的定義式子叫做根式，叫根指數(shù)，叫被開方數(shù)。對于根式記號，要注意以下兩點(diǎn)根式與次方根的關(guān)系：當(dāng)為大于1的奇數(shù)時(shí)，對于任意都有意義，它表示在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)唯一的一個次方根，這種情況，“根式=次方根”；當(dāng)為大于1的偶數(shù)時(shí)，只有當(dāng)時(shí)有意義，它表示的是在實(shí)數(shù)

4、范圍內(nèi)的一個次方根，另一個是，這種情況“根式=次算術(shù)方根“；當(dāng)時(shí)，無意義。2根式的性質(zhì)（1） 含義：當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，先開次方，再次方等于自身；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，先開次算術(shù)方，再次方等于自身。（2）式子對任意都有意義。 含義：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，例2求下列各式的值要點(diǎn)三 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪重點(diǎn) 難點(diǎn)1分?jǐn)?shù)指數(shù)冪分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是指數(shù)概念的又一推廣，規(guī)定，。0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是表示相同意義的量，只是形式上不同而已，這種寫法更便于指數(shù)運(yùn)算。分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不可理解為個相乘，它是根式的一種新的寫法，即和表示相同意義，所以分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式可以互相轉(zhuǎn)化。溫馨小提示規(guī)定的原因：當(dāng)指數(shù)概

5、念擴(kuò)充到有理數(shù)，而時(shí)，有時(shí)有意義，有時(shí)無意義，如，但就不是實(shí)數(shù)了，為了保證在取任何有理數(shù)時(shí)有意義，所以規(guī)定。有時(shí)必須注意冪指數(shù)不能隨意約分，如，而在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無意義。例3將下列各式進(jìn)行根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化2指數(shù)概念的擴(kuò)充從分?jǐn)?shù)做指數(shù)到無理數(shù)做指數(shù)。一般地，無理數(shù)指數(shù)冪是無理數(shù)）是一個確定的實(shí)數(shù)，而且有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對于無理數(shù)指數(shù)冪也適用。這樣，指數(shù)概念已擴(kuò)充到了整個實(shí)數(shù)范圍。例4計(jì)算要點(diǎn)四 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)重點(diǎn) 難點(diǎn)1有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：（與初中所學(xué)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)完全一樣）：即式子中的溫馨小提示同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；冪的冪，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；積的冪，等于冪的

6、積。 2根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算：（與小學(xué)的四則運(yùn)算相同，其次與初中的指數(shù)運(yùn)算相同，此處省略）例5化簡拓展討論：形式相似，差別較大，不可忽視注意：可分為的奇數(shù)時(shí)和的偶數(shù)時(shí)兩種情況討論； 可分為為奇數(shù)時(shí)和偶數(shù)時(shí)分別討論。以上部分，請結(jié)合前面所學(xué)知識，進(jìn)行自主分析。一定要養(yǎng)成自我探究問題的能力，這是社會對我們的需求，一定要重視起來。那就從現(xiàn)在開始吧問題探究：冪指數(shù)定義底數(shù)的取值范圍有理數(shù)指數(shù)整數(shù)指數(shù)冪正整數(shù)指數(shù)零指數(shù)負(fù)整數(shù)指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)為奇數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)為奇數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí)無理數(shù)指數(shù)當(dāng)且是無理數(shù)時(shí)，是一個確定的實(shí)數(shù)。請根據(jù)根式的性質(zhì)化簡根式：考點(diǎn)分類：考點(diǎn)一 根式的運(yùn)算：例6已知，則實(shí)

7、數(shù)的取值范圍 。例7化簡： 例8求各式的值： 例9化簡各式： 例10逆用根式的運(yùn)算法則比較大?。海嚤容^的大小。比較根式的大小，可利用將根指數(shù)不同的先化為根指數(shù)相同的，再進(jìn)行比較，被開方數(shù)越大，根式的值就越大。，試比較的大小。溫馨小提示考點(diǎn)二 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及運(yùn)算性質(zhì)例11計(jì)算下列各式的值： 例12化簡下列各式：要注意冪指數(shù)間的倍數(shù)關(guān)系，如。因此，引入負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后，初中所學(xué)過的乘法公式就被賦予新的活力，它們就有了新的形式，如溫馨小提示例13已知求下列各式的值。例14已知是方程的兩根，且,求的值。考點(diǎn)三 指數(shù)冪的證明問題例15已知例16已知函數(shù)。分別計(jì)算：和的值，由此概括出涉及函數(shù)和的

8、對所有不等于零的實(shí)數(shù)都成立的一個等式，并加以證明?？键c(diǎn)四 整體代入思想例20已知（常數(shù)），求的值。若，求的值。例21已知。考點(diǎn)五 分類討論思想例22已知。例23已知對于，式子能化為關(guān)于的整數(shù)指數(shù)冪的情形有幾種？考點(diǎn)六 方程思想例24若，且滿足，求的值。解題思路的由來：觀察所求結(jié)果，式子的結(jié)構(gòu)是分式，而分子、分母沒有公因式，因此必須找出X與Y的關(guān)系，使分子、分母能約分，達(dá)到化簡的目的。已知條件中，X與Y的關(guān)系復(fù)雜，必然可以找到規(guī)律，化復(fù)雜為簡單，而這個規(guī)律就是將已知條件的一邊分解成因式相乘，使另一邊為0，達(dá)到化簡條件的目的。溫馨小提示例25已知的值。（3） 設(shè)求的值。指數(shù)運(yùn)算的常用技巧與方法：掌

9、握這些常用技巧與方法的理由：指數(shù)的運(yùn)算、求值、化簡等在數(shù)學(xué)中占有重要地位，是研究方程、不等式和函數(shù)的工具，許多數(shù)學(xué)問題的推理、解答都需要在它的變形中解決。因此應(yīng)牢固掌握有關(guān)指數(shù)運(yùn)算的變形方法和技巧。（注意：在未來的高考當(dāng)中，不會直來直去出一些運(yùn)算類題目，都是在推理或解答題中出現(xiàn)運(yùn)用到的技巧及方法）1 巧用公式引入負(fù)指數(shù)冪及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后，初中的平方差、立方差、完全平方公式就有了新的特征：如； ；例26化簡：2負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算技巧先將每一項(xiàng)化成指數(shù)冪的形式，逐項(xiàng)化簡，最后進(jìn)行加減運(yùn)算。例27計(jì)算：3整體代換通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，可將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪轉(zhuǎn)化為整數(shù)指數(shù)冪，使指數(shù)間的關(guān)系比較明顯地顯現(xiàn)出來，易于